Faniya AhmetovaПри решении практических задач довольно часто приходится сталкиваться с необходимостью представления результатов решения какой-либо сложной задачи или некоторого научного исследования в удобном для восприятия человека виде. На сегодняшний день существует множество путей достижения этой цели. Во многих случаях, особенно при решении комплексных задач, наилучшим способом является графическое решение. Главное его преимущество – наглядность и простота восприятия представляемой информации.
Ранее в статьях [1, 2] была изложена методика построения графиков линейных однозначных функций, содержащих знак модуля. Детально были разобраны графики функций, заданных в виде линейной комбинации (суммы или разности модулей функций). В этих работах нами были рассмотрены общие методы построения графиков некоторых лишь однозначных функциональных зависимостей. Напомним, что функциональная зависимость называется однозначной, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение зависимой переменной .
Тем не менее на практике часто приходится сталкиваться с такими зависимостями, в которых каждому значению независимой переменной может соответствовать несколько значений переменной . Напомним определение неоднозначной (многозначной) функции, введённое ранее в [3, 4].
Определение. Многозначной функцией называется закон (соответствие или правило) , по которому хотя бы одному элементу из множества ставится в соответствие более одного значения из множества .
Геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющих аналитическому заданию многозначной функциональной зависимости, называется её графиком.
Определение. ГМТ, удовлетворяющих какому-либо свойству, называется множество, в которое входят все те и только те точки, которые удовлетворяют этому свойству.
Метод разбиения плоскости на несколько областей
Продемонстрируем практические приемы построения графиков функций различного уровня сложности методом разбиения координатной плоскости. Рассмотрим графики многозначных функций, которые содержат знак модуля.
Плоскость , как мы уже успели убедиться в [5], может быть разбита на полуплоскости, например, двумя параллельными прямыми и , удовлетворяющими уравнению (рис. 1):
Рис. 1. ГМТ функции
или на несколько других областей, например, прямыми и , т. е. графиком функции (рис. 2).
Рис. 2. ГМТ функции
Прямые, которые разбивают плоскость на несколько областей, называются границами областей.
Определить границы области можно, приравняв выражение, стоящее под знаком модуля, к нулю.
Алгоритм построения графиков методом разбиения плоскости
Метод построения графиков многозначных функций, содержащих знак модуля, с помощью разбиения координатной плоскости на несколько областей заключается в следующем:
1-й шаг: определение границ области (приравнивание к нулю выражения, стоящего под знаком модуля).
2-й шаг: при переходе через границы области функция меняет знак. Следовательно, следующим шагом является раскрытие знака модуля и получение аналитического вида функции в каждой из образовавшихся областей.
3-й шаг: построение в каждой из областей графика соответствующей функции.
Рассмотрим теперь применение данного алгоритма построения графиков на двух конкретных примерах.
Пример 1. Построить ГМТ, удовлетворяющих уравнению .
1-й шаг: приравниванием выражение, стоящее под знаком модуля, к нулю, получаем: . Прямая разбивает плоскость на несколько областей (в данном случае на две области).
2-й шаг: при выражение, стоящее под знаком модуля, , не меньше нуля. Следовательно, уравнение при имеет вид . Аналогично определяем, что при уравнение имеет вид .
3-й шаг: таким образом, нам следует построить график кусочной функции:
график которой изображен на рис. 3.
Рис. 3. ГМТ, удовлетворяющих уравнению
В итоге получаем, что ГМТ, удовлетворяющих уравнению , является угол с вершиной в точке , принадлежащей прямой .
Рассмотрим второй пример применения метода разбиения плоскости на несколько областей. Усложним задачу, рассмотрим сумму двух модулей функций.
Пример 2. Построить ГМТ, удовлетворяющих уравнению .
Так как в равенстве присутствует уже два знака модуля, то, соответственно, у нас будет не одна, а две границы различных областей.
1-й шаг: приравниваем выражения, стоящие под знаком модуля, к нулю, получаем , . Эти прямые разбивают плоскость на четыре области.
2-й шаг:
в области I: при , уравнение имеет вид , ;
в области II: при , имеем , , , ;
в области III: при , имеем , , ;
в области IV: при , имеем , , .
3-й шаг: строим графики функций:
Результат построения показан на рис. 4:
Рис. 4. ГМТ, удовлетворяющих уравнению
В итоге искомым ГМТ является параллелограмм, стороны которого задаются уравнениями , , , .
Подводя итог, можно сказать, что предложенный в статье метод разбиения координатной плоскости на несколько областей при построении графиков многозначных линейных функций, содержащих знак модуля, позволит достаточно быстро сформировать навыки исследования функций и построения их графиков. Еще раз сформулируем основные положения и этапы построения:
- Определение границ области путем приравнивания к нулю выражения, стоящего под знаком модуля.
- Раскрытие знака модуля и получение аналитического вида функции в каждой из образовавшихся областей.
- Построение в каждой из областей графика соответствующей функции.
- Выделение искомого ГМТ заданной функции.
Овладение методом разбиения координатной плоскости при исследовании многозначных функций будет полезным при выполнении целого спектра задач. Более того, геометрическая интерпретация удобна и доступна для понимания некоторых алгебраических задач, которые перестают быть абстрактными и отвлеченными. Основным преимуществом графического решения задачи исследования функции является наглядность и простота восприятия представляемой информации.
Работа основана на личном опыте авторов преподавания дисциплины «Математический анализ» и ориентирована на студентов первого курса. Структурированная форма представления материала позволит сформировать у студента необходимые компетенции. Содержание статьи будет полезным преподавателям и студентам при подготовке к занятиям.