Full text

Во многих случаях, особенно при решении комплексных задач, наилучшим способом является графическое решение. Его главное преимущество – наглядность и простота восприятия представляемой информации.

Ранее в статьях [1, 2] была изложена методика построения графиков линейных однозначных функций, содержащих знак модуля. В этих работах нами были рассмотрены общие методы построения графиков некоторых лишь однозначных функциональных зависимостей. Напомним, что функциональная зависимость  называется однозначной, если каждому значению аргумента  соответствует единственное значение зависимой переменной .

Тем не менее на практике часто приходится сталкиваться с такими зависимостями, в которых каждому значению независимой переменной  может соответствовать несколько значений переменной . Напомним определение неоднозначной (многозначной) функции, введённое ранее в [3, 4].

Определение. Многозначной функцией называется закон (соответствие или правило) , по которому хотя бы одному элементу  из множества ставится в соответствие более одного значения  из множества .

Геометрическое место точек (далее – ГМТ), удовлетворяющих аналитическому заданию многозначной функциональной зависимости, называется её графиком.

Определение. ГМТ, удовлетворяющих какому-либо свойству, называется множество, в которое входят все те и только те точки, которые удовлетворяют этому свойству.

При решении практических задач довольно часто приходится сталкиваться с необходимостью представления результатов решения какой-либо сложной задачи или некоторого научного исследования в удобном для восприятия человека виде. На сегодняшний день существует множество путей достижения этой цели. В работах [5, 6] были разобраны некоторые методы и приемы построения графиков функций, содержащих знак модуля. Разберем еще один из методов исследования таких функций.

 

Метод разбиения функции на отдельные уравнения

 

Продемонстрируем практические приемы построения графиков функций различного уровня сложности методом разбиения многозначной функции на отдельные уравнения.

На практике часто встречаются выражения вида , где  – некоторая константа. Хорошо известно, что данное выражение можно представить в виде:

 

 

 

Таким образом, построение графика функции  сводится к построению графиков двух функций  и . Рассмотрим примеры построения графиков с использованием метода разбиения подобных функций на отдельные уравнения.

Пример 1. Построить ГМТ, удовлетворяющих уравнению

Перейдем от системы координат  к системе координат , сдвинув ось абсцисс на две единицы вниз, а ось ординат на одну единицу вправо. Таким образом, начало  новой системы координат  имеет координаты .

В новой системе координат  построим график функции  Заметим, что функция, стоящая в левой части последнего выражения, является четной по обеим переменным (и по , и по ). Поэтому достаточно провести построение при , , где уравнение имеет вид . А далее полученный график отразим относительно обеих координатных осей и начала координат.

Итак, уравнение  эквивалентно двум уравнениям:

 

 

 

Строим график каждого из этих уравнений при , . Первое уравнение после элементарных преобразований примет вид , а второе – .

Строим полученные прямые, а потом отражаем эти прямые относительно обеих осей координат.

Результат построения показан ниже на рис. 1. В итоге получаем, что ГМТ, удовлетворяющих уравнению , является крест, который образуется при пересечении двух пар параллельных прямых. Центр креста – это точка .

Замечание 1. При построении графиков функций вида  удобно пользоваться симметричностью относительно обеих координатных осей (что мы и сделали).

 

 

Рис. 1. ГМТ, удовлетворяющих уравнению

 

Усложним задачу, рассмотрим функцию, содержащую общий модуль от трех слагаемых.

Пример 2. Изобразить ГМТ, удовлетворяющих уравнению

 

.

 

Вновь сначала перейдем от обычной прямоугольной декартовой системы координат  к новой системе координат , перенеся ось  на единицу вниз, а ось  – на две единицы вправо. Таким образом, начало новой системы координат  – точка  – имеет координаты .

В системе координат  построим график функции . Для построения последнего графика вновь воспользуемся двойной симметричностью относительно координатных осей. Построим график данной функции только при , , а затем отразим построенный график относительно обеих координатных осей.

Итак, при ,  уравнение  примет вид .

Затем построим графики функций . Таким образом, получаем кусочную функцию:

 

 

Строим график этой функции. Затем отражаем построенный график относительно координатных осей  и .

Результат построения показан ниже на рис. 2.

В итоге ГМТ, удовлетворяющих уравнению , являются два квадрата с центрами в точке .

Замечание 2. Построить ГМТ функции  можно было и не используя метод разбиения функции на отдельные уравнения, а именно поступить следующим образом:

-          перейти к новой системе координат  и к уравнению ;

-          построить графики функций ;

-          отразить эти графики относительно обеих осей координат  и .

 

 

Рис. 2. ГМТ, удовлетворяющих уравнению

 

Как видим, существует множество путей достижения цели.

Итак, можно сказать, что предложенный в статье метод разбиения многозначной функции, содержащей знак модуля, на отдельные уравнения при построении графиков позволяет достаточно быстро сформировать навыки исследования функций. Наглядно видна эффективность и простота построения графиков на примере указанного метода.

Подводя итог, еще раз сформулируем основные положения и этапы исследования многозначной функции , которую разбиваем на два уравнения и сводим к построению графиков двух функций  и :

-          сначала переходим от обычной прямоугольной декартовой системы координат  к новой системе координат ;

-          определяем начало  новой системы координат ;

-          проводим построение при , ;

-          полученный график отражаем относительно обеих координатных осей ,  и начала координат;

-          определяем результирующий график функции.

Овладение методом разбиения на отдельные уравнения при исследовании многозначных функций будет полезным при выполнении целого спектра задач.

Более того, геометрическая интерпретация удобна и доступна для понимания некоторых алгебраических задач, которые перестают быть абстрактными и отвлеченными. Основным преимуществом графического решения задачи исследования функции является наглядность и простота восприятия представляемой информации.

Работа основана на личном опыте авторов преподавания дисциплины «Математический анализ» и ориентирована на студентов первого курса. Структурированная форма представления материала позволит сформировать у студента необходимые компетенции. Содержание статьи будет полезным преподавателям и студентам при подготовке к занятиям.