Full text

В процессе подготовки к экзамену основной трудностью для студентов является освоение большого объема теоретического материала – необходимо учить множество определений, формулировок и доказательств теорем. Действительно, механическое заучивание большого количества математических утверждений затруднительно. Задача преподавателя заключается в том, чтобы объяснить студентам, что зачастую нет необходимости все заучивать дословно. Главное при подготовке к экзамену – учить схемы доказательств и основные идеи, на которых они основаны. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.

Очень многие теоремы по теории пределов, дифференциальному исчислению доказываются начиная с формулировки соответствующего базового определения.

Обратимся к теории пределов. Базовое определение – определение предела по Коши и его расшифровка на языке « ».

Определение 1. Число  называется пределом функции  при , если для любого числа  найдется число , такое, что для любых  выполняется неравенство  [1]. Здесь  – проколотая -окрестность точки . Это обозначение. Для доказательства теоремы необходимо понимание. Поэтому необходимо знать, что эту окрестность можно описать объединением интервалов  или двойным неравенством . Для разных теорем или задач может понадобиться или один, или другой вариант представления.

Для расшифровки определения можно предложить следующий шаблон:

 

*

**

 

    
   

 

    

 

Остается только выбрать нужные строки из таблицы и подставить в шаблон. Как правило, расшифровку определения приходится подкреплять геометрической иллюстрацией. Можно делать в обратном порядке: сначала иллюстрация, а потом определение. Здесь важно обратить внимание студентов, что  – значения . Если  – конечное число, то  мало, если  бесконечно, то  велико.

Приведем конкретный пример.

Пример 1.  [2].

В качестве иллюстрации возьмем функцию , график которой проходит через точку . Отметим на ней указанную точку (рис. 1). На оси  вверх и вниз от точки  отложим отрезки длиной . Через точки  и  проведем горизонтальные прямые до пересечения с прямой . Из точек пересечения опустим перпендикуляры на ось . Поскольку для примера мы взяли прямую , то в данном случае эти точки действительно симметричны относительно . Поэтому они имеют координаты  и . Если бы мы выбрали произвольную кривую, проходящую через точку , то точки на оси  могли оказаться и не симметричны относительно . В этом случае в качестве  надо брать длину меньшего из полученных отрезков. Дальше из геометрического смысла предела получаем: для любых значений , соответствующие значения , что равносильно неравенству . Расшифровка определения предела по Коши для данного случая имеет вид:

.

Рассмотрим случай, когда функция имеет бесконечный предел.

Пример 2.  [3].

Здесь при  значения функции , т. е. график функции имеет вертикальную асимптоту . Эта асимптота левосторонняя, поскольку . Выберем в качестве примера гиперболу  (рис. 2). Нам нужна только ее левая ветвь. Вверх по оси  отложим отрезок . Это большой отрезок, поскольку предел бесконечен. Проведем горизонтальную прямую через эту точку на оси до пересечения с гиперболой. Опустим перпендикуляр на ось . Получим точку . Остается, глядя на чертеж, записать расшифровку определения:

.

Рассмотрим теперь особенности, на которые нужно обращать внимание студентов при доказательстве теорем. В качестве примера выберем теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой (критерий того, что число  является пределом функции  при ). Здесь необходимо обратить внимание студентов, что под термином «критерий» понимается необходимое и достаточное условие, т. е. теорема, которая справедлива в обе стороны. Поэтому в формулировке должны быть использованы речевые обороты «необходимо и достаточно» или «тогда и только тогда».

Теорема. Число  – предел функции  при  тогда и только тогда, когда , где  – бесконечно малая при  [4]. Или: для того чтобы число  являлось пределом функции  при , необходимо и достаточно, чтобы , где  – бесконечно малая при .

Предложите студентам жесткую схему: дано, доказать, доказательство. Это дисциплинирует, систематизирует и упорядочивает выкладки. Традиционно сначала доказывается необходимое условие. Очень важно: формулируя его, мы считаем, что событие произошло. Поэтому

дано:  – предел функции  при , т. е. ;

доказать: , где  – бесконечно малая при .

Доказательство. В формулировке теоремы встречаются два важных понятия: предел функции и бесконечно малая. Поэтому начнем с расшифровки этих определений:

 

– бесконечно малая при , т. е.

Обозначим . Тогда получаем, что

 

Это и означает, что  – бесконечно малая при .

Теперь докажем достаточное условие.

Дано: , где  – бесконечно малая при .

Доказать: .

Доказательство: . Тогда, по определению бесконечно малой, имеем:  Это и означает, что число  – предел функции  при .

Теорема доказана.

Очень важно научить студентов видеть связь между теоретическим материалом и умением решать задачи по теме. В основном это касается не доказательства теорем, а вывода формул.

Рассмотрим задачу из темы «Приложения определенного интеграла».

Пример 3. Найти работу, которую необходимо затратить для того, чтобы остановить железный шар радиуса  вращающийся вокруг своего диаметра с угловой скоростью  (рис. 3) [5].

Из курса физики известно, что искомая работа будет равна кинетической энергии шара. Разобьем шар на части, для точек которых кинетическая энергия может считаться равной. Эти части – полые тонкостенные цилиндры, направляющие которых параллельны оси вращения шара. Толщина стенки таких цилиндров равна .

Для выделенной области кинетическая энергия находится по формуле: , где  – плотность железа.

Для выбранного цилиндра , а его объем при  можно считать равным объему параллелепипеда со сторонами , , . Высота этого цилиндра, как видно из чертежа, равна , а  – длина окружности основания цилиндра .

Окончательно получаем: .

Тогда: , где  – масса шара.

Перенесем теперь рассуждения, использованные при решении задачи, на теоретический материал и выведем формулу нахождения объема тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной отрезком  оси , прямыми  и графиком функции  вокруг оси . Для этого применим тот же прием, что и при решении задачи: разбиение области на части [6] (рис. 4).

Разделим отрезок . На каждом частичном отрезке выберем точку , вычислим значение функции . Объем тела, полученного вращением частичной трапеции вокруг оси , приближенно равен (если длина частичных отрезков бесконечно малая) объему тонкостенного полого цилиндра с высотой . Этот объем, в свою очередь, мало отличается от объема параллелепипеда со сторонами  (аналогичное допущение применили и в примере 3). Суммируя все частичные объемы, найдем объем искомого тела: .

Обратимся теперь к другой теме: «Дифференциальные уравнения».

Пример 4. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения , зная, что является решением этого уравнения [7].

Будем искать второе решение уравнения в виде: . Подставим его в уравнение: . Подстановку делаем в общем виде (не подставляя известное ): .

Собираем слагаемые по порядку производной . Тогда получаем уравнение: , в котором последнее слагаемое равно нулю, поскольку в скобке при  видим не что иное, как результат подстановки решения  в исходное уравнение. Этот момент, скорее всего, студенты пропустят, если подстановку делать не в общем виде. Окончательно уравнение примет вид: .

Полученное уравнение допускает понижение порядка, поскольку в явном виде не содержит . Вводим новую функцию: . Подставим ее в уравнение вместе с заданным . Решим полученное уравнение: . Из всего множества нам нужно только одно решение, поэтому примем . В итоге имеем: . Пусть . Тогда  и . Общее решение этого уравнения:

Покажем теперь, как можно использовать эти рассуждения при ответе на теоретический вопрос: как найти второе решение линейного однородного дифференциального уравнения  по известному первому [8].

Снова будем искать второе решение в виде: . Тогда . Подставляем в уравнение: . Перепишем уравнение по порядку производной . Снова последняя скобка равна нулю, поскольку  – решение однородного дифференциального уравнения. Окончательно получаем: . Понизим порядок уравнения, вводя новую функцию: . Разделим переменные: . Проинтегрируем и получим: . Выбираем . Отсюда: . Пусть . В итоге получаем формулу нахождения второго решения линейного однородного дифференциального уравнения по известному первому: .

Фактически, выводя эту формулу, мы проделали те же действия, что и при решении задачи, только в общем виде.

Изложенный подход к изучению материала поможет студентам при подготовке к экзаменам, установит взаимосвязь между теорией и практикой. Предложенный шаблон расшифровки поможет глубокому пониманию и закреплению определения предела функции по Коши.