Full text

Очень часто в курсах «Интегральные преобразования и уравнения математической физики» в технических вузах избегают использования обобщенных функций и решают задачу Коши операционным методом в классической постановке. Это громоздко, если начальные условия ненулевые. Гораздо удобнее рассматривать задачу Коши в обобщенной постановке и включать начальные условия в мгновенно действующие источники при . Теория обобщенных функций – это основной язык современной математической физики, электродинамики, квантовой механики и пр. Известно, что строгое изложение теории обобщенных функций вызывает у студентов второго курса немалые затруднения. В [1] предложена методика строгого изложения теории обобщенных функций, доступная студентам инженерных специальностей младших курсов. В ней сначала будет рассмотрено понятие фундаментального решения линейного дифференциального оператора. Затем с помощью фундаментального решения будет решена задача Коши методом включения начальных условий в мгновенно действующие источники.

Введем обозначения, а также напомним определения и факты (см. [2–5]), которые будут использованы в настоящей статье.

Символом  обозначим множество функций, непрерывных вместе со своими производными . Класс функций, принадлежащих  при любых , т. е. класс бесконечно дифференцируемых функций, обозначим .

Функция называется финитной, если существует такой отрезок , что  при .

Множество всех финитных бесконечно дифференцируемых функций называется пространством основных функций и обозначается

Итак,   .

Множество всех линейных непрерывных функционалов (см. [6–9]) на  называется пространством обобщенных функций и обозначается

Если функция , то ее обобщенная производная – это элемент определяемый по формуле , для любой .

Любая обобщенная функция  является бесконечно дифференцируемой в обобщенном смысле, и ее n-я производная  определяется по формуле    для любой .

Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора

Дифференциальное уравнение может быть записано в виде

  ,             (1)

гдe  а линейный дифференциальный оператор.

Начнем с некоторых наводящих соображений. Предположим, что у оператора  существует обратный оператор . Применяя обратный оператор к левой и правой частям уравнения (1), получаем:

,

 что эквивалентно равенству

.                        (2)

Действие, обратное дифференцированию, – это интегрирование. Поэтому будем искать обратный оператор в виде

,               (3)

где называется ядром интегрального оператора.

Применим к обеим частям (2) оператор . Тогда, учитывая, что оператор применяется по переменной , можно занести оператор под знак интеграла:

.           (4)

Из (1) и (4) получаем:

.                 (5)

По определению функции (см. [10–13])

.                  (6)

Сравнивая (5) и (6), получаем:

.                  (7)

Решение уравнения (7) называют фундаментальным решением оператора , или функцией Грина, функцией источника, функцией влияния.

Итак, функция Грина является решением уравнения (7), в котором правая часть  – это результат точечного возмущения, сосредоточенного в точке . Физический смысл функции  состоит в том, что она является откликом на это точечное возмущение.

Часто  зависит только от разности , то есть . В этом случае формула (7) упрощается:

,

где , и определение фундаментального решения можно дать следующим образом.

Определение 1. Фундаментальным решением оператора  называется любая обобщенная функция , удовлетворяющая на  уравнению , то есть для любой  и любого верно

.                     (8)

Замечание. Если  фундаментальное решение оператора , а решение однородного уравнения , то тоже фундаментальное решение оператора .

В самом деле, в силу линейности оператора , получим:

.

Пример 1. Найдем фундаментальное решение оператора  где .

Для этого надо решить уравнение , то есть .

Воспользуемся методами операционного исчисления для обобщенных функций (см. [14–16]). Изображение обозначим . Известно, что изображение  равно , а изображение равно 1. Тогда в силу теоремы линейности, получаем:

,

откуда

.

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем:

.

С помощью фундаментального решения оператора  можно решить уравнение .

Теорема Дюамеля. Пусть  фундаментальное решение оператора , т. е.  решение уравнения . Пусть функция  такова, что . Тогда решение уравнения  единственно в классе обобщенных функций  и может быть представлено в виде

  .                  (9)

Доказательство: проверим, что  является решением уравнения . Учитывая свойство линейности и дифференцирования свертки и что  (см. [17, 18]), получаем:

.

Покажем, что других решений у уравнения  нет. Если различные решения уравнения , то  есть решение уравнения . Действительно,

.

Покажем, что . Имеем:

.

Замечание (физический смысл формулы (9)). Правая часть уравнения , т. е. источник , может быть представлена в виде

,

где интеграл – это суперпозиция точечных источников вида . Каждый точечный источник  определяет возмущение вида . Поэтому решение это суперпозиция всех возмущений.

Решение задачи Коши методом включения начальных условий

в мгновенно действующие источники

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор , действующий на функции  следующим образом:

. (10)

Будем решать задачу Коши:

 

Задача Коши (11) – (12) рассматривается в классической постановке, то есть мы рассматриваем уравнение (и все функции, которые в него входят) при .

Для обобщенного решения и уравнения  на всей оси, т. е. при , как было показано, справедлива формула , где  фундаментальное решение оператора .

Сведем классическую задачу Коши (11)–(12) на полуоси  к обобщенной задаче Коши, заданной при . Для этого продолжим  и нулем при , т. е. будем считать, что  и  оригиналы ([19, 20]), и рассмотрим уравнение  на всей оси.

Далее будем считать, что  и  – это регулярные обобщенные функции ([21, 22]). Так как  удовлетворяет начальным условиям (12), то она имеет в точке  разрыв первого рода. Величина скачка равна , и обобщенная производная функции  (см. [23–26]) равна .

Аналогично,

.

Рассмотрим ,

где

.

Так как , то классической задаче Коши

 

соответствует обобщенная задача

.   (13)

Решение обобщенного уравнения (13) можно получить, найдя фундаментальное решение  оператора  и воспользовавшись формулой Дюамеля

.

Пример 2. Найдем решение задачи Коши

 

методом включения начальных условий в мгновенно действующие источники с помощью теоремы Дюамеля.

Решение. Найдем фундаментальное решение оператора методами операционного исчисления

 

Таким образом, фундаментальное решение оператора  имеет вид:

.

Далее перейдем от классической постановки задачи Коши к обобщенной постановке методом включения

.

Обобщенная задача будет иметь вид:

.

Следовательно, .

Из свойств свертки и дельта-функции Дирака вытекает, что

.

Поэтому

 

 

,

так как

Итак,

 

Методика, положенная в основу данной работы, позволяет сформировать навыки решения задачи Коши в обобщенной постановке, что дает возможность избавиться от больших вычислений. Теоретический материал носит справочный характер и помогает преподавателям и студентам при подготовке к занятиям.