Full text

Введение / Introduction

 

Тема «Предел и непрерывность функции одной вещественной переменной» является чрезвычайно важной в курсах математического анализа или высшей математики для студентов любых направлений обучения, изучающих данные предметы. Именно эта тема – камень преткновения или, по крайней мере, поворотный пункт в изучении математики для большинства студентов вузов (кроме тех выпускников физматлицеев и школ, которые глубоко освоили ее в старших классах). Несмотря на то что в школьной программе предусмотрено знакомство с этой темой, на первом курсе вуза большинство учащихся сталкиваются в теме «Предел функции» с новым для них уровнем абстракции, заложенным и в самом математическом понятии предела, и в способе записи определений. Решение задач по данной теме часто также вызывает трудности из-за того, что предлагаемые алгоритмы и методы раскрытия неопределенностей, возникающих в задачах на вычисление пределов, вступают в противоречие с наглядными интуитивными представлениями первокурсников. Решение задач на доказательство с опорой на формальные определения из лекционного курса тем более вызывает трудности, многие студенты ощущают разрыв теории и практики и не знают, как его преодолеть.

Типичность этих проблем мы увидим ниже в обзоре литературы.

Преодоление указанных трудностей очень важно: с темой «Предел и непрерывность функции» студенты встречаются вскоре после начала обучения в вузе, и от успешности ее усвоения в большой мере зависит успех перехода вчерашних школьников на более высокий уровень восприятия математических понятий и применение ими математических методов в дальнейшей профессиональной деятельности. К тому же успех или провал в начале изучения предмета ведет, соответственно, к повышению или утрате мотивации студента при дальнейшем изучении этого предмета. Поэтому разработка эффективных методических подходов к данной теме и их обсуждение являются актуальными.

Данная статья посвящена классификации требований, предваряющих определение предела функции в данной точке, налагаемых на точку числовой оси по отношению этой точки к области определения функции. Рассматриваются и классифицируются способы наложения таких требований и разные подходы к решению задач по теме «Предел и непрерывность функции», возникающие в зависимости от выбора одного из этих способов при введении понятия предела. Эти подходы иллюстрируются примерами учебных задач; задачи, их решения и ответы комментируются с позиций проводимой классификации теоретических представлений.

 

Обзор литературы / Literature review

 

При обсуждении авторами данной статьи актуальности выбранной темы и отборе соответствующей литературы оказалось, что множество научно-методических и собственно математических научных публикаций, связанных с пределом и непрерывностью функции, неожиданно велико и разнообразно, даже с учетом объективной важности темы «Предел и непрерывность функции» в курсах математики и математического анализа. Поэтому нам представляется удобным разбить все такие публикации на несколько групп, в зависимости от более узкой тематики и методологии авторов.

К первой группе мы отнесли работы, в которых авторы излагают общий взгляд на методический подход к данной теме либо даже на методику преподавания математического анализа в вузе вообще (порой именно от темы «Предел функции» переходя к глобальным обобщениям; порой детально рассматривая эту тему для иллюстрации глобального методического подхода). Так, С. С. Демидов и С. С. Петрова дают обзор развития преподавания математического анализа в нашей стране и особенно идей Г. М. Фихтенгольца, а именно он сделал общепринятым в российском высшем образовании строгое определение предела [1]. Шведская исследовательница Кристина Ютер анализирует психологические сложности студентов при изучении пределов функций, она отмечает конфликт между абстрактными и интуитивными представлениями, опираясь на психологические опросы и математические тесты, после статистической обработки ответов студентов [2]. Яркий пример глобальных методических идей в преподавании математического анализа дают работы Л. Д. Кудрявцева, обзор и обсуждение которых содержатся в статье А. Л. Семенова и А. Е. Абылкасимовой [3]. Эти авторы отмечают внимание Л. Д. Кудрявцева к психологическим проблемам студентов при изучении математики, к отбору материала преподавателем. Об этом пишет сам Л. Д. Кудрявцев еще в книге 1977 года, где также подчеркивает двойственное значение абстрактной математики: она создает сложность в восприятии математических понятий не только у студентов, но и у ученых разных специальностей, например физиков, но абстрактность способствует универсальности применения математики [4]. Это замечание важно для нас, поскольку данная статья посвящена тонкостям определения понятия предела, которое и без этих тонкостей часто воспринимается учащимися как чересчур абстрактное. Л. Д. Кудрявцев много лет размышлял о принципах преподавания математики и, в частности, ввел оригинальное определение предела функции, о методологических корнях которого рассказывает в [5]. Также к работам первой группы относится статья И. П. Костенко, в которой автор выступает против «вируса ВТУ» (высокого теоретического уровня), настаивая на большей практичности учебников математики для инженеров [6].

Вторую группу работ составляют публикации, в которых предлагаются и иллюстрируются примерами конкретные методические идеи занятий по теме «Предел и непрерывность функции». И. А. Барабанова описывает способ постепенного введения понятия непрерывности от наглядного представления к строгому определению [7]. В. А. Кадымов и О. Н. Литвин дают краткую сводку фактов по теме «Предел функции» с примерами [8]. Ф. Х. Ахметова, А. В. Косова и И. Н. Пелевина подробно рассматривают методику обучения написанию определений пределов по Коши и классифицируют способы раскрытия неопределенностей [9]. Некоторые авторы описывают специальные методики, помогающие снять психологические проблемы студентов, связанные с восприятием абстрактных понятий при изучении темы «Предел функции». Так, Р. Вахата, С. Балимуттаджо, В. Мутарутинья предлагают целый спектр представлений понятия предела (наглядно-интуитивное, с помощью числовых таблиц, графическое) для обучения раскрытию неопределенностей [10]. О. В. Вергазова выстраивает поэтапный подход к решению задач на доказательство по теме «Предел функции»: сначала обсуждение примеров из физики, потом рассмотрение геометрических иллюстраций (графиков), далее решение задач с применением строгих определений [11]. Заметим, что в рассмотренных выше работах второй группы определение предела функции в точке дается без учета тех тонкостей, которые мы будем анализировать в данной статье: в этих работах функция определена либо в проколотой окрестности точки, где мы рассматриваем предел, либо в полной ее окрестности в случае непрерывности функции, либо в полуокрестности при рассмотрении одностороннего предела.

Отметим еще несколько работ, отнесенных нами ко второй группе. С. А. Довбыш, как и авторы предыдущих работ, говорит о постепенном переходе от интуитивного понимания предела к строгому; приводит и традиционную классификацию определений предела (по Коши и по Гейне) и разграничивает разные подходы к положению точки, в которой берется предел, по отношению к области определения функции [12]. Однако цель его статьи (в отличие от нашей) не столько классификация этих подходов, сколько описание сложностей перехода к большей строгости понятий при обучении. А. Ф. Владимиров выдвигает требование подготовительных занятий со студентами перед изучением пределов по темам «Предельные точки множества в метрическом пространстве» (это необходимо для понимания определений, о которых пойдет речь в нашей статье; в данном случае имеется в виду метрическое пространство вещественных чисел со стандартным расстоянием) и «Алгебра предикатов. Кванторы и логические формулы» [13]. Нам также представляется, что предварительное рассмотрение этих тем было бы очень полезным.

Преподавателем Е. А. Ульянкиной в соавторстве с учениками (курсантами) А. А. Поповым и М. Н. Чиндиным написана статья, посвященная применению пределов и производных в задачах аэродинамики; данная статья сама является примером мотивирующей методики: совместная работа преподавателя и учащихся и демонстрация прикладной ценности изучаемого материала для будущей профессии [14]. Л. А. Панкратова создает красивые переклички темы «Предел» с другими темами матанализа [15]. Е. М. Воробьев рассказывает о применении компьютерных технологий в изучении темы «Непрерывные функции» [16].

К третьей группе мы относим работы, тематически примыкающие и к первой, и ко второй группе: с одной стороны, авторы уделяют немалое внимание общему анализу и гуманитарным аспектам методики (психологические сложности студентов, мотивационные моменты обучения), с другой стороны, исходя из этого, предлагают конкретные методические идеи для изучения рассматриваемой темы. Так, С. С. Пухов сначала подробно обосновывает, психологически и логически, предлагаемый им пошаговый метод введения определений теории предела в виде логических формул, далее описывает саму методику [17]. Ю. С. Васильев и В. И. Антонов излагают принципы разработки тестов по темам матанализа (включая пределы), исходя из предварительного обсуждения роли математики в формировании инженерного мышления [18]. Аналогично К. Ютер формулирует идеи подбора заданий по теме «Предел» по итогам психологического тестирования (в котором требовалось словесное описание математического понятия) и выполнения тестовых математических заданий; результаты того и другого тестирования анализируются совместно [19]. Д. С. Хонг также пишет о принципах подбора задач, ориентируясь на интуитивные представления студентов и сложности введения абстрактных понятий и формулировок понятий в логической (кванторной) записи [20]. Л. Броули, Н. Харди формулируют методические идеи преподавания математики (в частности, по теме «Предел функции») на основе психологического и предметного (математического) тестирования студентов [21]. Аналогичную методику излагают С. Бансилал, T. Mхванази [22]. C. Фернандес, M. Морено, Г. Санчес Матаморос описывают интересное тестирование, участниками которого являются студенты – будущие школьные учителя и старшеклассники; непосредственно по итогам тестирования школьников студенты разрабатывают свои методические идеи по теме «Предел» [23]. Такой подход связан с нашим исследованием косвенно: при введении полученных результатов в учебный процесс может быть полезным применение тестирования как до внедрения новых методических идей (диагностическое входное тестирование), так и после (итоговое для оценки результата). Формы и идеи тестов по теме «Предел функции» можно видеть в работах, рассмотренных выше.

Отметим еще две работы третьей группы. Вэй Ван считает тему «Предел» ключевой в математическом анализе, обращает внимание на необходимость большой самостоятельной работы студентов для преодоления сложностей восприятия новых понятий [24]. А. А. Меленцов рассказывает о личном опыте преподавания студентам педагогических специальностей, причем заочникам, и, учитывая дополнительные сложности студентов-гуманитариев, приводит блестящие образные примеры, подводящие именно к понятию предела [25].

И наконец, к четвертой группе мы относим работы, в которых тема «Предел и непрерывность функции» получает собственно математическое развитие: вводятся новые понятия, формулируются и доказываются теоремы, обобщающие уже известные факты. В. Н. Миролюбов ищет более детальный способ описания бесконечных пределов, вводя новое понятие «предельная пара точек» [26].
В. И. Шмойлов, А. Г. Клово и В. Ю. Войтулевич конструируют оригинальное определение предела функции с помощью цепных дробей [27]. Н. Ю. Галанова и М. В. Подкорытов исследуют определения предела по Коши и по Гейне в условиях неархимедовых упорядоченных полей, обобщают и доказывают в этих условиях теоремы о пределах [28]. Эти работы показывают, что рассматриваемая нами «хрестоматийная» тема представляет не только учебно-методический, но и непосредственно научный математический интерес.

Таким образом, обзор литературы показывает актуальность рассмотрения темы «Предел и непрерывность функции». Она привлекает внимание методистов и педагогов, которые отмечают психологические и логические проблемы, возникающие у студентов при изучении темы, ищут пути диагностики проблем и их преодоления. Также данная тема получает развитие и в научных работах современных математиков. Наша работа методическая, она направлена на детализацию подходов к данной теме в учебном процессе. Выбранная нами тема лежит в русле многочисленных научно-методических и научных современных работ.

 

Методологическая база исследования / Methodological base of the research

 

Теоретические методы: выявление и уточнение места обсуждаемой темы среди методических вопросов преподавания матанализа на основе общего обзора литературы; классификация способов определения предела по отношению к одному выделенному аспекту на основе сравнительного анализа популярных учебных пособий. Конкретно рассмотрены учебники и учебные пособия Л. Д. Кудрявцева [29], Л. Д. Кудрявцева, А. Д. Кутасова, В. И. Чехлова, М. И. Шабунина [30], С. М. Никольского [31], Д. Т. Письменного [32], А. М. Тер-Крикорова и М. И. Шабунина [33], в них условия рассмотрения предела функции в точке введены способом 1. В книгах А. П. Аксенова [34], Б. П. Демидовича [35], В. А. Зорича [36], В. А. Ильина и Э. Г. Позняка [37], Г. М. Фихтенгольца [38] эти условия введены способом 2. В задачнике [39] под редакцией Б. П. Демидовича изучаемые условия не конкретизированы. В книгах Л. Д. Кудрявцева [40, 41] и Н. Л. Кудрявцева [42] изучаемые условия введены способом 3. Сами способы 1–3 описаны ниже в результатах исследования.

Эмпирические методы: составление подборки задач по теме «Предел и непрерывность функции» и обсуждение их решений в свете проведенной классификации определений понятия предела. В подборке задач условия примеров 1–3 взяты из задачника [43], остальные условия примеров принадлежат авторам статьи. Применен метод сравнительного наблюдения за изменением или сохранением корректности постановки задач, их решений и ответов в зависимости от условий рассмотрения предела, соответствующих нашей классификации.

 

Результаты исследования / Research results

 

В большинстве учебников математического анализа перед тем, как сформулировать определение предела функции вещественной переменной  в некоторой точке , авторы налагают условие на функцию, а точнее на точку  и область определения X функции , одним из следующих способов. Множество X – подмножество множества  вещественных чисел (при необходимости понимаемого как метрическое пространство с соответствующей стандартной метрикой).

Способ 1. Требуется, чтобы функция была определена в проколотой окрестности точки .

Способ 2. Требуется, чтобы точка  была предельной (в другой терминологии, точкой сгущения) множества

Способ 3. Требуется, чтобы точка  была точкой прикосновения множества  

Первое требование наиболее «жесткое» (очевидно, оно частный случай второго). Второе требование – частный случай третьего (точки прикосновения множества могут быть предельными или изолированными его точками). Под окрестностью точки  понимается интервал  вещественной оси, содержащий эту точку. При формулировке условий на точку  способами 1 и 2 в самом определении предела рассматривают значения функции в точках  независимо от того, определена ли функция в точке

Способ 3 (новаторский подход Л. Д. Кудрявцева), безусловно, представляет большой интерес для преподавателей и для всех изучающих математический анализ. В настоящей статье мы, однако, хотим сделать акцент не на том, будет ли в определении предела рассматриваться значение  наряду с другими ее значениями в окрестности точки , что составляет отличие способа 3 определения предела от способов 1 и 2. Сосредоточимся сейчас на отличии способов 2 и 3 от способа 1, а именно на том, допускать ли при определении предела  рассмотрение функций, у которых сколь угодно близко от точки  имеются точки не из области определения функции. Рассмотрим на примерах, к каким различиям в решении задач может привести данное различие методологических подходов.

Пример 1. Рассмотрим  В данном примере неважно, каким именно способом из трех рассмотренных выше вводятся условия на точку и область определения функции. Поскольку выполнены условия, налагаемые способом 1, то тем более выполнены условия, налагаемые на функцию и точку  способами 2 и 3. Поскольку функция, стоящая под знаком предела, не определена в точке  то и определение предела по Л. Д. Кудрявцеву не изменит понимания условия и способа решения данной задачи. Дробно-рациональная функция, стоящая под знаком предела, сокращается на  неопределенность раскрывается. Ответ  

Пример 2. Рассмотрим  Функция, стоящая под знаком предела, аналогично предыдущему примеру, не определена в точке  Но в данном примере функция не определена на каждом промежутке, где  то есть при . Промежутки такого вида имеются в сколь угодно малой окрестности точки  поскольку их концы являются последовательностями, стремящимися к нулю. Однако в любой окрестности точки  имеются точки (и даже интервалы вещественной оси), где рассматриваемая функция определена. Ясно, что, определяя предел функции в рамках способа 1, мы должны сказать, что предел в данном случае не существует: он просто не имеет смысла. Но остальные способы позволяют рассмотреть данный предел, и он легко вычисляется как предел произведения бесконечно малой функции на ограниченную.

Пример 3.Рассмотрим задачу: определить точки разрыва функции  и исследовать их характер. Нас будет интересовать точка  Функция в ней не определена. В каждой ее окрестности имеются точки разрыва первого рода , данной функции, но в этих точках функция определена,  Таким образом, независимо от способа формулировки условий рассмотрения предела в точке  чтобы установить характер разрыва в этой точке, нам надо исследовать предел функции в этой точке (и при любом из рассмотренных способов 1–3 введения понятия предела это возможно, поскольку функция определена в проколотой окрестности точки ). Отсутствие предела легко доказывается:  при    при  причем пределы последовательностей  Отсюда видим отсутствие правостороннего предела при   (невыполнимо его определение по Гейне), этого достаточно для вывода о характере разрыва функции в точке  (разрыв второго рода).

Пример 4. Рассмотрим функцию  Выясним, существует ли В рамках способа 1 определения предела нельзя рассматривать  В рамках способов 2 и 3 это делать можно, поскольку функция определена в проколотой окрестности точки , за исключением точек . Легко показать способом, аналогичным приведенному в примере 3, что этот предел не существует.

Пример 5.Рассмотрим функцию  Выясним, существует ли Поскольку и в данном случае функция определена в проколотой окрестности точки  за исключением точек , то рассматривать  можно лишь в рамках способов 2 и 3, но не в рамках способа 1. С одной стороны, легко подобрать такую последовательность (например, ), что  С другой стороны, поскольку в любой окрестности точки  имеются точки бесконечного разрыва функции, то невозможно, чтобы  поэтому данный предел не существует.

Пример 6. Рассмотрим функцию  Выясним, существует ли  Функция не определена в точках  как и в точке . Как и в предыдущих двух примерах, рассматривать  можно лишь в рамках способов 2 и 3, но не в рамках способа 1. Очевидно, он равен нулю.

Таким образом, в некоторых случаях на корректность постановки задачи, ход ее решения и ответ не влияет выбор одного из способов 1–3 наложения предварительных условий на точку и область определения функции; в других задачах, однако, сама возможность рассмотрения предела функции и ее непрерывности в данной точке зависит от выбора одного из этих способов, а потому от него зависит и ответ задачи.

 

Заключение / Conclusion

 

Сравнительный анализ учебных пособий, где обсуждаются подходы к определению предела функции, позволил выделить три различных способа наложения условий на точку, в которой рассматривается предел (способы 1–3, описанные выше). В примерах решения задач с опорой на разные теоретические подходы к определению предела мы видели, что иногда (хотя и не всегда) способы 1–3 введения условий, позволяющих рассматривать предел, приводят к разным ответам задачи: в некоторых случаях при одном подходе рассмотрение предела некорректно, при другом – корректно, причем он может существовать, но может и не существовать, хотя мы имеем право его рассмотреть. Хочется отметить, что важно обращать внимание студентов на точные формулировки и на детальное понимание определений не только для лучшего понимания решения задач на практических занятиях, но и для развития логического мышления и математической культуры в целом.

Вероятно, при обучении студентов, чья будущая профессия не предполагает углубленного владения математическим анализом, но требует знания его ключевых понятий и фактов и умения применять эти знания на практике, удобно использовать способ 1 (как наименее сложный) при введении понятия предела функции в точке. Как показывает обзор большого количества методических статей, и этот способ требует специальных методических приемов, ведущих от интуитивных (часто неверных или неточных) представлений к осознанному применению строгого определения. Объяснение способов 2 и 3 требует приведения примеров, которые на фоне применения матанализа, например в инженерных задачах, покажутся слишком экзотическими.

Студентам направлений обучения, тесно связанных с математикой и ее приложениями, можно показать, что даже такое базовое понятие математики, как предел функции, может трактоваться по-разному. Это помогает понять, что определения понятий не просто объект «зубрежки», а продукт творчества людей в процессе развития науки и образования. Поэтому для направлений обучения с углубленной математикой имеет смысл сделать акцент на приведенной здесь классификации способов введения понятия предела функции; здесь будет уместно на практических занятиях рассмотрение примеров, подобных проанализированным в данной статье. Тем более это важно для работы со студентами-математиками.

В перспективе результаты, полученные в данной работе, могут способствовать составлению задач по теме «Предел и непрерывность функции», разных для разных направлений обучения, с учетом сказанного выше.