Tatyana S. MamontovaТригонометрия занимает одно из центральных мест в школьном курсе математики как по значению, так и по объему содержания учебного материала и количеству приемов учебной деятельности, которые в дальнейшем помогают решать целый класс задач теоретического и прикладного характера. Основы тригонометрии закладываются еще в 8-м классе на уроках геометрии, а в 9–10-х классах расширяются до методов решения тригонометрических уравнений, неравенств и их систем. Следует заметить также, что раздел «Тригонометрия» составляет 21% от всех заданий ЕГЭ по математике (базовый уровень).
Одной из проблем, с которыми сталкиваются учащиеся на начальных этапах изучения тригонометрии, является сложность теоретического обоснования и необходимость прочного запоминания значений тригонометрических функций для основных значений величин углов (0º, 30º, 45º, 60º, 90º). Нередко учащиеся «зазубривают» их, не вникая в особенности практического вычисления так называемых «табличных» значений.
Целью проведенного исследования стало выявление теоретических основ и разработка практических рекомендаций обучения учащихся 8–10-х классов приемам запоминания «табличных» значений тригонометрических функций.
Многими исследователями (П. И. Зинченко, И. Ф. Кашлач, В. Я. Ляудис, М. С. Роговин, А. А. Смирнов и др.) замечено, что при запоминании учебного материала на помощь учащимся приходит логическая память. Логическая память представляет собой вид памяти, опирающийся «на установление и запоминание смысловых связей и отношений в материале, который необходимо запомнить» [1]. Процесс развития логической памяти учащегося рассматривается как формирование способов организации учебной деятельности, опирающейся на установление и запоминание смысловых связей и отношений в материале. Сам процесс запоминания характеризуется не столько функциями сохранения и закрепления учебного материала, сколько функцией его воспроизведения.
Психолог А. А. Смирнов отмечал, что задача воспроизведения информации активизирует познавательную деятельность человека [2]. Отсутствие способов деятельности с учебным материалом приводит к его быстрому забыванию. Следовательно, для прочного запоминания какого-либо учебного материала потребуется в ходе учебной деятельности построить систему связей, которые в дальнейшем составят мнемическое действие. Мнемические действия, или мнемические приемы, представляют собой способы обработки запоминаемого материала, увеличивающие продуктивность процессов памяти (скорость, объем, прочность запоминания и воспроизведения) [3].
Значение мнемических приемов запоминания для школьного курса математики подчеркивали многие педагоги-методисты (О. Б. Епишева [4], И. Ф. Кашлач [5] и др.). Свойства запоминаемого материала должны лежать в основе его математической модели, построенной через систему операций мнемического действия. Исходя из того что все приемы организации учебной информации, ее обработка, обобщение и структурирование могут выступать в качестве операционных механизмов мнемических действий, выделим основные виды этих механизмов применительно к логической памяти: разбиение учебного материала на смысловые группы, сравнение, классификация, структурирование, систематизация, аналогия, вербализация данных, преобразование информации на основе семантических связей, достраивание материала, упорядочивание и т. п.
Построим на основе перечисленных операционных механизмов логической памяти серию приемов запоминания «табличных» значений тригонометрических функций. В прямоугольной системе координат построим единичную окружность с центром в начале координат. Из точки О (0; 0) проведем луч h, пересекающий окружность в точке М (x; y). Через α обозначим угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если угол α острый (рис. 1), то из прямоугольного треугольника ODM имеем: sin α = y, cos α = x, последовательность «табличных» углов 1-й четверти и соответствие радианной меры углов градусной: 0→ → → → (0º→ 30º → 45º → 60º → 90º).
Рис. 1. Модель тригонометрического круга
Приведенные ниже приемы будут касаться только первой четверти тригонометрического круга, поскольку все остальные значения ученик сможет получить, воспользовавшись свойством периодичности тригонометрических функций, прибавив к «табличному» значению число ( ).
- Прием, основанный на определении понятий синуса, косинуса, тангенса. Пусть необходимо найти значение . Радианному значению соответствует градусная мера в 30º, следовательно, из начала координат проводим луч, который составляет с положительной полуосью Oх 30º. Так как необходимо найти синус угла, то параллельно оси Oy проводим прямую MN (через точку пересечения луча и окружности), получив прямоугольный ΔONM (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к приему, основанному на определении понятий синуса, косинуса, тангенса
и котангенса
Далее, катет, лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузе, т. е. MN = , а следовательно . Для нахождения можно воспользоваться теоремой Пифагора. Случай угла приводит к рассмотрению прямоугольного равнобедренного ΔONM: [6].
- Прием, основанный на периодичности тригонометрических функций и их «поведении» в четвертях тригонометрического круга. Можно предложить учащимся запомнить лишь одну формулу . Чтобы применить ее для вычисления значений тригонометрических функций, нужно пронумеровать «ключевые» углы первой координатной четверти: n = 0, 1, 2, 3, 4 (см. рис. 3).
Рис. 3. Нумерация «ключевых» углов для функции синуса
Тогда можно вычислить: , Необходимо также помнить, что функция синуса «поднимается в гору» (как бы приближаясь к своей оси), а функция косинуса «спускается с горы», при этом нумерация n меняет свой порядок (рис. 4).
Рис. 4. Нумерация «ключевых» углов для функции косинуса
- Прием, основанный на симметричности значений функций синуса и косинуса для углов 1-й координатной четверти. Учащимся часто предлагают запомнить «наизусть» тригонометрическую таблицу углов. Однако данную таблицу можно упростить, записав лишь значения по диагонали (см. таблицу). Такая таблица ускоряет поиск нужных значений, и ученик не отвлекается на рядом стоящие величины (так как они отсутствуют).
Тригонометрическая таблица углов для синуса и косинуса
|
Cos α Sin α |
0º (0 рад) |
30º ( ) |
45º ( ) |
60º ( ) |
90º ( ) |
|
0º (0 рад) |
|
|
|
|
0 |
|
30º ( ) |
|
|
|
|
|
|
45º ( ) |
|
|
|
|
|
|
60º ( ) |
|
|
|
|
|
|
90º ( ) |
1 |
|
|
|
|
Чтобы не спутать, где писать в таблице синус, а где косинус, записать их необходимо так, как расположены их оси, т. е. синус – вертикальный столбец, а косинус – горизонтальная строка.
Для закрепления приемов можно предложить учащимся серию заданий:
- Переведите в радианы 150º. Решение: заметим, что угол в 150о больше в 5 раз, чем 30о. Зная, что , получаем, что .
- Вычислите . Решение: . Или .
- Найдите значение . Решение: .
- Верно ли равенство ? Решение: , значение соответствует 30о. Так как вычитали из ( ), то получаем - . Равенство верно.
- Вычислите . Решение: .
Целенаправленное изучение и закрепление мнемонических приемов запоминания основных значений тригонометрических функций поможет организовать прочное и долговременное, а главное, осознанное запоминание учебного материала по теме.