Elena PopovaПри подготовке студентов приборостроительных специальностей важную роль играет изучение аналитических методов решения задач математической физики [1]. Одним из таких методов является метод Фурье разделения переменных [2–4], согласно которому решение ищется в виде разложения в ряд Фурье по системе собственных функций задачи Штурма – Лиувилля.
Для успешного освоения студентами данной темы в работе приводятся необходимые теоретические сведения из функционального анализа [5]. Особое внимание уделено рассмотрению задачи Штурма – Лиувилля. Изложенный материал включает постановку задачи, свойства собственных значений и собственных функций [6]. Приведена таблица, в которую сведены наиболее часто встречающиеся типы задач Штурма – Лиувилля для отрезка [7]. Работа содержит краткие теоретические сведения, связанные с постановкой краевых задач для уравнения Лапласа; доказательства сформулированных теорем можно найти в [8, 9]. Показан пример решения краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольной области.
Структурированный подход к изложению материала, сочетающий основные теоретические сведения и подробно разобранный пример решения краевой задачи, позволяет студентам не только овладеть математическим аппаратом, но и научиться применять его при решении прикладных задач.
Для описания стационарных процессов в физике обычно используют уравнения эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа
,
где − дифференциальный оператор 2-го порядка, называемый оператором Лапласа.
К уравнению Лапласа приводят задачи о стационарном тепловом состоянии однородного тела, равновесном распределении электрических зарядов на поверхности проводника, об установившемся движении несжимаемой жидкости и многие другие.
При решении краевых задач для уравнения Лапласа используют различные аналитические методы: метод Фурье разделения переменных, метод функции Грина и метод интегральных преобразований. В данной работе рассматривается метод Фурье разделения переменных.
Гильбертово пространство
Линейное пространство, в котором задана норма, называют нормированным пространством.
Нормированное пространство называют полным или банаховым пространством, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Гильбертовым пространством называют бесконечномерное банахово пространство, норма в котором индуцирована скалярным произведением
.
Примером гильбертова пространства является пространство функций, суммируемых с квадратом на отрезке с весом :
.
Это пространство обозначается .
Скалярное произведение и норма в пространстве задаются следующим образом:
, ;
, .
Сходимость фундаментальной последовательности функций к функции означает, что
.
Такую сходимость называют сходимостью в среднем квадратичном.
Оператор Штурма − Лиувилля
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор , действующий на функцию по правилу
где , , , .
Этот оператор называют оператором Штурма − Лиувилля. К области определения оператора отнесем множество функций , удовлетворяющих условию и однородным граничным условиям
, ,
где , причем .
Свойства оператора :
1) ;
2) .
Задача Штурма − Лиувилля
Рассмотрим следующую краевую задачу с однородными граничными условиями на отрезке :
; (1)
, , (2)
где − оператор Штурма – Лиувилля; − некоторая постоянная; − весовая функция, , ; , причем .
Задачу (1), (2) называют задачей Штурма − Лиувилля. Она состоит в нахождении значений , при которых уравнение (1) имеет ненулевые решения из области определения оператора . Такие значения называют собственными значениями оператора , а соответствующие им нетривиальные решения − собственными функциями оператора .
Свойства собственных значений и собственных функций
задачи Штурма − Лиувилля
- Множество собственных значений счетно. При этом каждому собственному значению соответствует с точностью до числового множителя только одна собственная функция .
- Все собственные значения неотрицательны: . Значение может быть собственным значением оператора только при и .
- Собственные функции и , отвечающие различным собственным значениям и , ортогональны на отрезке с весом , т. е.
- Система собственных функций оператора является полной в пространстве .
Каждую функцию можно единственным образом разложить в свой ряд Фурье по системе собственных функций :
,
где − коэффициенты Фурье функции .
Этот ряд сходится равномерно на отрезке к функции по норме пространства , т. е. в среднеквадратичном.
Согласно теореме В. А. Стеклова, если , то ее ряд Фурье по системе собственных функций оператора сходится к абсолютно и равномерно.
Задача Штурма − Лиувилля для отрезка
Постановка задачи Штурма − Лиувилля (1), (2) является общей и в зависимости от значений коэффициентов включает в себя ряд частных случаев. Наиболее часто встречающиеся задачи Штурма − Лиувилля при , и приведены в таблице.
Примеры задач Штурма − Лиувилля для отрезка
|
Задача Штурма − Лиувилля |
Собственные значения и собственные функции задачи Штурма − Лиувилля |
|
Задача 1:
|
; , |
|
Задача 2:
|
, ; , ; , |
|
Задача 3:
|
; , |
|
Задача 4:
|
; , |
|
Задача 5:
|
, где − положительные корни уравнения ; , |
|
Задача 6:
|
, где − положительные корни уравнения ; , |
|
Задача 7:
|
, где − положительные корни уравнения ; , |
|
Задача 8:
|
, где − положительные корни уравнения ; , |
Постановка краевых задач для уравнения Лапласа
Краевая задача для уравнения Лапласа состоит в нахождении функции , удовлетворяющей в области уравнению Лапласа и некоторому условию, заданному на границе этой области. Такое условие называют граничным и в зависимости от его вида рассматривают следующие краевые задачи:
- первую краевую задачу, или задачу Дирихле, если задано граничное условие 1-го рода
;
- вторую краевую задачу, или задачу Неймана, если задано граничное условие 2-го рода
;
- третью краевую задачу, если задано граничное условие 3-го рода
,
где , , и ( ) – функции, заданные на границе области ; – внешняя нормаль к границе .
Если область, в которой поставлена краевая задача, ограничена, то такая задача называется внутренней.
Далее сформулируем основные свойства 1-й и 2-й внутренних краевых задач на плоскости.
- Решение внутренней задачи Дирихле на плоскости единственно.
- Внутренняя задача Дирихле на плоскости разрешима при любой непрерывной функции .
- Решение внутренней задачи Неймана на плоскости определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной.
- Внутренняя задача Неймана на плоскости разрешима при любой непрерывной функции , удовлетворяющей условию
где − граница области (замкнутый контур).
Решение краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике
методом Фурье разделения переменных
Пример. Найти решение следующей краевой задачи для уравнения Лапласа в прямоугольнике:
; (3)
; (4)
; (5)
где , .
Решение. Согласно методу Фурье, решение краевой задачи (3)–(5) будем искать в следующей форме:
. (6)
Запишем дифференциальный оператор , стоящий в левой части уравнения (3), в виде , где . Далее подставим предполагаемую форму решения (6) в уравнение (3):
.
После разделения переменных получим соотношение:
,
где .
В результате уравнение (3) в частных производных «распадается» на два дифференциальных уравнения:
; (7)
; (8)
Учитывая, что функция должна удовлетворять однородным граничным условиям (4), приходим к следующей задаче Штурма − Лиувилля:
Собственные значения и собственные функции этой задачи (см. таблицу) имеют вид:
; , .
При найденных значениях запишем дифференциальное уравнение (8) относительно искомой функции :
.
Общее решение этого уравнения представим в следующей форме:
,
где и − произвольные постоянные.
Подставляя функции и в равенство (6), получаем счетное множество частных решений уравнения (3), удовлетворяющих граничным условиям (4):
. (9)
В силу линейности и однородности дифференциального уравнения (3) и граничных условий (4) сумма всех решений вида (9) также будет удовлетворять уравнению (3) и граничным условиям (4).
Составим ряд, членами которого являются функции :
, (10)
и определим коэффициенты и таким образом, чтобы решение, записанное в виде ряда (10), удовлетворяло граничным условиям (5). Для этого подставим ряд (10) в граничные условия (5):
,
.
Данные соотношения представляют собой разложения функций и в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма − Лиувилля. Коэффициенты Фурье и этих разложений вычисляются по формулам:
,
.
При заданных функциях и находим:
;
Далее, подставляя в ряд (10) найденные значения коэффициентов Фурье, получаем решение краевой задачи (3)–(5):
.
При решении 1-й и 3-й краевых задач с неоднородными граничными условиями искомую функцию следует искать в виде суммы двух функций
,
где функция является решением краевой задачи с однородными граничными условиями по переменной и неоднородными граничными условиями по переменной , а функция − решением краевой задачи с неоднородными граничными условиями по переменной и однородными граничными условиями по переменной . При решении 2-й краевой задачи такой подход применим не всегда, поскольку для полученных краевых задач для функций и условие разрешимости может не выполняться.
Работа основана на личном опыте авторов преподавания данной дисциплины и ориентирована на студентов приборостроительных специальностей, в связи с чем особое внимание уделено методике решения краевых задач. Структурированная форма представления материала позволит сформировать у студента необходимые компетенции. Содержание статьи будет полезным преподавателям и студентам при подготовке к занятиям.