Full text
Введение Временной ряд (ряд динамики) - это значения какого-либо социально-экономического показателя, расположенные в хронологическом порядке. Отдельные значения показателя yt, относящиеся к периоду (моменту) t называются уровнями временного ряда. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы [1]: • факторы, формирующие тенденцию ряда; • факторы, формирующие циклические (периодические) колебания; • случайные факторы. Таким образом, уровень временного ряда (у) можно рассматривать как функ-цию тенденции (Т), циклической (периодической) составляющей (например, сезон-ности) (S) и случайной компоненты (Е): . Конкретный вид функции f зависит от характера моделируемого процесса. На практике чаще всего строятся два вида моделей: аддитивные и мультипликативные. При построении аддитивной модели предполагают, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой, циклической и случайной ком-понент: , а в случае построения мультипликативной модели - как произведение указанных выше компонент: . Применение аддитивной модели целесообразно в том случае, если амплитуда циклических колебаний остается неизменной или меняется незначительно на всем анализируемом временном отрезке (рис. 1. а). Рис. 1. Временные ряды с постоянной(а) и переменной (б) амплитудой циклических колебаний Если же амплитуда периодических колебаний меняется пропорционально ве-личине тренда (рис. 1. б), то необходимо использовать мультипликативную модель. Методология и результаты исследования На практике встречаются такие случаи, когда невозможно использовать ни ад-дитивную, ни мультипликативную модели. Например, на рис. 2 изображен вариант развития некоторого процесса, характеризующегося растущей тенденцией с одно-временным уменьшением амплитуды колебаний. Рис. 2. Временной ряд с растущей тенденцией и снижающейся амплитудой циклических колебаний Аддитивная модель для описания данного процесса явно не подходит, поскольку амплитуда здесь не является постоянной. Невозможно также применить и мультипликативную модель, т. к. в данном случае амплитуда колебаний не пропорциональна величине тренда. Для описания выше указанных процессов предлагается использовать гибрид-ную (смешанную) аддитивно-мультипликативную модель следующего вида: , где К - коэффициент, характеризующий тенденцию изменения амплитуды колеба-ний. В отличие от мультипликтивной модели в гибридной модели амплитуда перио-дических колебаний жестко не связана со значением тренда, поэтому ее можно ис-пользовать для описания разнообразных процессов, не ограничиваясь случаями, приведенными на рис. 1. Рассмотрим процесс построения данной модели на примере временного ряда, изображенного на рис. 2. с учетом того, что данные помесячные. Этап 1. Сглаживание ряда динамики скользящей средней. Поскольку в данном случае мы имеем дело с сезонными колебаниями, то пери-од скользящей средней m принимаем равным 12. Выбор этого значения обусловлен тем, что за принятый период колебания должны взаимопогашаться. Вычисление скользящих средних в случае четного m производится по формуле: , , где n - число уровней временного ряда; - полупериод скользящей средней (в данном случае p=6). Поскольку в данном случае период скользящей средней m величина четная и полученные значения относятся к середине между двумя моментами времени t и (t+1), то необходима операция центрирования, суть которой заключается в нахожде-нии средних значений из двух смежных скользящих средних для отнесения получен-ного результата к определенному моменту t: , . С учетом операции центрирования можно окончательно записать формулу для скользящей средней в случае четного значения m: , . Результат сглаживания временного ряда представлен на рис. 2 (кружочки). Этап 2. Описание тенденции с помощью уравнения тренда. На этом этапе к сглаженным данным подбирается уравнение тренда и вычис-ляются его параметры (рис. 3). В нашем случае для описания тенденции, очевидно, лучше всего подходит линейный тренд вида: , . Рис. 3. Подбор уравнения тренда к сглаженным данным Параметры тренда определяются с помощью обычного метода наименьших квадратов (МНК). Применение этого метода позволило получить следующее уравне-ние тренда: (R2=0.92). Этап 3. Устранение из уровней исходного временного ряда тенденции (тренда). На этом этапе из уровней ряда вычитаются трендовые значения, в результате чего получается сумма циклической и случайной компоненты (рис. 4): , . Рис. 4. Результат исключения тенденции из временного ряда Этап 4. Определение усредненных значений циклической компоненты. На данном этапе месячные циклические компоненты усредняются по годам: , где L - число анализируемых лет: ; l - номер года; k - номер месяца. Для проверки взаимопогашения колебаний в течение года используется следу-ющее правило: сумма сезонных компонент за год должна быть равна нулю: . Если это условие не выполняется необходимо рассчитать значение корректирующей поправки: и скорректировать значения циклической компоненты: , где - скорректированные значения циклической компоненты. Значения уже не содержат случайной компоненты, поскольку она погашает-ся в результате усреднения. Результаты реализации этапа 4 приведены на рис. 5. Рис. 5. Усредненная и скорректированная циклическая компонента Этап 5. Определение значений коэффициента, характеризующего тенденцию изменения амплитуды колебаний. Величина коэффициента изменения амплитуды колебаний вычисляется как отношение (S+E) к среднему значению циклической компоненты за соответствующий месяц года: , где [...] - взятие целой части. Результат вычисления коэффициентов изменения амплитуды колебаний пред-ставлен на рис. 6 (кружочки). Рис. 6. Значения коэффициента К Этап 6. Описание тенденции изменения амплитуды колебаний. На этом этапе описывается тенденция изменения значений коэффициента K с помощью подходящего уравнения тренда. В нашем случае, очевидно, тенденция показателя K описывается линейным трендом: . Параметры данного тренда определяются обычным МНК. В данном случае было получено следующее уравнение: . Результаты вычисления по данному уравнению представлены на рис. 6 (сплошная линия). Этап 7. Использование полученной модели для описания исследуемого про-цесса. На этом этапе гибридная аддитивно-мультипликативная модель записывается в окончательном виде: . Фактические данные и результаты вычисления по полученной модели пред-ставлены на рис. 7. Рис. 7. Результаты вычисления по модели Показатель детерминации для построенной модели близок к единице (R2=0.991), что говорит о ее хорошем качестве. Заключение Предложенная выше гибридная аддитивно-мультипликативная модель в некотором смысле универсальна. Она может использоваться для описания разнообразных экономических процессов, с тенденцией и без, сопровождающихся циклическими колебаниями, как с постоянной, так и с переменной амплитудой [2].