Techniques for the formation of basic concepts and skills of the functional-graphical line among secondary school students in a digital environment

Введение / Introduction

Одной из основных линий содержания программы по математике в 7–9-х классах является функционально-графическая линия. В Федеральных рабочих программах по математике (базовый и углубленный уровни) [1] на ступени основного общего образования отмечается, что данная линия нацелена на получение обучающимися знаний о функции как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных явлений и процессов в природе и обществе, а умение создавать такие модели – это структурный элемент математической грамотности. Анализ результатов Всероссийских проверочных работ по математике за 2024/2025 учебный год [2] фиксирует низкий процент выполнения заданий по теме «Функция». Так, в 7-х классах только 38% учащихся выполнили задание, требующее умения извлекать и интерпретировать информацию из графиков реальных процессов; еще меньший процент семиклассников (35%) справился с заданием на описание и интерпретацию реальных числовых данных, представленных на диаграммах и графиках. В 8-х классах чуть более половины обучающихся (57%) продемонстрировали умения понимать и использовать функциональные понятия, определять значение и свойства функции по ее графику, при этом в классах с углубленным изучением математики такой процент выше (68%). Анализ итоговой аттестации девятиклассников (в форме ОГЭ) [3] показал, что наибольшие затруднения у всех выпускников основной школы вызвали задания, проверяющие умения применять знания при решении практических задач, строить математические модели; при этом есть обучающиеся, у которых отсутствуют знания о типах функций, их формулах и графиках. Задание высокого уровня сложности, в котором требуется построить график функции с параметром, выполнили около 3% девятиклассников (в зависимости от региона). Аналогичная ситуация наблюдается и по результатам Единого государственного экзамена по математике профильного уровня [4]: в 2025 году только около 2% от числа участников ЕГЭ верно решили задачу с параметрами, рациональное решение которой предполагало построение графика функции. Проблема недостаточной сформированности умений функционально-графической линии остается актуальной и для студентов первых курсов высших учебных заведений. Например, в исследовании Н. А. Даниловой [5] констатируется, что многие обучающиеся формально усвоили определение понятия функции, не имеют целостного представления о функциональной зависимости, о классификации функций и их свойствах. На формализм изучения функций в школьном курсе математики указывается и в зарубежных исследованиях. Так, И. Г. Айе [6] отмечает, что учащиеся часто имеют неверные представления о функциях и способах их визуализации, на уроках преимущественно развивают процедурные навыки в ущерб концептуальному пониманию.

Таким образом, актуален методический поиск эффективного дидактического инструментария для формирования у обучающихся понятия функции как математической модели явлений окружающего мира и овладения школьниками всем спектром умений функционально-графической линии. Происходящая в настоящее время цифровая трансформация образования обогащает существующие методические практики новыми возможностями, поэтому цель нашего исследования – выявление приемов формирования основных понятий и умений функционально-графической линии у обучающихся основной школы и определение цифровых инструментов реализации указанных приемов.

Обзор литературы / Literature review

Фундаментальная роль функционально-графической линии подчеркивается в исследовании Л. Юкич-Матич, Г. Келер-Поляк, С. Рукавина [7]. Авторы отмечают, что понятие функции является базовым для математики как научной дисциплины и центральным понятием школьной математики; развитие у учащихся умения применять функции в процессе познания реальной действительности включено в основные цели учебных программ по математике во всем мире. В России основные умения функционально-графической линии в 7–9-х классах представлены в спецификации контрольно-измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена [8]: строить графики функций; использовать графики для определения свойств процессов и зависимостей, для решения задач из других учебных предметов и реальной жизни; выражать формулами зависимости между величинами. В исследованиях проблемы изучения школьниками функционально-графической линии внимание методистов акцентируется на реализации принципа наглядности с опорой на визуальное мышление учащихся. В работах В. А. Далингера, С. Д. Симонженкова [9] предложен когнитивно-визуальный подход, предполагающий создание визуальной учебной среды как совокупности условий обучения, создающих взаимосвязь абстрактно-логического содержания учебного материала с наглядно-интуитивными методами, активизирующими познавательную деятельность. С. А. Бельман, М. А. Евтихина [10] отмечают, что на основе когнитивно-визуального подхода с помощью специально созданных образов можно ввести математическое понятие, показать скрытые закономерности, сопоставить слово и образ, наглядно представить теоретические данные, проследить ход рассуждения, объединить факты в целый зрительный образ, увидеть идею решения. В статье С. В. Матюшенко и О. О. Князевой [11] выделены временные этапы развития принципа наглядности в образовании: классический, визуальный, когнитивно-визуальный, инфографический. Инфографический этап обусловлен цифровизацией образования, позволившей многократно расширить границы наглядности в обучении. А. В. Фирер [12] выделяет элементы визуализации в контексте изучения функциональной линии: таблицы, графики, диаграммы (круги Эйлера, блок-схемы, кластеры и др.). З. А. Абильева, Н. Н. Кошелева [13] рассматривают визуализированные задачи как основное средство изучения степенной функции; при этом для решения задач с неявным графическим образом используют программы динамической математики. Интересный методический опыт математизации понятия функции учащимися средней школы представлен в работе Р. И. Гонсалес-Поло и А. Кастанеда [14]. Авторы формируют понятие функциональной зависимости на основе дидактической игры с падающим шариком (задача о свободном падении), при этом используется специальное программное обеспечение для получения данных о движении.

В работе авторского коллектива А. Хрничич, А. Алиходжич, Ф. Коньяло, Д. Камбер-Хамзич [15] сделан упор на понимании функции как математической модели реальных процессов. В связи с этим авторы проектируют банк заданий для оценки понимания обучающимися «реальных функций», который в дальнейшем поможет определить необходимые изменения в изучении программы функционально-графической линии.

Немалое количество работ отечественных и зарубежных авторов посвящено выявлению потенциала цифровой среды для эффективного изучения функций в школьном курсе математики. В обзорном исследовании В. Хади, Ц. Чикош [16] за период с 2006 по 2024 год отмечается, что наиболее частые приемы визуализации при обучении математике в школе – это создание рисунков и использование программы GeoGebra. Учителей и методистов привлекают возможности программ динамической математики для организации экспериментальной и исследовательской деятельности школьников по изучению свойств и графиков функций. Например, Р. Т. де Соуза, Ф. Р. Алвес [17] предлагают методику изучения квадратичной функции с применением цифрового симулятора, позволяющего в ходе эксперимента установить взаимосвязь коэффициентов квадратичной функции и ее графика. А. Р. Ганеева, А. С. Овчинникова, А. А. Аркатова [18] исследуют методические аспекты использования программы GeoGebra для построения графиков функций, изучаемых в основной школе, методом геометрических преобразований, при этому суть каждого метода учащиеся открывают самостоятельно.  В статье В. Н. Дубровского [19] показаны возможности визуализации функциональных зависимостей и преобразований плоскости в программах динамической математики («Математический конструктор», «Живая математика», GeoGebra) на основе динографиков. Н. В. Эйрих [20] представляет опыт организации экспериментально-исследовательской работы учащихся в виртуальной лаборатории «Графики функций» портала «1С: урок», отмечая, что такая деятельность развивает не только предметные умения, но и метапредметные. В работе С. В. Ларина, В. Р. Майера, Т. О. Кочетковой, О. А. Карнауховой [21] разработан цифровой образовательный контент из серии анимационных рисунков на базе GeoGebra. С помощью такого контента организуются учебные исследования, экспериментирование и тренинги обучающихся по различным разделам школьного курса математики. В исследовании Е. В. Поздняковой [22] проектируется система заданий с региональным компонентом для обучения построению графиков функций методом геометрических преобразований с использованием инструментов цифровой среды; показано влияние такого учебного материала на качественную успеваемость и формирование метапредметных умений и мотивации учащихся основной школы.

Внедрение нейросетей в процесс обучения математике открывает принципиально новые возможности для реализации принципа наглядности. В этом аспекте следует отметить интересные результаты, представленные в работе И. В. Гончаровой, И. Н. Никитенко, М. В. Петренко [23]. На примере содержательной линий «Математика в историческом развитии» авторы иллюстрируют возможности нейросетей для создания анимированных материалов, цифровых галерей и интерактивных диалогов.

Таким образом, на основе анализа отечественных и зарубежных исследований установлено: 1) изучение функционально-графической линии выстраивается на основе принципа наглядности с активизацией резервов визуального мышления обучающихся (когнитивно-визуальный подход на «инфографическом» этапе его развития); 2) наблюдение, моделирование и экспериментирование играют важную роль в процессе эффективного усвоения обучающимися основных понятий, свойств, типов и графиков функций; 3) программы динамической математики являются достаточно популярным и эффективным средством организации исследовательской деятельности школьников для изучения свойств и графиков функций; 4) для визуализации учебного материала функционально-графической линии перспективно рассмотрение потенциала нейросетей и других цифровых инструментов наглядности.

Материалы и методы / Materials and methods

Дидактический подход к формированию основных понятий и умений функционально-графической линии базируется на положении о том, что предметные результаты должны формироваться в единстве с метапредметными умениями, математической грамотностью и математической креативностью (рис. 1). Совместно с обучающимися проектируется предметная открытая образовательная среда, понимаемая как комплекс условий для саморазвития, обучения и самообучения школьника с учетом психолого-педагогических особенностей и образовательных запросов цифрового поколения. Принципы проектирования такой среды представлены в исследовании Е. В. Поздняковой, А. В. Фоминой и П. М. Баевой [24]: ориентированность на ученика; открытость образовательной среды; интеграция цифровой среды, включая искусственный интеллект; трехчастная структура среды, проявляющаяся в наличии трех ее компонентов – коммуникативного, технологического и ресурсного; дозированная геймификация среды.

Рис. 1. Математическая подготовка в 7–9-х классах: единство компонентов

Методическая схема изучения функции в основной школе выстраивается на основе частной методики Л. С. Капкаевой [25]: рассмотрение конкретных ситуаций или задач, приводящих к данной функции → формулировка определения функции и запись ее в виде формулы → ознакомление учащихся с графиком данной функции  → исследование основных свойств функции → применение изученных свойств функции при решении различных задач. Понятие дидактического приема в обучении математике уточнено в исследовании О. В. Тумашевой, О. В. Берсеневой и М. Б. Шашкиной [26]: операция по взаимодействию учителя и обучающегося в процессе реализации метода обучения, определяющаяся конкретностью цели применения, предметным содержанием и характером познавательной деятельности ученика. Находя приемы формирования понятий и умений функционально-графической линии, мы опирались на эвристический подход в обучении математике, представленный в учебном пособии Е. И. Скафа [27]. Такой подход направлен на развитие креативности и способности обучающихся к самостоятельному усвоению знаний; в системе дидактических приемов реализуется через постановку проблемных вопросов, заданий с недостающими данными или неопределенностью в условии, вовлечение учащихся в творческую или экспериментальную деятельность (например, экспериментирование с параметрами и наблюдение за изменениями графика в динамической среде, поиск функций для описания реальных объектов).

Для определения цифровых инструментов реализации приемов формирования умений функционально-графической линии был проведен сравнительный анализ программ динамической математики, находящихся в свободном доступе (GeoGebra, «1C: Математический конструктор»); рассматривались нейросети, генерирующие визуальный контент.

В области изучения функционально-графической линии программа GeoGebra [28] обладает следующими ключевыми особенностями: построение графиков элементарных и сложных функций (в том числе кусочно-заданных, параметрических, неявных); динамическое изменение параметров функции с помощью ползунков, что позволяет наглядно изучать влияние коэффициентов на форму графика; вычисление и отображение производных и интегралов, построение касательных и нормалей; исследование особых точек (экстремумов, точек перегиба, асимптот) с возможностью их автоматического нахождения; анимация графиков и траекторий; экспорт результатов в форматы изображений. Программная среда «1С: Математический конструктор» [29] – первая российская разработка мирового класса в области интерактивных математических систем для школьников. Программа ориентирована прежде всего на школьное математическое образование и обладает достаточным функционалом для базового исследования графиков функций. Ее особенностями являются интуитивно понятный интерфейс, адаптированный для учащихся и педагогов; библиотека готовых шаблонов и заданий по темам школьного курса (линейные, квадратичные, тригонометрические функции и др.); инструменты для построения графиков по таблице значений, формуле или описанию; возможность проведения геометрических преобразований графиков (сдвиги, растяжения, отражения); функции измерения координат, расстояний, углов, площадей; поддержка создания интерактивных моделей с управляющими элементами (кнопками, ползунками). «1С: Математический конструктор» имеет закрытую лицензионную модель и тесную интеграцию с другими продуктами «1С: Образование»; содержит методическое сопровождение для учителей, включая сценарии уроков и проверочные задания.

Сегодня нейросети активно внедряются в процесс создания инфографики, предоставляя мощные инструменты для визуализации данных и графиков функций. Нами анализировались российские разработки, такие как нейросеть GigaChat и голосовой помощник «Алиса AI», созданные соответственно компаниями «Сбер» и «Яндекс». GigaChat – современная русскоязычная нейросеть, способная выполнять широкий спектр задач, включая генерацию текста и изображений. У данной нейросети есть специальные настройки для образования (например, «простой стиль объяснения для начинающих», «подробный разбор темы для продвинутых», «разный уровень сложности примеров»). Одно из направлений ее применения – создание инфографики, основанной на математических функциях. Пользователю достаточно описать идею будущей инфографики текстом, а нейросеть сама создаст соответствующее изображение. Например, можно сформулировать запрос «создать инфографику с изображением городского пейзажа, где здания представлены графиками разных функций». Получив такую инструкцию, GigaChat сможет обработать ее и выдать оригинальную картинку, совмещающую реальный объект и его математическое выражение.

Нейросеть «Алиса AI» от «Яндекс» также оказывает поддержку в создании инфографики, выступая как интеллектуальный ассистент визуализации, – переводит текстовый запрос в структурированную графику, сокращая время на подготовку наглядных дидактических материалов. Например, в ответ на промпт о характеристиках какой-то функции или создании рисунка графика функции, нейросеть либо выполнит задание сама, либо предложит обратиться к соответствующему инструменту. На рис. 2 (а, б) представлены изображения, сгенерированные нейросетью GigaChat и «Алиса AI» по запросу «визуализация гиперболы в реальной жизни».

Для составления практико-ориентированного контекста заданий изучался краеведческий материал, рассматривались цифровые иллюстрации с региональным компонентом. Для создания эмоциональной вовлеченности учащихся анализировались художественная литература, произведения кино- и гейм-индустрии. Апробация методики осуществлялась в ходе опытно-экспериментальной работы; для оценки ее эффективности применялись педагогическое наблюдение, анкетирование обучающихся, диагностическая работа и анализ ее результатов, графическое представление данных.

Результаты исследования / Research results

В соответствии с методической схемой изучения функции были определены дидактические приемы формирования основных понятий и умений функционально-графической линии и соответствующие цифровые инструменты для их реализации.  Определяя суть дидактического приема, мы акцентируем внимание на деятельности обучающихся как на главном механизме усвоения знаний: на том, какие действия они совершают, как взаимодействуют с материалом и какой опыт приобретают в процессе реализации данного приема (см. табл. 1).

Проиллюстрируем особенности выявленных приемов на конкретных примерах.

Пример 1 «Прямая пропорциональность»

Мотивация введения понятия функции. Учащимся предлагаются слайды с иллюстрациями из приключенческого фильма «Путешествие к центру Земли» (см. рис. 3).

Таблица 1

Дидактические приемы формирования основных понятий и умений
функционально-графической линии

Учитель организует диалог через серию вопросов: «На экране кадры одного интересного фантастического фильма, снятого по роману знаменитого французского писателя Жюля Верна. Кто знает, что это за фильм?»; «Какая цель была у главных героев?»; «А возможно ли путешествие к центру Земли?» (прием «Функции в рассказах, кино и книгах»).

Далее учащимся предъявляется текст задачи из учебного пособия М. Ю. Шубы «Занимательные задания в обучении математике» [30]: «Геофизики говорят, что в настоящее время поверхность Луны лучше изучена, чем внутренность Земли. Ими установлено, что каждые 100 м температура в Земле повышается на 3 ⁰С. Пусть t почвы 0 ⁰С. Какова будет температура Земли на глубине 100 м, 200 м, 500 м, 1000 км? Будет ли эта зависимость функцией?» Для ответа на поставленные вопросы семиклассники переходят в программу динамической математики (рис. 4), где выполняют необходимые расчеты в таблице, строят точки с соответствующими координатами и проводят через эти точки прямую – график функции (прием «Функции как модели реальных процессов»).

Определение функции и запись ее в виде формулы. После работы в программе GeoGebra учащимся предлагается задание: «Предположим, что такая зависимость может быть задана формулой: y = kx. Используя точку (100; 3), найдите коэффициент k. Проверьте, будут ли удовлетворять найденному коэффициенту все остальные точки». Результатом выполнения данного задания будет формула y = 0,03x. Учитель сообщает, что найдена формула, выражающая зависимость температуры земли от ее глубины. Функция, задаваемая такой формулой, называется «прямая пропорциональность». Учащимся предъявляется «слайд – яркое пятно» (рис. 5), предлагается записать определение функции, а дома создать карточку памяти в мобильном приложении
AnkiDroid (прием «Карточка памяти Anki»).

 Знакомство с графиком функции, исследование свойств функции. Для изучения свойств функции и особенностей ее графика семиклассники переходят в программу «1С: Математический конструктор» (см. рис. 6), где, изменяя параметр k, наблюдают, как меняется график функции (прием «Цифровой помощник»).

Решение задач с использованием свойств функции. Ученикам предлагается вернуться к задаче о путешествии к центру Земли. Учитель формулирует вопросы для диалога: «Какая информация необходима для ответа на вопрос задачи?» (необходимо знать температуру в центре Земли); «Чтобы воспользоваться найденной формулой зависимости температуры от глубины, что нужно знать?» (радиус Земли); «Радиус Земли равен 6371 км. Найдите температуру в центре Земли» (191130 ⁰С). Дома учащиеся осуществляют поиск информации о том, какую температуру выдерживают самые жаростойкие материалы, и делают соответствующие выводы. Пример выполнения домашнего задания представлен на рис. 7.

Пример 2 «Обратная пропорциональность»

В данном примере ограничимся иллюстрацией этапа мотивации введения функции. На этом этапе может звучать рассказ учителя на основе приема «Функции в рассказах, кино и играх»: «В знаменитом романе Алексея Толстого “Гиперболоид инженера Гарина” главный герой создает устройство, способное концентрировать энергию в узкий тепловой луч огромной мощности. С помощью такого луча можно разрушать любые преграды, плавить металлы и пробивать скальные породы. Название созданного механизма – “гиперболоид” – не случайно, так как в его основе лежит поверхность, напоминающая гиперболу. Сегодня мы познакомимся с функцией, графиком которой является гипербола». Рассказ учителя сопровождается иллюстрацией фантастического гиперболоида, сгенерированной нейросетью (рис. 8).

Далее учащимся предлагается практико-ориентированная задача, где обратная пропорциональность описывает зависимость времени от скорости: «Представьте, что вы едете на велосипеде. Вам необходимо преодолеть расстояние в 20 км. За какое время вы преодолеете это расстояние, если будете двигаться со скоростью 5 км/ч, 10 км/ч, 20 км/ч? Будет ли эта зависимость функцией?» (прием «Функции как модели реальных процессов»).

Пример 3 «Квадратичная функция»

В данном примере акцентируем внимание на этапе решения задач с использованием свойств функции. Отметим, что рассматриваемый этап включает следующую систему заданий: распознавание функции по ее графику и наоборот (например, установить соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают); задания на «чтение» графиков функций и их свойств (промежутки знакопостоянства, возрастания, убывания функции и т. д.); построение графиков элементарных функций, в том числе с помощью геометрических преобразований; построение графиков функций, формула которых требует предварительных алгебраических преобразований; задания с параметром; практико-ориентированные задания, в том числе задания с региональным компонентом.

Особый интерес представляют задания с региональным компонентом как эффективное средство мотивации, развития метапредметных умений и креативности. Представим пример такого задания на краеведческом материале Кемеровской области – Кузбасса.

Задание «Графики вокруг нас». Одно из самых красивых мест Новокузнецка – Театральная площадь около городского драматического театра. Главное украшение этой площади – огромный фонтан в виде чаши, иногда называемой новокузнечанами «чашей Грааля». Некоторые горожане верят, что если заглянуть в фонтан и увидеть отражение своего лица, то не будешь плакать целый год. Этот фонтан представлен на рис. 9.

1) Определите, график какой базовой функции напоминает линия фонтана.

2) В программе динамической математики постройте «график-линию фонтана» из базового с помощью преобразований.

3) Запишите формулу функции, график которой вы построили.

4) Вспомните и назовите объекты городского ландшафта, очертания которых напоминают график данной функции.

5) Дома в программе GeoGebra создайте аналогичное задание; ссылку для выполнения отправьте своему другу/соседу по парте.

Школьники проходят по ссылке, созданной учителем, и работают с изображением в программе GeoGebra; определяют базовую функцию ; отмечают вершину параболы (точка С(-2; -4)) и, сдвигая график базовой функции на две единицы влево и на четыре единицы вниз, строят график искомой функции  (см. рис. 9).

Творческая составляющая деятельности учащихся включает самостоятельное составление аналогичного задания в программе динамической математики, после чего происходит взаимообмен заданиями учениками класса.

Апробация авторского подхода осуществлялась в процессе опытно-экспериментальной работы в седьмом (26 человек), восьмом (25 человек) и девятом (27 человек) классах на базе лицея г. Новокузнецка Кемеровской области – Кузбасса.

Оценка эффективности методики осуществлялась по нескольким направлениям: 1) анализ изменения мотивации к изучению функционально-графической линии; 2) анализ достижения предметных результатов по теме «Функция»; 3) оценка умения решать математические задачи с элементами исследования по указанной дидактической теме; 4) оценка умения решать нестандартные математические задачи с помощью функций.

Для реализации первого направления ученикам 7–9-х классов была предложена анкета, позволяющая оценить эмоциональную вовлеченность учащихся в процесс изучения функций, привлекательность решаемых заданий, понимание учащимися роли и значимости функций в реальном мире и других смежных науках, готовность к дальнейшему изучению функционально-графической линии. Вопросы анкеты представлены в табл. 2.

Таблица 2

Анкета для обучающихся

Анализ ответов на вопросы анкеты позволил установить следующие результаты. Все учащиеся отметили позитивные эмоции при решении задач с региональным компонентом и согласились с тем, что визуализация (картинки и слайды) помогают при изучении функций. Также 100% учеников согласны с тем, что «математические функции описывают реальные процессы и нужны в других науках». Большинству учащихся (99%) было интересно изучать функции на уроках математики; 95% учеников убеждены, что «математические функции являются ключом к пониманию нашей реальности». Более половины учеников сказали, что задачи по теме «Функция» сложные, но интересные (86%), а графики функций можно увидеть в окружающих объектах (83%). Работать в программах динамической математики понравилось 88% учащимся; 67% опрашиваемых школьников выразили готовность к дальнейшему открытию и изучению новых функций. Однако для 32% учеников тема оказалась очень сложной. К сожалению, три ученика находились в напряжении при выполнении заданий о функциях из-за неуверенности в правильности решения.

Результаты анкетирования представлены на диаграмме (см. рис. 10).

Для реализации второго, третьего и четвертого направлений мониторинга авторского подхода учащимся предлагались диагностические работы, в которых первые два задания проверяют предметные умения, третье задание – практико-ориентированной направленности и нацелено на проверку умения выражать формулами зависимости между величинами. Четвертое задание диагностической работы представлено математической задачей с элементами исследования, аналогичной исследовательским задачам в действующих учебниках алгебры под редакцией С. А. Теляковского [31]. При выполнении этого задания учащиеся могут обращаться к программам динамической математики. Пятое задание требует нестандартного подхода к решению, поиска неизвестного алгоритма, построения математической модели заданной ситуации. Для составления этого задания мы использовали задачи из учебного пособия Ф. Ф. Нагибина и Е. С. Канина [32]. Пример диагностической работы для 7-го класса представлен на рис. 11.

Анализ результатов диагностических работ показал, что в седьмом классе успешно справились с первыми тремя заданиями 96% учащихся, в восьмом классе – 96%, в девятом – 96%. К решению четвертой задачи приступил 81% семиклассников, получили верный ответ – 77%; в восьмом классе аналогичные показатели – 88% и 80%, в девятом – 85% и 78%. Во всех классах более половины учащихся применили при решении мобильное приложение GeoGebra. Пятое задание мы отнесли к высокому уровню сложности, при выполнении которого от учеников требуется проявление математической креативности. В седьмом классе продемонстрировали верное решение 23%, в восьмом – 20%, в девятом – 26%.

Исходя из полученных результатов мы делаем вывод о повышении мотивации обучающихся к изучению функций, эффективности формирования предметных результатов, развития исследовательских умений и математической креативности в области функционально-графической линии.

Заключение / Conclusion

Функционально-графическая линия является одной из основных линий содержания программы по математике и имеет фундаментальное значение. Результаты различных диагностических работ, а также анализ статистических данных, представленный в отечественных и зарубежных исследованиях, свидетельствуют о недостаточной сформированности системы знаний и умений обучающихся в области математических функций. Это актуализирует методический поиск эффективного дидактического инструментария для формирования понятия функции как математической модели явлений окружающего мира и овладения школьниками всем спектром умений функционально-графической линии; при этом такой инструментарий может быть существенно обогащен возможностями цифровой среды.

Формирование основных понятий и умений функционально-графической линии базируется на единстве компонентов математической подготовки: предметные и метапредметные результаты, математическая грамотность, математическая креативность. В соответствии с методической схемой изучения функции в основной школе, с опорой на эвристический подход определены дидактические приемы формирования основных понятий и умений функционально-графической линии и цифровые инструменты их реализации: «Графики вокруг нас», «Функции в рассказах, кино и играх», «Функции как модели реальных процессов»,  «Карточка памяти Anki», «Слайд – яркое пятно», «Цифровой помощник», «Интерактивные задания». К цифровым инструментам реализации приемов мы отнесли изображения, сгенерированные нейросетью; цифровые фотографии реальных объектов; слайды и видеоролики; программы динамической математики; презентации; приложение AnkiDroid; цифровые образовательные платформы с готовыми заданиями; платформы для создания интерактивных упражнений. Особенности выявленных приемов проиллюстрированы на конкретных примерах.

Для проверки эффективности методики в 7–9-х классах проводилось анкетирование и диагностические работы. Вопросы анкеты позволяли оценить эмоциональную вовлеченность учащихся в процесс изучения функций, привлекательность решаемых заданий, понимание учащимися роли и значимости функций в реальном мире и других смежных науках, готовность к дальнейшему изучению функционально-графической линии.  На основе диагностических работ был проведен анализ достижения предметных результатов по теме «Функция»; оценены умения решать математические задачи с элементами исследования, а также нестандартные математические задачи по указанной дидактической теме. Полученные результаты позволили сделать вывод о повышении мотивации учеников основной школы к изучению функций, эффективности формирования предметных результатов, развития исследовательских умений и математической креативности в области функционально-графической линии.

Дальнейшие исследования проблемы лежат в области расширения дидактических приемов на другие содержательные линии школьного курса математики с использованием потенциала цифровой среды.