Olga VergazovaОдним из важных навыков для студента технического профиля, приобретаемых в процессе изучения высшей математики, является навык решения задачи исследования числовых и функциональных рядов на сходимость. Изучение данного вопроса отражает идеи системно-деятельностного подхода в освоении курса высшей математики. Данный раздел предоставляет хороший материал для совершенствования навыка работы с теоретическим материалом. Отдельные вопросы темы «Исследование числовых рядов на сходимость» могут быть предложены студентам для внеаудиторного изучения. Такая самостоятельная работа студентов обязательно сопровождается контролем качества приобретенных знаний, умений и навыков.
Перед изучением данного вопроса преподаватель организует подготовительную работу аудиторного или внеаудиторного характера по активизации знаний ранее изученных вопросов, необходимых для успешного освоения данной темы. Необходимо повторить основные методы вычисления пределов, четко различать необходимые и достаточные признаки. В результате подготовительной работы студент должен знать следующие определения и теоремы: числовой ряд, сумма ряда, формула n-го члена ряда, необходимый признак сходимости числового ряда, достаточные признаки сходимости рядов. Теоретический материал, примеры решения задач, задачи для самостоятельного решения преподаватель может разместить на своем сайте, персональной странице официального сайта вуза или воспользоваться средствами любой современной виртуальной обучающей среды (например, Moodle).
В качестве подготовительной работы можно рекомендовать работу с вопросами по теоретическому материалу (задача 1).
Задача 1
Дан ряд ∑an. Укажите, какие из следующих утверждений верны:
1) Если = 0, то о сходимости ряда ничего определенного сказать нельзя.
2) Если = 0, то ряд сходится.
3) Если ряд сходится, то = 0.
4) Если ряд расходится, то ≠ 0.
5) Если ≠ 0, то ряд расходится.
|
Данный знакоположительный ряд |
Затем необходимо обсудить со студентами алгоритм (схему) исследования числового знакоположительного ряда на сходимость. Такую схему в качестве наглядного пособия можно использовать в виде слайда или раздаточного материала (рис. 1).
|
Применяем либо 1-й признак сравнения, либо 2-й признак сравнения, либо признак Даламбера, либо признак Коши, либо интегральный признак |
не
|
Проверяем необходимый признак |
Признак Признак
выполнен не выполнен
Признак Признак
|
Ряд сходится |
|
Ряд расходится |
не выполнен выполнен
|
Признак ответа не дает, следует применить другой признак |
Рис. 1. Общая схема числового знакоположительного ряда на сходимость [1]
Начинать исследование ряда на сходимость удобно с необходимого признака (в тех случаях, где это сделать нетрудно). В этом случае ход рассуждений выглядит следующим образом.
Схема исследования:
≠0 ряд расходится.
=0 нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Нужно продолжить исследование с помощью достаточных признаков сходимости.
Пример 1
Выяснить, сходится или расходится ряд .
Проверим выполнение необходимого признака: Значит, ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Задача 2
Доказать расходимость следующих рядов, используя необходимое условие сходимости. Для выполнения данного задания необходимо повторить некоторые приемы вычисления предела функции.
1)
2)
3)
4)
5) ;
6) ;
7) ;
8) [2–4].
Далее необходимо показать студентам на примерах решения задач ход рассуждений при исследовании числовых рядов на сходимость и рекомендовать решить предложенные задачи самостоятельно с целью формирования и развития навыка применения признаков сходимости. Обычно начинают такую работу с применения признаков сравнения.
Пример 2
Рассмотрим знакоположительный ряд .
В качестве достаточного признака применим первый признак сравнения.
При n . Тогда справедливо неравенство для обратных положительных величин .
Возьмем за эталонный ряд (гармонический ряд), который расходится. Если эталонный ряд расходится, то и ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Для самостоятельного исследования студентам рекомендуется решить задачу 3.
Задача 3
Исследовать ряд на сходимость, применив признаки сравнения:
1)
2) ;
3) [5–7].
Рассмотрим примеры и задачи на применение признаков Даламбера и Коши.
Пример 3
Исследуем на сходимость ряд . Применим признак Даламбера.
Имеем . Вычислим предел = . , значит, данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 4
Исследуем на сходимость ряд . По признаку Коши . Таким образом, ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Для самостоятельного решения студентам рекомендуется выполнить задачи 4 и 5.
Задача 4
Исследовать ряд на сходимость, применив признак Даламбера:
1) ;
2)
3) [8–10].
Задача 5
Исследовать ряд на сходимость, применив признак Коши:
1) ;
2) ;
3) [11–13].
Для работы с интегральным признаком студенты должны самостоятельно повторить таблицу ранее изученных интегралов и основные методы вычисления интегралов.
Пример 5
Исследуем на сходимость ряд с помощью интегрального признака. Необходимый признак выполнен: . Члены ряда монотонно убывают при n : . Применим интегральный признак, рассмотрим интеграл: Интеграл расходится, следовательно, ряд расходится.
Ответ: ряд расходится.
Задача 6
Исследовать ряд на сходимость, применив интегральный признак:
1) ;
2) , где ;
3) [14–16].
Для исследования на сходимость знакочередующихся рядов ход рассуждений можно продемонстрировать студентам на примере схемы, изображенной на рис. 2.
|
Исходный ряд |
|
Выполнен ли необходимый признак: ? |
|
Ряд расходится |
нет
|
Является ли ряд знакочередующимся? |
да
нет
|
Признак Лейбница применять нельзя, можно исследовать данный ряд на абсолютную сходимость |
|
Выполняется ли условие монотонности │ ? |
да нет
|
Ряд сходится (вообще говоря, не абсолютно)
|
да
|
Исследовать, сходится ли ряд абсолютно или условно
|
Рис. 2. Схема исследования знакочередующегося ряда на сходимость
с помощью признака Лейбница [17]
Для исследования знакочередующегося ряда на сходимость можно предложить следующие примеры для демонстрации хода рассуждений и задачи для самостоятельного решения.
Пример 6
Исследуем на сходимость знакочередующийся ряд . Составим ряд из абсолютных величин: . Получим геометрическую прогрессию со знаменателем . Ряд сходится. Значит, исходный ряд сходится абсолютно.
Ответ: ряд сходится абсолютно.
Пример 7
Исследуем на сходимость знакочередующийся ряд . Проверим необходимый признак: Необходимый признак выполнен. Выясним, выполнено ли для данного знакочередующегося ряда условие монотонности: │ , , = при . Таким образом, условие монотонности выполнено. Ряд сходится по признаку Лейбница. Далее необходимо выяснить, абсолютно или условно сходится ряд. Нетрудно установить, например, по интегральному признаку, что ряд расходится.
Ответ: ряд сходится условно.
Задача 7
Исследовать сходимость знакочередующихся рядов и установить характер сходимости (абсолютная, условная):
1) ;
2) ;
3) [18–20].
В работе с такого рода схемами-алгоритмами следует придерживаться дифференцированного подхода: в зависимости от уровня успеваемости студентов (низкий, средний, высокий) можно организовывать работу по готовым схемам по всем вопросам темы (низкий уровень) или по отдельным вопросам в качестве примера (средний и высокий уровни). Кроме того, при подготовке студентов к экзамену работа с данными схемами и примерами решения задач позволит быстро восстановить нужные навыки.
Таким образом, при изучении темы «Исследование числовых рядов на сходимость» аудиторная и внеаудиторная деятельность студентов может быть организована с учетом особенностей данного учебного вопроса. Алгоритмичность, наглядные схемы-алгоритмы для рассуждений, указания по решению задач, система упражнений для самостоятельной работы позволяют студентам в сжатые сроки успешно усвоить данный учебный материал [21–23].