Elena PopovaИнтегрирование как операция обратная дифференцированию используется практически во всех областях науки. Интеграл возникает при решении задач о нахождении длины кривой, площади поверхности, объема тела, массы кривой, поверхности, пространственного тела, при нахождении работы вектора вдоль кривой, потока вектора через поверхность и пр. Кроме того, многие специальные функции задаются с помощью интегралов. Метод интегральных преобразований (Фурье, Лапласа) широко используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, в математической физике, электродинамике, теории сигналов и цепей. Поэтому умение интегрировать является обязательным для выпускника технического университета.
Однако лишь малая доля интегралов, встречающихся на практике, выражаются через элементарные функции. Чаще всего проинтегрировать в элементарных функциях не удается. Одним из таких примеров является интеграл , который связан со специальными функциями, используемыми в теории вероятностей, статистической физике, теории теплопроводности и диффузии [1, 2]. Функции, связанные с интегралами вида и , применяются в оптике и называются интегралами Френеля. В теории автоматического регулирования используют интегралы вида , и , при помощи которых вводят специальные функции, называемые интегральной показательной функцией, интегральным синусом и косинусом. Также не удается представить через элементарные функции интегралы вида и .
В статье рассмотрен метод, позволяющий вычислять значения определенных интегралов, когда первообразная подынтегральной функции явно не выражается через элементарные функции [3].
Цель работы – помочь студентам приобрести навыки применения данного метода для решения прикладных задач.
Изучение данной темы требует определенного уровня подготовки. Авторы предполагают, что студенту известны основные понятия теории числовых рядов, и предлагают для контроля выполнить несложные задания по пройденному материалу. При возникновении затруднений все необходимые сведения можно найти в [4].
Рассмотренный в статье метод основан на разложении функций в ряд Маклорена и вычислении сумм числовых рядов с заданной точностью. Для успешного освоения студентами данной темы в работе представлен теоретический материал по теме «Степенные ряды» в объеме, необходимом для понимания данного метода: приведены основные определения и формулировки теорем, доказательства которых можно найти в [5]. Разложения основных функций в ряд Маклорена сведены в таблицу. Особое внимание уделено практической составляющей. В статье подробно разобраны типовые задачи домашнего задания, вызывающие наибольшие затруднения у студентов. Такой подход к изложению материала поможет студентам при самостоятельном изучении данной темы.
Задания на повторение темы «Числовые ряды»
Для повторения пройденного материала можно рекомендовать следующие теоретические вопросы и задачи на вычисление суммы числового ряда с заданной точностью.
- Сформулируйте определение числового ряда и n-й частичной суммы числового ряда.
- Какой числовой ряд называют: а) сходящимся; б) расходящимся? Что называют суммой числового ряда?
- Дайте определение n-го остатка числового ряда и сформулируйте свойства сходящихся числовых рядов.
- Какой числовой ряд называют знакочередующимся? Приведите формулировку теоремы Лейбница и следствие из нее.
- При каких значениях геометрический ряд сходится? Как вычислить сумму этого ряда?
- При каких значениях ряд Дирихле сходится?
- Доказать, что ряд сходится, и вычислить значение его суммы с точностью до .
Далее перейдем к изложению основных вопросов по теории степенных рядов.
Действительные степенные ряды
Определение. Действительным степенным рядом называют функциональный ряд вида , где коэффициенты ряда − действительные числа.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он сходится абсолютно для всех , таких, что . Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится при любом , для которого .
Следствие. Для каждого степенного ряда существует единственное число , такое, что данный ряд сходится абсолютно в интервале и расходится при .
Если , то степенной ряд сходится в единственной точке ; если , то степенной ряд сходится абсолютно на всей числовой прямой .
При этом число называют радиусом сходимости степенного ряда , а интервал − интервалом сходимости данного ряда.
Замечание. Для нахождения области сходимости степенного ряда при необходимо дополнительное исследование поведения степенного ряда в граничных точках .
Далее приведем формулировки основных теорем о степенных рядах.
Теорема 1. Если − радиус сходимости степенного ряда , то этот ряд сходится равномерно и абсолютно на любом отрезке, целиком лежащем в интервале сходимости.
Следствие. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости.
Теорема 2 (о почленном дифференцировании степенного ряда). Сумма степенного ряда с радиусом сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией в интервале сходимости , причем
где радиус сходимости ряда в правой части равенства также равен .
Теорема 3 (о почленном интегрировании степенного ряда). Для всякого степенного ряда с суммой и радиусом сходимости справедливо равенство
,
причем радиус сходимости ряда справа также равен .
Определение. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производные любого порядка. Тогда степенной ряд
называют рядом Тейлора функции в точке . При ряд Тейлора называют рядом Маклорена.
Определение. Действительную функцию действительного переменного называют аналитической в точке , если она определена в некоторой окрестности точки и ее можно представить в этой окрестности некоторым сходящимся степенным рядом
.
Такое представление аналитической функции называют ее разложением в степенной ряд в окрестности точки .
Следует отметить, что разложение аналитической функции в степенной ряд единственно и этим рядом является ее ряд Тейлора.
Один из способов разложения функций в степенные ряды основан на использовании представления основных функций в виде ряда Маклорена (см. таблицу).
Разложение основных функций в ряд Маклорена
|
Функция и ее разложение в ряд Маклорена |
Область сходимости степенного ряда |
|
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. =
|
|
|
|
Общая схема решения задачи о приближенном вычислении
определенных интегралов с применением степенных рядов
Пусть требуется вычислить значение определенного интеграла с заданной точностью .
Этап 1. Предположим, что подынтегральная функция разлагается в степенной ряд , а область интегрирования целиком содержится в интервале сходимости этого ряда. Применив теорему о почленном интегрировании степенного ряда, получим числовой ряд . В результате приходим к задаче о вычислении суммы сходящегося числового ряда с заданной точностью .
Этап 2. Для приближенного вычисления суммы с точностью найдем частичную сумму с таким наименьшим номером , для которого модуль суммы n‑го остатка ряда не превышает заданной точности:
.
Если числовой ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то согласно следствию из этой теоремы имеем
.
Если числовой ряд является знакопостоянным, то для оценки строят мажорирующую геометрическую прогрессию :
,
откуда следует .
Примеры решения задач
В этой части статьи разобраны примеры приближенного вычисления тех интегралов, которые часто встречаются в приложениях, например, в теории автоматического регулирования.
Пример 1. Вычислить значение интеграла
с точностью до .
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:
.
Данное разложение имеет место при всех .
Проинтегрируем почленно записанный выше ряд:
.
Полученный числовой ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Следовательно, для суммы остатка этого ряда справедлива оценка:
.
Найдем наименьшее значение , при котором выполняется неравенство:
.
Вычислим:
;
.
Отсюда находим: .
Таким образом,
.
Пример 2. Вычислить значение интеграла
с точностью до .
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена
, ,
и почленно проинтегрируем этот ряд
.
В результате получили знакопостоянный числовой ряд. Для оценки суммы остатка этого ряда построим мажорирующую геометрическую прогрессию:
Определим наименьшее значение , при котором выполняется неравенство:
.
Согласно полученной оценки для , имеем:
;
.
Следовательно, .
В результате находим:
.
Пример 3. Вычислить значение интеграла
с точностью до .
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:
, .
Далее почленно проинтегрируем этот степенной ряд:
.
Полученный числовой ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Следовательно, для суммы остатка этого ряда справедлива оценка:
.
Найдем наименьшее значение , при котором выполняется неравенство:
.
Вычислим:
;
.
Отсюда находим: .
Таким образом,
.
Пример 4. Вычислить значение интеграла
с точностью до .
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:
.
Интервалом сходимости данного ряда является .
Поскольку область интегрирования принадлежит интервалу сходимости, то записанный выше ряд можно почленно интегрировать:
.
Полученный числовой ряд является знакочередующимся и удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Следовательно, для суммы остатка этого ряда справедлива оценка:
.
Найдем наименьшее значение , при котором выполняется неравенство:
.
Вычислим:
;
.
Отсюда получаем: .
Таким образом,
.
Пример 5. Вычислить значение интеграла
с точностью до .
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена:
Интервалом сходимости данного ряда является .
Согласно теореме о почленном интегрировании степенного ряда имеем:
В результате получили знакопостоянный числовой ряд. Для оценки суммы остатка этого ряда построим мажорирующую геометрическую прогрессию:
Определим наименьшее значение , при котором выполняется неравенство:
.
Согласно полученной оценки для , имеем:
.
Следовательно, .
В результате находим:
.
Работа основана на личном опыте авторов преподавания данной дисциплины. Предложенная методика изложения материала сочетает краткие теоретические сведения и специально подобранные примеры решения типовых задач домашнего задания, что позволит сформировать у студентов правильное представление о способах решения и приобрести необходимые навыки и компетенции. Статья будет полезна студентам при самостоятельной работе, а также преподавателям при подготовке к практическим занятиям.