Methodological aspects of the topic "First order differential equations" presentation within the course "Differential Equations"

Большинство задач, решаемых в инженерной практике, требует решения дифференциальных уравнений. Тема «Дифференциальные уравнения первого порядка» очень важна, поскольку многие уравнения высших порядков допускают понижение порядка и приводятся к уравнениям первого порядка. Эти уравнения хорошо изучены, для них построена общая теория и разработаны различные методы решения [1–4]. Данная тема вызывает немало сложностей и приводит к большому числу ошибок у студентов.

Занятие необходимо начинать с краткого изложения теории. Начнем с этого и мы.

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) первого порядка называется уравнение, которое зависит от одной переменной , неизвестной функции  и ее первой производной:  или  [5].

Каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, отличных друг от друга на постоянную величину. Процесс нахождения решения ОДУ обычно называют интегрированием дифференциального уравнения [6].

При решении реальных задач часто требуется найти решение ДУ, отвечающее определенным условиям.

Определение 2. Условие, такое, что при  функция , называется начальным условием.

Задача Коши формулируется так: найти решение  уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию  [7]. Таким образом, эта задача – совокупность ДУ и начального условия: .

Определение 3. Соотношение  где  – произвольная постоянная, называется общим интегралом ДУ , если оно эквивалентно этому уравнению, а именно:

1)     если любой , полученный из , обращает в тождество ДУ;

2)     любой , удовлетворяющий ДУ, удовлетворяет и .

Определение 4. Общим решением ДУ первого порядка называется функция , удовлетворяющая условиям:

1)      – решение ДУ  при любых ;

2)     какое бы ни было начальное условие , можно найти такое , что функция  будет удовлетворять этому начальному условию.

Определение 5. Частным решением ДУ первого порядка называется любая функция , полученная из общего решения  при конкретном значении .

Таким образом, общее решение – совокупность всех частных решений.

Рассмотрим простейшие уравнения первого порядка.

Уравнение с разделяющимися переменными – это дифференциальное уравнение первого порядка, допускающее приведение к виду  где  – известные функции лишь переменной , а  – известные функции лишь переменной  [8].

Разделяем переменные так, чтобы дифференциалы были в числителе. Поэтому справа будем собирать все множители, содержащие переменную , а слева – все, содержащие переменную . При этом делим уравнение на произведение , предполагая, что ни один из множителей не равен нулю.

В результате получим: .

В обеих частях равенства стоят дифференциалы функций от  и от  соответственно. Поскольку дифференциалы равны, то сами функции отличаются друг от друга на константу: .

Тогда общий интеграл уравнения: .

При решении уравнения мы предполагали, что , что могло привести к потере решений. Надо сделать проверку. Рассмотрим это на примере.

Пример 1. Решить уравнение .

Разделим переменные: .

После интегрирования получим: .

В ходе решения мы делили наше уравнение на  и . Проверим потери решений. Сначала в исходное уравнение подставим . Легко заметить, что уравнение обращается в тождество. Следовательно,  – решение уравнения, не входящее в найденный общий интеграл. Теперь подставим . Видим, что и  также является решением уравнения.

Не стоит торопиться записывать ответ. Обратите внимание студентов на следующий момент: преобразуем общий интеграл, используя свойства логарифма и потенцирование. Получим выражение , в которое входят оба решения при . Итак, ответ: .

Еще три немаловажных замечания. Во-первых, часто студенты, во что бы то ни стало пытаются записать общее решение уравнения, т. е. выразить , что далеко не всегда возможно. К тому же лишние преобразования могут привести к дополнительным ошибкам. Во-вторых, общий интеграл (решение) уравнения первого порядка должен содержать одну произвольную постоянную. В-третьих, если будут заданы начальные условия, то проверять потери не надо, поскольку из множества решений необходимо найти только одно: удовлетворяющее этим условиям.

Перейдем к рассмотрению однородных уравнений.

Определение 6. Функция  называется однородной функцией -го измерения относительно переменных  и , если при любом  выполняется равенство: .

Определение 7. Уравнение первого порядка  называется однородным относительно переменных  и , если функция  – однородная функция нулевого измерения относительно  и .

Однородные уравнениясводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки . Реже используется подстановка .

Однородным будет являться и уравнение вида , если функции  – однородные функции одного измерения [9].

Пример 2. Решить уравнение: .

Поскольку  и , функции  и  – однородные функции второго измерения.

Разделим уравнение на . Здесь степень  совпадает с измерением однородных функций. После этого сделаем замену .

В итоге получим: . Раскроем скобки, но в разумных пределах (производную  оставим за скобкой): .

Обратите внимание студентов, что описанная замена должна свести уравнение однородное к уравнению с разделяющимися переменными. Приведем подобные и получим: .

Разделим переменные: .

Интегрируем обе части равенства, раскладывая левую часть на простейшие дроби: .

Обратите внимание на несколько важных моментов. Во-первых, мы сможем улучшить ответ, используя свойства логарифма и потенцирование:

.

Во-вторых, надо не забыть вернуться к исходной функции, сделав обратную замену:

.

В-третьих, при решении задачи уравнение сводилось к уравнению с разделяющимися переменными, и потому возможны потери решений. Сделаем проверку, подставляя в исходное уравнение:

 – особое решение, так как обращает уравнение в тождество и не входит в общий интеграл ни при каком ;

 – решение уравнения, но входит в общее при ;

 не является решением.

Ответ: .

Перейдем к рассмотрению следующего типа уравнений первого порядка – линейных уравнений.

Определение 8. ДУ первого порядка называется линейным, если оно линейно относительно функции  и ее производной : , где  – заданные непрерывные функции.

Если , то уравнение называется однородным. В противном случае – неоднородным.

Для решения линейного неоднородного уравнения применяют два метода. Один из них – метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной), который рассмотрим на примере.

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение задачи методом Лагранжа содержит два этапа.

Шаг 1. Решение соответствующего однородного уравнения: . Это уравнение с разделяющимися переменными: . Очень важный момент, на который необходимо обратить внимание студентов: здесь всегда добавляем константу интегрирования в виде  и после использования свойств логарифма получаем . Если же искать решение в виде , то после потенцирования получим: . Это противоречит области значений исходной функции.

Итак, после первого шага получили: .

Шаг 2. Вариация произвольной постоянной. Считаем, что  не константа, а функция, зависящая от : . Тогда  и .

Подставляем в исходное уравнение (включая правую часть). Обратите внимание студентов на следующее: если все сделано правильно, после подстановки слагаемые, содержащие , должны взаимно уничтожиться:

.

Снова приходим к уравнению с разделяющимися переменными, из которого находим  

.

Подставим найденное  в выражение для .

Очень важно обратить внимание студентов на то, что общее решение линейного неоднородного уравнения складывается из решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Еще один важный момент: линейное уравнение – единственное уравнение первого порядка, в котором потери невозможны.

Решим этот же пример методом Бернулли (методом подстановки ).

Ищем решение в виде . По правилу производной произведения: .

Подставим в исходное уравнение: .

Скомпонуем слагаемые следующим образом: .

Выберем  так, чтобы . Таким образом, уравнение сведется к следующей системе дифференциальных уравнений: .

Решим первое уравнение этой системы: . Из множества решений надо выбрать одно, поэтому пусть .

Подставим эту функцию во второе уравнение и решим его: .

Окончательно получаем: .

Мы не напрасно решали одно и то же уравнение двумя методами. Предложите студентам сравнить эти два решения. Первое уравнение системы не что иное, как соответствующее однородное уравнение, а второе – результат подстановки решения первого в линейное уравнение с учетом неоднородной части. Каким бы методом мы ни решали уравнение, промежуточные результаты должны быть одинаковы.

Еще один интересный момент. Для этого типа уравнений мы получаем общее решение, а не общий интеграл.

Рассмотрим последний тип уравнений первого порядка: уравнения Бернулли.

Это уравнения вида  (в противном случае при  это линейное уравнение, при  – уравнение с разделяющимися переменными).

Обратите внимание студентов, что уравнение Бернулли и линейное отличаются только правой частью: одна из них не содержит функциональную переменную , а другая – содержит.

Уравнение Бернулли приводится к линейному с помощью подстановки , где  – новая неизвестная функция. На практике приводить его к линейному не обязательно, а можно сразу решать методами Лагранжа или Бернулли. Как мы выяснили только что, они практически не отличаются. Автор предпочитает метод Лагранжа, поскольку в курсе «Дифференциальные уравнения» с ним приходится встречаться еще не раз.

Пример 4. Найти решение уравнения  при условии:

Начинаем с решения линейного однородного уравнения. Нередко при записи этой части уравнения студенты допускают ошибку. Во избежание этого предложите им подчеркнуть слагаемые, которые содержат  и  в первой степени (линейно зависящие от ). Они и образуют линейную часть уравнения. Решим его:

.

Важно: здесь, как и при решении линейного уравнения, необходимо добавлять константу интегрирования в виде .

Обратим внимание на часто встречающуюся ошибку. Нам необходимо решить задачу Коши, т. е. найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Нередко студенты на этом этапе делают их подстановку, забывая о вариации произвольной постоянной вовсе. Это неверно. Мы решение задачи не довели до конца. Поиск конкретного значения произвольной постоянной необходимо проводить после завершения поиска общего решения уравнения (т. е. после завершения второго этапа).

Подставим в полное (с учетом правой части) найденное решение линейной части уравнения: .

Так же как и при подстановке в линейное уравнение, слагаемые, линейно зависящие от , должны уничтожиться. В итоге имеем:  .

Подставим найденное : .

Еще раз напомним, что проверять потери решений в этом примере не надо, так как наша задача – поиск частного решения.

Подставим начальные условия в полученное решение: .

Задача не считается доведенной до конца, пока мы не записали ответ. Подставим найденное значение  в решение.

Ответ: .

Все вышеизложенное можно свести в таблицу. В ней для каждого типа уравнений указан вид уравнения и метод решения. Последняя строка таблицы относится только к поиску общего интеграла (решения) дифференциального уравнения.

К рассмотренным типам дифференциальных уравнений можно привести многие другие дифференциальные уравнения с помощью преобразования переменных или перехода к обратной функции. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 5. Рассмотрим уравнение: . Сделаем замену: .

В итоге получим уравнение , которое является однородным.

Пример 6. Классифицировать уравнение: .

Перепишем уравнение в виде: . Получили линейное уравнение относительно .

Знать методы решения ДУ первого порядка – это лишь полдела. Очень важно научиться правильно классифицировать уравнения. Это позволит верно выбрать ход решения ДУ.

При подготовке к контрольным мероприятиям важно особо акцентировать внимание студентов на классификации, учить этому.

Пример 7. Классифицировать уравнения:

Сначала все уравнения необходимо привести к виду: :

Проще всего, на наш взгляд, классифицировать однородное уравнение. Достаточно во все функции  вместо  и  подставить  для проверки, какие из них являются однородными одного измерения. В итоге видим, что второе уравнение является однородным:

.

Также является однородным и пятое уравнение. В нем есть подсказка: в условии присутствует функция аргумента . При решении этого уравнения разумнее применить замену , а не более привычную .

Следующим шагом проверяем, какие из оставшихся уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными. Если функции  можно разложить на множители, каждый из которых является функцией только одной переменной: только  или только . Это возможно лишь в первом уравнении: . Следовательно, первое – уравнение с разделяющимися переменными.

Оставшиеся два уравнения либо линейные, либо Бернулли. Для классификации уравнение делим на более простую из двух  функций (не являющуюся суммой слагаемых, если только ее нельзя разложить на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной): . Правая часть этого уравнения не содержит функциональную переменную ( ). Значит, это линейное уравнение относительно .

Рассмотрим оставшееся уравнение: Сравниваем полученное уравнение с общим видом. Его правая часть содержит функциональную переменную . Итак, четвертое уравнение – уравнение Бернулли.

В результате приведенных рассуждений предложим следующий алгоритм решения дифференциального уравнения.

Чаще всего в задачниках для обучения решению ДУ параграфы называются так же, как классифицируются уравнения [10, 11]. Задачи этих разделов позволяют выучить методы решения уравнений. Однако при подготовке к контрольным мероприятиям следует наибольшее внимание уделить параграфам, содержащим смешанные дифференциальные уравнения [12], что позволяет отработать весь алгоритм: от классификации, выбора метода решения до ответа.

В данной статье был предложен алгоритмический подход к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Особое внимание уделено вопросам их классификации, что позволяет выбрать правильный и наиболее простой алгоритм решения поставленной задачи. Рассмотрены четыре основных типа дифференциальных уравнений первого порядка. Обращено внимание на некоторые моменты, вызывающие наибольшие трудности у студентов при решении задач.