Full text

Введение

 

В настоящее время в математическом образовании обостряется проблема мотивации учащихся, одним из узких мест в обучении математике также становятся трудности, заключающиеся в том, что школьниками не достигается понимание основных понятий и методов математики. Такое положение во многом объясняется тем, что в изложении учебного материала опора делается не на природные особенности детей, а на чисто логическую последовательность изложения предмета. Считается, что учащийся, после того как он приложит определенные усилия, сможет постигнуть логику научного изложения. Однако практика показывает, что такой подход приводит к тому, что достаточно большое количество учащихся так и не понимают логику математики, а лишь запоминают какие-то факты. Это вызвано разными причинами, в том числе и тем, что в преподавании математики традиционно на первое место чаще всего ставят принцип научности, строгую логическую последовательность изучаемого материала, а о принципе природосообразности обучения либо вообще забывают, либо его отодвигают на второй план. Особенно такой перекос был заметен в 70–80-е годы при проведении реформы школы, главной целью которой провозглашалось повышение идейно-теоретического уровня преподавания математики в средней школе. Эти преобразования происходили при отсутствии опоры на психологические и возрастные закономерности формирования математических знаний. Между тем такая опора сделала бы обучение математике более доступным для учащихся.

Исследуя положение в советском математическом образовании, польский математик Антони Пардала отмечал в 90-е годы, что необходимо произвести переоценку и корректировку устоявшихся взглядов на систему математического образования в направлении развития образного мышления учащихся. В последние десятилетия школа уделяла мало внимания возможностям правого полушария, отвечающего за распознавание образов, по сравнению с тем, что уделялось левому полушарию, отвечающему за речь, логическое мышление и манипулирование формализованными объектами. Надо также учитывать, что с правым полушарием связаны не только непосредственное восприятие и ориентация в пространстве, но и процесс творчества [1].

Как недостаток сыграло свою роль и увлечение в определенный период некоторыми модными психологическими теориями, связанными с абсолютизацией теоретического мышления в процессе обучения. Как отметили наши крупные психологи А. А. Бодалев, Б. Ф. Ломов и A. M. Матюшкин, «отрицание возрастных особенностей привело к чрезмерному усложнению учебных программ, к абсолютизации теоретического мышления по сравнению с мышлением, включенным в реальную практическую (и трудовую) деятельность» [2].

Следует отметить, что наблюдавшееся в ходе реформы чрезмерное увлечение внедрением в начальное обучение теоретических знаний, дедуктивным методом изложения, переоценкой умственных возможностей младших школьников нельзя связывать только с теорией В. В. Давыдова. Еще раньше эти идеи выдвигал английский математик-педагог Гаттеньо. Так, в статье 1956 года он писал: «Весь секрет в том, чтобы отправляться от общего для достижения частного, тогда как наши предшественники считали, что математическая поступь – это обобщение. В действительности все обстоит несколько иначе: многозначное предшествует однозначному...» – и в другом месте: «Все мои эксперименты убеждали меня в истинности следующего открытия: наши учащиеся значительно ранее, чем мы думаем, могут изучать вопросы, которые мы начинаем в университете и часто еще позже» (цит. по [3]).

Обзор отечественной и зарубежной литературы

 

Идея природосообразности обучения после некоторого периода забвения была возрождена и научно обоснована Я. А. Коменским. Этим великим педагогом со всей полнотой были раскрыты сущность и значение принципа природосообразности для обучения и воспитания. Он отмечал, что «искусство воспитания сильно не чем иным, как подражанием природе». У Я. А. Коменского было много последователей. Среди них наиболее значимую роль сыграли Дж. Локк, И. Песталоцци, Ф. Дистервег, а также основоположник российской научной педагогики К. Д. Ушинский. Наряду с Яном Амосом Коменским этих ученых с полным основанием можно назвать классиками природосообразной педагогики.

Принцип природосообразности ориентирует педагога искать опору для построения теории и практики обучения в самом ребенке, в его природных индивидуальных особенностях. В соответствии с этим принципом главным показателем эффективности обучения является свободное развитие ученика в гармонии с окружающей средой, умеющего осуществлять свою учебную деятельность, опираясь на «собственные корни». Несмотря на давнюю и богатую историю принципа природосообразности, применение его в российских методиках обучения было и остается ограниченным. Дело в том, что методологической основой советской педагогики было совсем другое положение о врожденном равенстве людей, их равных возможностях в обучении и воспитании.

Один из идеологов революции, Л. Д. Троцкий, писал: «Человек хочет – и будет командовать природой во всем ее объеме, с тетеревами и осетрами, через машину. Он укажет, где быть горам, а где расступиться. Изменит направление рек и создаст правила для океанов…» И далее: «Выпустить новое, “улучшенное издание” человека – это и есть дальнейшая задача коммунизма» [цит. по 4]. В соответствии с этими идеями в это время, особенно в период до середины 50-х годов, строились «великие» планы преобразования природы и делались попытки их осуществить, в том числе и преобразования человека. Как отмечает А. Кулик, некоторые советские ученые высказывали абсурдные с современной точки зрения мысли. Так, селекционер Т. Д. Лысенко говорил: «В Советском Союзе люди не рождаются. Рождаются организмы. А люди у нас делаются – трактористы, мотористы, академики, учёные и так далее». Известный психолог Л. С. Выготский писал: «Новое общество создаст нового человека. Когда говорят о переплавке человека как о несомненной черте нового человечества и об искусственном создании нового биологического типа, то это будет единственный и первый вид в биологии, который создаст сам себя». В 1920-е годы государством была оказана финансовая поддержка проведению ученым-биологом И. И. Ивановым эксперимента путем межвидового скрещивания человека с приматами по выведению новой (гибридной) породы человека, предназначенной для тяжелой физической работы в экстремальных условиях [4].

В такой обстановке педагогический принцип природосообразности был объявлен идеалистическим и заменен на гораздо более узкий принцип учета возрастных особенностей школьников. А. М. Кушнир отмечает: «”Партийность” педагогики в сочетании с изгнанием из научного обихода классического принципа педагогики – принципа природосообразности – ввергла науку в глубочайшую депрессию. Обратите внимание, как медленно и неуверенно возвращается принцип природосообразности в научно-педагогический тезаурус. В “Педагогической энциклопедии” (изд. 1996 года) написано следующее: “После того, как К. Маркс и Ф. Энгельс убедительно доказали изменяемость человеческой природы в результате воспитания и воздействия окружающей среды, которая в свою очередь изменяется в результате человеческой деятельности, стала очевидной идеалистическая сущность традиционной трактовки принципа природосообразности, основанной на признании вечности и неизменности природы человека. В научной педагогике понятие принципа природосообразности в настоящее время не применяется, а его основное содержание охватывается принципом учёта возрастных особенностей детей”. То есть это всего лишь особенности, которые следует учитывать, а вовсе не фундаментальные основы педагогического действия. Педагогические требования ко всем школьникам и результатам обучения по всем предметам были единые» [5].

Известный российский педагог-макаренковед В. В. Кумарин провел в этом направлении весьма глубокое аналитико-синтетическое исследование и пришел к ряду нетривиальных выводов. В советские годы педагогика социальный фактор наделила надприродной силой. Те или иные способности человека, оказывается, вовсе не идут от его природы. Они формируются и развиваются при его жизни, их можно даже приобрести, а также новообразовать в процессе обучения и воспитания. Более того, новая социальная среда способна в этом отношении даже в корне переделать (переплавить) человеческую природу, поскольку не природа творит социум, а социум творит природу. Так как считалось, что люди изначально равны во всех отношениях (в том числе и в биологическом), последовало тотальное уравнение всех учащихся в образовательном отношении. Всем школам (в том числе и ПТУ) были навязаны единый учебный план и единые учебные программы. В российской системе образования доминировало противоестественное стремление к единообразию, к унификации [6].

В настоящее время благодаря фундаментальным открытиям в области генетики и молекулярной биологии научно доказано, что люди не равны от природы, а значит, можно говорить о равенстве людей лишь в социально-правовом отношении, но не в биологическом. Поэтому настало время возвращаться в русло мировой педагогической мысли и восстановить в правах принцип природосообразности как методологическую основу педагогики и методик преподавания отдельных предметов, в том числе математики. В отличие от личностно ориентированного подхода в нем ребенок рассматривается как целостное единство биологического и социального.

Близким по своему пониманию к принципу природосообразности, но более широким по смыслу является принцип «человекосообразности», предложенный А. В. Хуторским. По его мнению, содержание понятия «человек» включает в себя не только социальный аспект личности, но и такие аспекты, как природосообразность, культуросообразность, богосообразность (если вспомнить, что человек создан «по образу и подобию Божию»). Поэтому человекосообразное образование более основополагающее и потенциально емкое, чем личностно ориентированное, природосообразное или культуросообразное образование. Социальная, природная, культурная роли человека не являются здесь доминирующими, а выступают только одними из его ролей [7–9]. Но столь широкая трактовка этого принципа сводит к нему практически всю педагогику.

Принцип природосообразности разными авторами понимается тоже в разных аспектах. Некоторые ученые вместо термина «принцип природосообразности» для православной педагогики предпочитают использовать термин «принцип антропосообразности», который в контексте традиционного православного мировоззрения есть не что иное, как развитие человека сообразно его природе [10, 11].

По мнению В. П. Беспалько, образование человека может быть успешным только в том случае, если оно следует за его природой, т. е. учитывает его задатки и направленность его интересов. Поскольку люди по своей природе различны, следовательно, и их образование должно быть различным. В своей монографии он подытожил свои и своих учеников многолетние исследования по проблемам теории и методологии природосообразного образования. За последнее столетие науки о психике человека, в первую очередь психология и генетика, достигли значительного прогресса в раскрытии процессов обучения и развития личности, чтобы уже можно было ставить вопрос о построении научных основ природосообразного образования. Результатом его исследований явилось построение природосообразной педагогической системы, которой В. П. Беспалько дал название «персонализированное образование» [12].

Попытку осмысления нового уровня развития принципа природосообразности сделала Н. И. Иванова [13]. Ряд авторов рассматривают природосообразность как этнопедагогическую закономерность; другие – как экологическое направление и здоровьесберегающую технологию. Имеются исследования по формированию природосообразного миропонимания старшеклассников [14].

В настоящее время наблюдается развитие нового направления – природосообразность как принцип ноосферного образования. Н. В. Масловой ноосферное развитие понимается как «осознанно управляемое природосообразно ориентированное соразвитие Человека, Природы и Общества» [15]. Целью ноосферного образования, согласно Н. В. Масловой, является мотивация гармоничного, целостного, экологически здорового типа мышления, основанного на осознанном совокупном владении логическим и образным мышлением [16].

Из принципа природосообразности вытекает сразу несколько более частных дидактических принципов, которые хотя и провозглашались в советской педагогике, но не имели решающего значения. Кроме принципа учета возрастных особенностей учащихся, к ним можно отнести индивидуальный подход к учащимся, доступность и посильность обучения, наглядность, от простого к сложному, поэтапность (многоступенчатость) обучения и т. п.

Как мы видим, в конце XX – начале XXI века в российской педагогике стали появляться работы, лежащие в русле природосообразной педагогики. Однако в методике обучения математике принцип природосообразности пока мало используется. Можно лишь отметить методические разработки А. М. Кушнира и его последователей по применению этого принципа в обучении математике учащихся начальной школы [17].

Результаты психологических исследований швейцарского психолога Ж. Пиаже и его сотрудников показали, что генезис психологических структур в наименьшей степени учитывается при формировании математических понятий. Было замечено, что в мышлении ребенка последовательность формирования топологических и геометрических понятий совсем не совпадает с традиционно сложившейся последовательностью этапов изучения геометрии. В раннем возрасте при рисовании ребенок не различает треугольников, квадратов, окружностей и других метрических фигур, но легко отличает такие топологические понятия, как открытые и замкнутые фигуры, нахождение «внутри» или «снаружи» по отношению к границе фигуры и т. д. В дальнейшем развитии ребенок идет от общих топологических структур в направлении их конкретизации сначала к проективным, а затем уже к метрическим структурам [18].

Однако в методике обучения математике эти психологические закономерности практически не используются, за исключением попыток И. Я. Каплуновича [19, 20].

Для реализации поэтапности обучения большое значение имела теория Ж. Пиаже об этапах (стадиях) развития мышления ребенка. Мышление ребенка в соответствии с этой теорией в своем развитии проходит последовательно несколько стадий. С рождения ребенка до возраста двух лет проходит стадия сенсо-моторного мышления. С 2 до 6–7 лет наступает стадия наглядного мышления. На этой стадии ребенок учится обозначать явления окружающего мира при помощи символов. На этом этапе развития мышления еще отсутствует свойство обратимости мыслительных операций, т. е. понимание того, что можно произвести обратное действие. В силу этого недостатка ребенок не может, в частности, усвоить математическое понятие о сохранении общего числа предметов при разделении их на несколько подгрупп.

С 7 до 11–12 лет наступает стадия конкретных операций. На этом этапе умственные действия ребенка приобретают свойство обратимости. Ребенок может систематизировать вещи, которые находятся перед ним, но еще не способен делать это с теми вещами, которые не находятся прямо перед ним или не были перед ним в недавнем прошлом.

С 11–12 до 14–15 лет наступает этап формальных операций, соединенных в некоторое структурное целое. На этом этапе такие операции выполняются и в форме чисто словесных суждений. Происходит синтез структур, соответствующих обращению и взаимности, умственная деятельность ребенка уже не ограничена прошлым опытом или непосредственным восприятием [21].

Теория Ж. Пиаже о стадиях мышления послужила базой для разработки теории о стадиях (этапах) развития математического мышления и формирования математических знаний [22, 23]. Из этой теории вытекает, что для достижения понимания основных математических понятий в процессе изучения математики необходимо соблюдать определенную последовательность этапов, ступеней в формировании понятий о математических структурах. Необходимо последовательно переходить от одного уровня развития мышления к следующему, с обязательной опорой на нижележащие, более наглядные уровни, этапы научного познания. Кроме того, необходимо параллельно формировать структуры (схемы) математического мышления. В отсутствии такой опоры обучение может превратиться в формальное запоминание фактов без понимания.

 

Методологическая база исследования

 

Большинство трудностей и недостатков, возникающих при изучении учащимися математических структур, носит прежде всего психологический характер и связано с переоценкой возможностей большинства школьников. Поэтому для правильного решения вопросов достижения понимания в обучении математике необходимо привлечь достижения психологии в этом направлении.

Целью статьи является рассмотрение новых подходов в методике обучения математике, основанных на принципе природосообразности, способствующих лучшему пониманию учащимися основных понятий и методов математики.

В исследовании были использованы методы: подбор и анализ научной и учебно-методической литературы по изучению математики, анализ и обобщение педагогического опыта, педагогическое наблюдение, количественная и качественная оценка результатов обучения школьников и студентов основным математическим понятиям.

Исследование опирается на принцип природосообразности – один из наиболее известных педагогических принципов. Этот принцип рассматривает отношение к человеку при обучении как части природы, предусматривает опору на его собственные силы и задатки, данные от природы, приведение процессов обучения в соответствие с этапами природного развития человека. Идею этого принципа высказывали в своих трудах ученые Древней Греции и Древнего Рима.

 

 

Результаты исследования

 

Таким образом, процесс обучения такому предмету, как математика, который изучается с 1-го по 11-й класс, а затем еще и в вузе, может осуществляться только через поэтапность, многоступенчатость получения учащимися новых математических знаний. Такая поэтапность процесса формирования основных математических понятий является обязательным условием реализации доступности обучения, а тем самым и принципа природосообразности обучения. Задача учителя состоит в том, чтобы помогать ребенку постоянно совершенствовать свой умственный мир посредством переходов от одного уровня мышления к другому.

Практически всеми учеными признается, что различные разделы математики не могут с самого начала изучаться во всей их глубине и полноте. Мнения о большой важности прохождения определенных этапов при формировании понятий о математических структурах достаточно широко распространены среди математиков-педагогов. Видный немецкий математик Ф. Клейн в своих лекциях для учителей указывал на необходимость наличия предварительных этапов, ступеней в изучении основных математических понятий: «Мы должны приспособляться к природным склонностям юношей, медленно вести их к высшим вопросам и лишь в заключение ознакомить их с абстрактными идеями». Можно заметить, что такие взгляды на соблюдение необходимых этапов при изучении понятия функции удачно реализуются в школьном учебнике по алгебре, созданном А. Г. Мордковичем.

Яркой иллюстрацией подобного рода поэтапного изучения стержневых понятий курса математики может служить процесс формирования такого математического понятия, как группа, – важнейшего вида алгебраической структуры. В период 60–70-х годов прошлого века делались попытки и за рубежом, и в России изучать это понятие в школьной математике и даже в начальной школе. В настоящее время это понятие изучается только в вузе и вызывает у студентов определенные трудности в силу своей абстрактности. Хотя этот термин обычно не используется в школьной математике, однако идеей группы пронизан весь курс школьной математики. Начальным этапом в этом процессе можно считать еще дошкольный период, в котором дети знакомятся с операциями сложения и вычитания, причем эти алгебраические операции производятся не над числами, а непосредственно над предметами из некоторого множества. Далее этот процесс продолжается в начальной, а затем и средней школе. Уже в 1–5-х классах, по сути, происходит знакомство учащихся с понятием группы. В этот период алгебраические операции школьниками производятся уже над числами. В школьном курсе математики наилучшим материалом для формирования понятия о группах и других алгебраических системах (кольцах, полях) служат теоретико-числовые сведения. Целое число, сложение целых чисел, введение нуля, нахождение для каждого числа ему противоположного, изучение свойств операций над числами – все это, в сущности, этапы в формировании понятия об основных алгебраических системах.

В более старших классах школьники сталкиваются с вопросами, которые содействуют расширению полученных знаний. В курсе алгебры происходит переход от конкретных чисел, записанных цифрами, к общим буквенным выражениям, обозначающим конкретные числа лишь при некотором истолковании букв. Алгебраические операции осуществляются уже над многочленами, векторами, т. е. не только над числами, но и над объектами другой природы. Школьники начинают понимать универсальность ряда свойств алгебраических операций.

Важным для понимания идеи группы является изучение в школе геометрических преобразований и понятий композиции преобразований и обратного преобразования. Этой теме можно посвятить элективный или факультативный курс. На таком курсе целесообразно также рассмотреть группы самосовмещений некоторых геометрических фигур, орнаментов, бордюров, паркетов и приложения теории групп в химии, кристаллографии и т. д. Эти темы, связанные с математической постановкой практических задач, вызывают у школьников наибольший интерес, несут в себе большой потенциал наглядных примеров [24, 25].

При знакомстве с понятием группы в вузе важно опираться на ранее полученные в школе знания, которые выступают структурообразующим фактором в системе математической подготовки студентов, что позволяет наилучшим образом решить проблему преемственности между школьной и вузовской математикой.

В качестве другого примера реализации принципа поэтапности формирования основных понятий можно рассматривать процесс формирования в обучении математике понятия скалярной величины. Это понятие, несомненно, относится к числу стержневых понятий курса математики. Как отмечал американский математик Г. Биркгофф [26], идея величины представляется гораздо более глубокой, чем понятия и логика арифметики. С величины в школьной математике начинается знакомство с одним из основных типов математических структур – порядковых структур, которые пронизывают всю школьную и вузовскую математику [27, 28]. Процесс формирования этого понятия продолжается более 10 лет, начиная с 6–7-летнего возраста и заканчивая вузом, причем обучение происходит не только на уроках математики, но и на уроках физики.

Наиболее слабым местом в изучении величин, на наш взгляд, является то, что четко не выделены этапы, уровни формирования этого понятия. Это обстоятельство приводит к тому, что учащиеся не имеют ясного представления о понятии величины. Необходимо выдерживать несколько основных этапов в формировании этого понятия. Первый, дочисловой, этап формирования понятия величины, соответствует уровню мышления, который Ж. Пиаже назвал уровнем конкретных множеств (возраст учащихся 6–7 лет). На этом этапе можно исходить из следующего самого общего, самого широкого определения величины: величинами одного рода называются элементы некоторого линейно упорядоченного множества. Это определение означает, что на множестве величин одного рода задано отношение линейного порядка «<», удовлетворяющее условиям антирефлексивности, транзитивности и трихотомии. Фактически это определение совпадает с давним определением Л. Эйлера: «величина есть все то, что способно увеличиваться или уменьшаться».

На следующем этапе, после того как учащиеся получат первоначальное представление о таких величинах, как длина, и научатся складывать такие величины, в определение величины дополнительно включается требование выполнимости операции сложения, обладающей определенными свойствами. Разумеется, и на этом этапе нецелесообразно в явном виде давать определение величины, однако представление о свойствах скалярной величины учащиеся должны иметь.

Уже на следующем этапе можно познакомить учащихся с отрицательными скалярными величинами, после того как они изучат отрицательные числа и начнут изучать физические величины. В явном виде аксиоматику скалярных величин более целесообразно ввести уже на следующем этапе, в классах с углубленным изучением математики или в вузе. Знакомство с аксиоматическим построением теории величин является особенно полезным для будущих учителей математики и способствует устранению пробелов в их знаниях [29, 30].

В заключение коснемся методики изучения еще одной темы – метода математической индукции. О методе математической индукции и методике изложения этой темы написано немало статей и книг. Однако в практике преподавания этой темы до сих пор имеется целый ряд недостатков, связанных с отсутствием предварительных этапов в изучении этой темы. В обучении обычно используется только традиционная форма математической индукции, не имеющая никаких логико-психологических оснований в предшествующем обучении. Поэтому эта форма индукции всегда с большим трудом усваивалась школьниками, поскольку фактически она не имеет никакой опоры на предыдущий познавательный опыт школьников. Несмотря на то что этот метод теперь не входит в программу общеобразовательной школы, он часто используется при решении задач элементарной математики и поэтому, как правило, изучается на факультативных занятиях, в классах с углубленным изучением математики, в ряде профильных классов и т. д.

В математике хорошо известно, что традиционный принцип математической индукции эквивалентен двум другим условиям: условию минимальности и условию обрыва убывающих цепей, которые в школьной математике обычно не рассматриваются. Предлагаемый подход базируется на эквивалентности принципа математической индукции и условиях минимальности (или принципа наименьшего числа): любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число. Это свойство интуитивно ясно школьникам и не вызывает у них никаких сомнений, поскольку имеет психологическое основание в уже достаточно знакомых им порядковых свойствах натуральных чисел. Поэтому его можно предложить учащимся в качестве одной из аксиом системы натуральных чисел.

Такой подход в наибольшей степени полезен для учащихся профильных классов и классов с углубленным изучением математики, а также может использоваться при знакомстве с методом математической индукции в вузе. Однако в практике школьного преподавания эта форма индукции пока мало применяется.

Приведем пример применения этой формы индукции при решении задач.

Доказать, что при любом натуральном n число вида 72n – 7 делится на 8.

Действительно, предположим, что найдутся натуральные числа, для которых это утверждение неверно, и пусть k – наименьшее число, для которого Ak = 72k – 7 не делится на 8. Так как k ≠ 1, то натуральное число k–1 существует и Ak – 1 = 72k – 2 – 7 делится на 8. Но разность Ak – 49Ak – 1 = 336 тоже делится на 8, поэтому и Ak делится на 8 – приходим к противоречию.

При решении задач такого типа можно, разумеется, использовать и традиционную форму индукции. При предлагаемом способе изучения индукции представляется целесообразным условие минимальности рассматривать в качестве одной из аксиом системы натуральных чисел. Тогда традиционная форма математической индукции может быть несложно получена из этого условия в качестве следующей теоремы:

Если некоторое свойство F верно для числа 1 и если из того, что свойство F верно для числа k, следует, что F верно и для числа k+1, то свойство F верно для любого натурального числа.

Для доказательства обозначим через M множество всех натуральных чисел, для которых свойство F неверно, и пусть M не пусто. В силу условия минимальности во множестве M существует наименьшее число k. Это число k отлично от 1, поскольку для числа 1 свойство F верно. Поэтому можем рассмотреть натуральное число k–1. Это число меньше k и уже не принадлежит множеству M, поэтому для него свойство F верно. Но тогда, в силу условия теоремы, свойство F верно и для числа k = (k–1) + 1. То есть мы пришли к противоречию, и поэтому свойство F верно для всех натуральных чисел.

Как показывает наш опыт работы со школьниками, доказательство этой теоремы вполне может быть воспринято учащимися профильных 9–10-х классов. При таком способе построения темы усвоение учащимися принципа математической индукции идет существенно легче по сравнению с традиционным.

Метод изучения математической индукции, построенный на основе аксиомы минимальности, имеет еще одно достоинство. Существует еще одна форма математической индукции, основанная на следующей теореме:

Если свойство F выполняется для n = 1 и если из выполнимости свойства F для всех чисел n, меньших некоторого натурального числа m, следует выполнимость свойства F и для числа n = m, то свойство F выполняется для любого натурального числа n.

В самом деле, пусть выполнены условия теоремы. Допустим противное, что свойство F выполняется не для всех натуральных чисел, тогда множество M, состоящее из всех натуральных чисел, для которых F не выполняется, содержит наименьшее число n. Тогда свойство F для числа n не выполняется, и поэтому из условия теоремы вытекает, что
n ≠ 1, а значит, существует натуральное число m, меньшее n. Ясно, что число m не содержится во множестве M, и поэтому свойство F для числа m выполняется. Поскольку свойство F выполняется для любого числа m, меньшего n, то из условия теоремы получаем, что свойство F справедливо и для числа n. Пришли к противоречию.

Таким образом, эта форма индукции сравнительно легко выводится из условия минимальности. А вот вывести эту форму индукции непосредственно из традиционной формы труднее, поэтому данная форма индукции в школьной математике обычно остается без каких-либо обоснований.

В этой форме индукции, так же как и для традиционной формы, в базисе индукции вместо 1 можно рассматривать любое целое неотрицательное число r.

Рассмотрим пример применения этой формы индукции.

Доказать, что любое натуральное число n (n > 1) может быть представлено в виде произведения простых чисел.

Действительно, при n = 2 данное свойство верно, произведение состоит из одного простого множителя 2. Предположим, что это свойство верно для всех натуральных чисел, меньших некоторого числа m. Покажем, что тогда число m также можно представить в виде произведения простых чисел. Ясно, что если число m простое, то свойство справедливо. Пусть теперь число m составное, т. е. m = rs, где 2 ≤ r < m, 2 ≤ s < m. По индуктивному предположению оба числа r и s можно представить в виде произведения простых чисел, а поэтому и число m можно представить в виде такого произведения.

Предложенный способ изложения принципа и метода математической индукции вполне соответствует как принципу природосообразности, так и принципу научности.

 

Заключение

 

Таким образом, в обучении математике важно стремиться максимально использовать природные закономерности усвоения школьниками математических знаний, опираться на психологические и возрастные закономерности формирования математических знаний. Для того чтобы сделать обучение математике более доступным для учащихся, необходимо использовать поэтапность в процессе формирования стержневых математических понятий. Такой подход способствует развитию у школьников мотивации и достижению понимания изучаемого материала.