Methodological aspects of the presentation of the topic “Linear differential equations with constant coefficients and the right-hand side of a special form” in the course “Differential equations”

Решение физических и механических задач обычно начинается с построения математической модели, которая, в свою очередь, решается различными математическими методами. При этом большинство задач, изучаемых студентами технических специальностей в курсах физики, теоретической механики и электротехники, сводится к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Поэтому при изучении математических, базовых дисциплин уделяют большое внимание решению именно этих уравнений. Также следует отметить и тот факт, что при решении таких уравнений студенты могут использовать знания, полученные при изучении курса линейной алгебры, что наглядно демонстрирует не только неразрывную связь различных разделов математики, но и универсальность законов, устанавливаемых ею.

Несмотря на то что методы, с помощью которых решаются такие задачи, не предполагают использования знаний по технике интегрирования и все решение сводится к достаточно простым алгебраическим операциям, большинство студентов считают эту тему достаточно сложной. В первую очередь это связано с недостаточными знаниями школьной программы, а именно с решением алгебраических уравнений. Другая сложность заключается в том, что решение задач по данной теме требует хорошего знания теории и умения ее применять. Для этого нужно научить студентов проанализировать задачу, определить значения основных параметров и затем, на основании полученных данных и основных теорем, выписать решение. Все это кажется первокурсникам довольно трудным, поскольку материал в учебниках дается в общем виде и в нем присутствует большое количество обозначений.

В данной статье рассмотрен способ изложения материала, базирующийся на многолетнем опыте преподавания, отмечены основные ошибки, которые допускают студенты, и приведено большое количество специально подобранных задач, на которых следует сделать акцент на занятиях.

Решение однородных линейных дифференциальных уравнений

Как правило, при изложении материала на семинарах вначале рассматривают более простые уравнения, на примере которых можно проиллюстрировать основные теоретические понятия, а затем уже переходят к более сложным. Поэтому обычно изучение темы начинают с рассмотрения однородных линейных дифференциальных уравнений.

Поскольку в курсе «Дифференциальные уравнения» решение задач тесно связано с основными теоретическими понятиями, при изложении материала на семинарах необходимо напомнить студентам определения и теоремы, на основании которых они будут находить решения уравнений. Эти понятия хорошо изложены в учебниках [1–4], отметим самые важные из них.

Определение 1. Уравнение вида

,               (1)

где  – заданные непрерывные функции, называется линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка (далее – ЛОДУ).

Как известно, множество частных решений ЛОДУ является линейным пространством размерности n.

Определение 2. Любой набор из n линейно независимых частных решений ЛОДУ n-го порядка называется фундаментальной системой решений (далее – ФСР).

Теорема 1. Для всякого линейного однородного дифференциального уравнения существует фундаментальная система решений.

Теорема 2 (о структуре общего решения ЛОДУ). Если  – некоторая ФСР ЛОДУ n-го порядка, то его общее решение имеет вид:

.

Таким образом, задача нахождения общего решения ЛОДУ сводится к отысканию ФСР этого уравнения. В общем случае задача отыскания ФСР не является тривиальной, но, тем не менее, есть класс уравнений, для которых это всегда возможно. Это ЛОДУ, в которых коэффициенты  являются постоянными числами, и именно такие уравнения в первую очередь рассматривают на занятии.

Определение 3. Уравнение вида

,               (2)

где , называется ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Особенностью таких уравнений является то, что найти общее решение удается в элементарных функциях и процесс нахождения этого решения существенно упрощается тем, что он сводится даже не к нахождению интегралов, а к алгебраическим операциям.

При изложении темы нужно обратить внимание студентов на то, какие интересные идеи лежат в основе построения ФСР в данном случае. Понимание этих идей, осознанная, а не формальная запись различных формул дают возможность избегать ошибок в процессе решения и проверять сделанные выкладки.

Нужно обратить внимание студентов на функцию , которая при дифференцировании дает подобную себе функцию и может удовлетворять ЛОДУ при определенном выборе постоянной k.

Теорема 3. Функция  будет являться решением ЛОДУ тогда и только тогда, когда  будет корнем его характеристического уравнения:

.                     (3)

Это алгебраическое уравнение, и при его составлении необходимо обратить внимание студентов на то, что степень величины  в характеристическом уравнении соответствует порядку производной в ЛОДУ. Это связано с видом производных функции . При этом слагаемому  будет соответствовать .

Поэтому задача отыскания решения ЛОДУ сводится к нахождению корней алгебраического уравнения (3).

Согласно основной теореме алгебры многочлен степени n с действительными коэффициентами имеет n комплексных корней (с учетом их кратности), при этом если  – комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то  (сопряженное комплексному числу ) тоже корень многочлена. Следовательно, возможны следующие случаи: простые действительные корни, действительные кратные, комплексно сопряженные простые и комплексно сопряженные кратные.

Основная трудность, которую студенты испытывают на этапе решения алгебраических уравнений, связана с пробелами в школьных знаниях, а также с элементарной невнимательностью. Поэтому нужно обязательно напомнить, что отыскание корней характеристического уравнения и нахождение их кратности тесно связано с разложением его на множители.

Необходимо на занятии сделать акцент на том, чтобы каждый раз при решении уравнения студенты выписывали это разложение, а также нумеровали все корни и проверяли совпадение их количества с порядком уравнения.

Если все значения  найдены, можно выписать соответствующие решения, используя табл. 1.

Таблица 1

В результате получим набор из  линейно независимых действительных решений.

Общее решение будет представлять собой линейную комбинацию этих функций:  где  – произвольные числа.

Рассмотрим некоторые примеры и разберем типовые ошибки.

Задача 1. Решить уравнение . Записать ФСР и выписать общее решение.

Решение. В данном примере порядок производной обозначается римскими цифрами. Часто студенты путают цифры 4 и 6, 9 и 11 и т. д. Необходимо обратить внимание обучающихся на этот момент.

Составим характеристическое уравнение и решим его:

.

В этом случае нужно обратить внимание на то, что поскольку уравнение имеет шестой порядок, то и число корней (с учетом их кратности) тоже должно быть равно шести. Поэтому лучше пронумеровать все корни, при такой форме записи и их кратность хорошо видна. Соответственно, согласно табл. 1, для корня  кратности  запишем набор из четырех решений , а для  кратности  набор из двух: . Таким образом, имеем шесть линейно независимых решений, их число совпало с порядком уравнения, следовательно, они представляют собой ФСР. Теперь можно выписать общее решение . Студенты должны убедиться, что оно содержит столько постоянных  , каков порядок решаемого уравнения.

В следующей задаче примеры подобраны так, чтобы обратить внимание студентов на одну из самых часто встречающихся ошибок.

Задача 2. Для следующих уравнений найти ФСР и выписать общее решение:

а)     .

б)     .

в)     .

Решение

а)     Составим характеристическое уравнение: . Здесь необходимо отметить, что слагаемому  в характеристическом уравнении будет соответствовать слагаемое  (часто студенты по невнимательности вместо него пишут ). При решении этого уравнения необходимо разложить разность кубов на простейшие множители и найти корни. Именно здесь студенты чаще всего допускают ошибку, считая, что , тем самым путая его с уравнением , которое возникает в процессе решения другой задачи.

.

Составим ФСР:  – и затем выпишем общее решение: .

б)     Внешне эта задача очень похожа на предыдущую, однако здесь характеристическое уравнение примет вид: .

.

В этом случае все корни действительные и простые, следовательно, ФСР примет вид: . Запишем общее решение .

в)     В этом случае характеристическое уравнение имеет вид: . Вот здесь мы как раз имеем дело со случаем действительных кратных корней, следовательно, ФСР будет выглядеть таким образом: . Выпишем общее решение: .

После того как эта тема будет усвоена, можно перейти к рассмотрению неоднородных линейных дифференциальных уравнений.

Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений

Определение 1. Уравнение вида

, ,        (4)

где  – непрерывная функция, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.

При изложении материала на занятии нужно напомнить студентам необходимые теоретические сведения [5–8].

Теорема 6. Если – какое-либо известное частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (2), то его общее решение есть сумма этого решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. .

Теорема 7. Если  – решение уравнения , то сумма  – решение уравнения .

Таким образом, после того как студенты научились находить решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами, решение равнения (4) сводится к нахождению . В общем случае эта задача решаются методом Лагранжа, в ходе которого необходимо находить интегралы.

Однако, среди уравнений (4) есть такие, для которых частное решение находится без интегрирования, с использованием только алгебраических операций. В этом случае функция  должна иметь определенную структуру, а сам метод носит название метода неопределенных коэффициентов.

Определение 5. Если правая часть ЛНДУ уравнения (5) имеет вид  (где  – многочлены степени  и  соответственно,  – некоторые действительные постоянные), то это уравнение называется ЛНДУ с правой частью специального вида.

Основная идея метода неопределенных коэффициентов состоит в том, что частное решение ищется в том же виде, который имеет функция , стоящая в правой части уравнения (5).

Теорема 8. Пусть правая часть уравнения  имеет вид . Тогда частное решение ЛНДУ можно найти в форме , где  – многочлены степени  с действительными коэффициентами, а  – кратность корня  характеристического уравнения (если  не является корнем характеристического уравнения, то ).

Несмотря на то что при решении задач этим методом все сводится к достаточно простым алгебраическим действиям, большинство студентов считают эту тему достаточно сложной.

Основных трудностей две. В первую очередь надо разобраться со структурой функции, стоящей в правой части. Поэтому рекомендуется привести примеры различных функций, определить, удовлетворяют ли они определению 5, и если да, то выписать соответствующие многочлены и определить значения основных параметров. Примеры различных уравнений можно найти в задачниках [9, 10]. Например, или  

В этом случае мы предлагаем использовать таблицы, которые позволяют структурировать правую часть уравнения и свести к минимуму возможные ошибки при определении всех параметров.

Вторая трудность заключается в определении кратности комплексно сопряженных корней. При решении таких задач необходимо заострить внимание студентов на том факте, что поскольку характеристическое уравнение (3) имеет действительные коэффициенты, то его комплексные корни могут быть только сопряженными и будут входить в него с одинаковой кратностью. Поэтому если корень  имеет кратность , то и сопряженный корень  имеет ту же кратность. При этом характеристический многочлен лучше разложить на множители.

Рассмотрим примеры.

Задача 3. Решить уравнение  при начальных условиях .

Решение. Найдем общее решение соответствующего ЛОДУ .

Составим и решим характеристическое уравнение: . Составим ФСР:  – и запишем .

Часто студенты, найдя это решение, сразу подставляют начальные условия. Это грубая ошибка, поскольку начальным условиям должно удовлетворять только решение неоднородного уравнения.

Поэтому сначала найдем частное решение  исходного уравнения методом подбора, затем запишем его общее решение в виде и только потом подставим начальные условия. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся принципом суперпозиции. Выпишем все функции, стоящие в правой части, и для каждой из них найдем частное решение.

Анализ структуры правой части требует внимания и аккуратности, поэтому мы предлагаем студентам составить табл. 2, с помощью которой процесс нахождения частных решений сильно упрощается и позволяет ошибки, связанные с невнимательностью, свести к минимуму. Связано это с тем, что в процессе заполнения таблицы студент вынужден выписать отдельно структуру каждой функции, проанализировать ее, определить значения соответствующих коэффициентов и затем, на основании полученных данных, записать вид частного решения согласно теореме 8.

Таблица 2

Покажем, как заполняется таблица. Запишем первое слагаемое правой части: . 

Составляем число . Среди корней характеристического уравнения есть такие комплексно-сопряженные корни, и входят они в уравнение с одинаковой кратностью, поэтому . Теперь, согласно теореме 8, можно записать вид частного решения:  (многочлен  при функции  равен нулю, но, составляя частное решение , записываем его общий вид).

Запишем второе слагаемое правой части: .

Составляем число . Среди корней характеристического уравнения таких корней нет, поэтому . Запишем вид второго частного решения: .

Найдем коэффициенты . Это проще делать, используя теорему 7, т. е. подставляя частные решения в укороченные уравнения .

Найдем  и . Для этого функцию  и ее производные , подставим в уравнение  и приравняем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях в левой и правой частях равенства, поскольку это равенство должно выполняться тождественно, т. е. для всех значений переменной .

.

Необходимо обратить внимание студентов на то обстоятельство, что слагаемые, содержащие множителем переменную , сокращаются, соответственно,  и находятся однозначно.

Переходим к нахождению последнего коэффициента . Для этого подставляем в уравнение  функцию  и ее производные . Получаем , следовательно, .

В результате общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

.

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , найдем, подставив в них полученное решение и его производную:

.

Следовательно, .

Задача 4. Указать вид общего решения уравнения .

Решение. Для начала найдем решение соответствующего ЛОДУ:

.

Для этого решим характеристическое уравнение:

.

Составим ФСР: . Следовательно, .

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся принципом суперпозиции. В правой части объединим слагаемые одного вида и выпишем получившиеся функции.

.

Заполним таблицу.

Таблица 3

Обратите внимание на третью строку табл. 3. Многочлен  при функции  равен нулю, но, составляя частное решение , записываем его общий вид:

  .

В этой задаче вычислять  не нужно, поэтому выпишем ответ:

В данной статье предлагается методика изложения материала по теме «Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида», которая позволяет студентам хорошо усвоить материал, а также выработать прочные навыки решения задач и избежать ошибок, связанных с невнимательностью.