Olga VergazovaВо многих учебных пособиях при введении понятий предела и непрерывности в той или иной форме используются сведения из приближенных вычислений. Но усвоение понятий, связанных с приближенными вычислениями, в школьном курсе не всегда достигает уровня, который позволяет на их основе успешно освоить понятия предела и непрерывности.
Рассмотрим подход, в котором подготовительная работа на усвоение понятия непрерывности функции происходит на основе несложных примеров из физики, а его дальнейшее усвоение опирается на геометрический смысл определения. При раскрытии темы предполагается, что понятие предела является основой для формирования понятия непрерывности.
При формулировке определений учащимся понадобятся хорошо сформированные навыки решения неравенств с модулями. При работе со старшеклассниками такую подготовительную работу можно провести с помощью такой последовательности заданий:
1) записать с помощью знака модуля предложения: а) расстояние между точками, изображающими на координатной прямой числа 2 и 7, равно 5; б) расстояние между точками x и a равно δ;
2) решить уравнение с иллюстрацией решения на чертеже │x – 4│ = 3; │x + 4│ = 3, │3 – x│ = 7 и т. д.;
3) решить неравенство с иллюстрацией решения на чертеже │x – 4│˂ 3; │x + 4│˂ 3, │3 – x│˂ 7 и т. д. [1–3]
Приведем примеры плавных и скачкообразных изменений величин, которые подготавливают учащихся к пониманию текста определения непрерывности функции.
Например, объем одного V килограмма воды зависит от ее температуры t. Если температура воды находится в промежутке от 0 до 100 °C, то при малом изменении температуры объем изменяется мало. Но если температура воды равна 0 °C, то при самом небольшом понижении температуры вода переходит в другое агрегатное состояние – превращается в лед. Известно, что объем 1 кг льда при 0 °C значительно больше, чем объем 1 кг воды при той же температуре. Значит, при 0 °C зависимость объема от температуры не является непрерывной, функция V = f(t) имеет при t = 0 ° разрыв.
Рассмотрим груз, висящий на нити, относительно поверхности земли. Под действием груза нить растягивается. Расстояние груза l от первоначального положения в точке А (при нерастянутой нити) является функцией массы груза l = f(m) (рис. 1).
Рис. 1
При малом изменении массы груза m длина нити l имеет малые изменения. Но при массе груза, близкой к пределу прочности m0 нити, небольшое увеличение массы груза может вызвать разрыв нити – расстояние груза l от поверхности земли изменится скачкообразно и будет равно величине L – расстояние от точки А до поверхности земли. График функции l = f(m) схематически изображен на рис. 2 (см. рис. 2). На участке 0; m0 график представляет собой непрерывную (сплошную) линию, а в точке m0 он рвется. Говорят, что функция l = f(m) во всех точках, кроме точки m0, непрерывна, а в точке m0 она имеет разрыв.
Рис. 2
В математике различие между плавными и скачкообразными изменениями величин описывается с помощью непрерывных и разрывных функций. Таким образом, если вблизи от значения x = a величины x и y = f(x) связаны друг с другом так, что малое изменение этого значения влечет за собой малое изменение y, то y непрерывно зависит от x при x = a или, другими словами, y = f(x) непрерывна в точке x = a.
Такое определение непрерывности не является строгим в математическом смысле: слова «малое изменение» не имеют математического смысла. Если рассматривается задача об измерении радиуса Земли, то изменение на 0,1 см очень мало. В то же время изменение на 0,1 см велико, если речь идет о радиусе шарикоподшипника. 100000 км весьма значительная величина для расстояния от Земли до Луны, но весьма малая величина по сравнению с расстоянием от Солнца до Сириуса.
В математическом смысле слова «малое изменение» означают, что при малой ошибке в измерении x погрешность значения y мала.
Если величина x измерена с точностью δ ˃ 0, то отклонение x от точного значения a меньше δ, то есть │x – a│˂ δ. Выражение «погрешность значения y = f(x) сколь угодно мала» означает: какая бы точность ε ˃ 0 ни была задана, всегда можно добиться того, чтобы отклонение f(x) от f(a) было меньше ε, то есть │f(x) – f(a)│˂ ε. Такой точности можно добиться при выборе x достаточно близко к a. Таким образом, из неравенства │x – a│˂ δ будет следовать неравенство │f(x) – f(a)│˂ ε.
Вернемся к примеру с грузом, подвешенным на нити. Пусть масса груза много меньше массы, вызывающей обрыв нити. В таком случае при указании некоторого значения удлинения нити ∆ l всегда можно подобрать дополнительную нагрузку ∆m, чтобы удлинение нити не превысило указанного значения. Или на языке ε-δ: для любого заранее указанного удлинения нити ε можно подобрать такое значение δ, что, если масса дополнительной нагрузки меньше δ, нить удлинится менее чем на ε.
Такие наглядные рассуждения делают для старшеклассника и студента-первокурсника следующее определение понятным и оправданным [4].
Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке a, если выполнены два условия:
1) функция определена в некоторой окрестности точки a;
2) для любого ε ˃ 0 существует такое δ ˃ 0, что из │x – a│˂ δ вытекает │f(x) – f(a)│˂ ε.
Необходимо проиллюстрировать определение геометрически. Выберем на графике функции y = f(x) точку М(a, f(a)), которую спроектируем на оси координат. Выберем ε-окрестность точки f(a) на оси Оy. Если функция непрерывна в точке a, то на оси Оx можно найти δ-окрестность точки a, обладающую свойством: какую бы точку x в этой δ-окрестности мы ни взяли, точка f(a) на оси Оy (соответствующее x = a значение функции) будет находиться в заданной ε-окрестности точки f(a) (рис. 3).
Рис. 3
Определение. Функция y = f(x), определенная на промежутке X, называется непрерывной на данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка X.
Пользуясь определением, необходимо провести строгое доказательство непрерывности некоторых элементарных функций. Такую работу следует провести как с первокурсниками, так и со старшеклассниками, поскольку такие функции им уже хорошо знакомы.
Пример 1. Докажем непрерывность постоянной функции y = С, определенной при всех x ∊ R.
Выберем произвольное число ε ˃ 0. Тогда для любого x имеем │f(x) – f(a)│ = │С – С│ = 0 ˂ ε. Мы доказали, что для выбранного произвольно ε ˃ 0 существует такое δ ˃ 0, что из │x – a│˂ δ следует неравенство │f(x) – f(a)│˂ ε. Таким образом, доказана непрерывность постоянной функции в любой точке a.
Пример 2. Докажем непрерывность линейной функции y = kx + b, определенной при всех x ∊ R. Выберем произвольное число ε ˃ 0. Тогда для любого x имеем │f(x) – f(a)│ = │(kx + b) – (ka + b)│ = │k│∙│x – a│. Неравенство │f(x) – f(a)│˂ ε в данном случае равносильно │k│∙│x-a│˂ ε, то есть │x – a│˂ . Значит, если положить δ = , то из неравенства │x – a│˂ δ будет следовать неравенство │f(x) – f(a)│˂ ε. Непрерывность линейной функции в любой точке a ∊ Rдоказана.
Пример 3. Доказать, что функция y = cosx непрерывна в любой точке a.
Докажем вспомогательное утверждение: для любых значений x справедливо неравенство │cosx – cosa│≤│x – a│(1). Для доказательства рассмотрим единичную окружность (рис. 4).
Рис. 4
Имеем: = x, = a, = │x-a│, = cosx, │CL│ = cosa, │BD│ = │cosx – cosa│.
Так как │BD│˂│BС│˂ , то получаем, что │cosx – cosa│ = │x – a│ = 0. Значит, │cosx – cosa│≤│x – a│. Вспомогательное утверждение доказано.
Вернемся к нашему примеру. Выберем произвольное число ε ˃ 0 и попробуем найти такое δ ˃ 0, чтобы из неравенства │x – a│˂ δ следовало неравенство │cosx – cosa│˂ ε. Из неравенства (1) следует, что можно положить δ = ε. Действительно, если │x – a│˂ δ, то есть │x – a│˂ε, то в силу того, что │cosx – cosa│≤ │x-a│, получим │cosx – cosa│˂ ε. Это означает, что функция y = cosx непрерывна в любой точке a.
Задачи для самостоятельного решения
Доказать по определению непрерывность функций:
1) y = ;
2) y = ;
3) y = при x ≠ 0; указание: выбрать δ ˂ и δ ˂ ;
4) y = sinx.
Таким образом, привлечение примеров из физики и наглядно-графические представления способствуют прочному усвоению учащимися понятия непрерывности функции, а также совершенствованию методики изложения отдельных разделов курса алгебры и начал анализа в средней школе и математического анализа в высшем учебном заведении [5–7].