Приёмы работы в малых группах при обучении школьников математике на этапе подготовки к итоговой аттестации
М.
О. РябковаБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Рябкова
М.
О. Приёмы работы в малых группах при обучении школьников математике на этапе подготовки к итоговой аттестации // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2011. – 4 квартал 2011. – С.
16–20. – URL:
http://e-koncept.ru/2011/11404.htm.
Аннотация. В статье предлагаются варианты использования различных приемов работы с учащимися в малых группах, использованные автором при подготовке их к итоговой аттестации по математике. В статье приведены примеры отбора содержания для осуществления такой деятельности.
Текст статьи
Рябкова Мария Олеговна,магистр физикоматематического образования, г. Кировmaharm@yandex.ru
Приёмыработы в малых группах при обучении школьников математике
на этапе подготовки к итоговой аттестации
Аннотация.Встатьепредлагаютсяварианты использования различных приемов работы с учащимися в малых группах, использованные авторомпри подготовке их к итоговой аттестациипо математике. В статье приведены примеры отбора содержания для осуществления такой деятельности.Ключевые слова:групповая работа, малые группы, обучение математике, подготовка к ЕГЭ.
В настоящее время в России актуален вопрос модернизации системы образования. Перед государством стоит проблемаулучшения содержания и качества образования, обусловленнаяпотребностями современного общества, которые были вызваны политическими, экономическими и социальными изменениями. Немаловажную роль здесь играет и вхождение России в мировое образовательное пространство. Приоритетом нового этапа развития образования является направленность на развитие личности школьника, раскрытие её потенциалов и становление самостоятельности. Важнейшим элементом педагогического процесса становится личностноориентированное взаимодействие педагога и учащихся. Наметился переход от обучения, где ведущая роль принадлежит учителю, а ученик лишь должен запомнить и должным образом воспроизвести учебный материал, к учению, превращающему школьника в субъект образовательного процесса. Современной альтернативой традиционной классноурочной системе является система личностноориентированного обучения. Данная система позволяет формировать важное качество человека быть субъектом, творцом своего жизненного пути; учит школьников инициативно и ответственно осуществлять все виды деятельности.Таким образом, перемены не могли не коснуться и среднего образования. Одной из целей стало получение выпускниками фундаментальных знаний и приобретение ими культуры мышления, необходимых для успешной сдачи итоговых экзаменов и возможности продолжать образование в высшем учебном заведении. Достижение этой цели возможно при системной дифференцированной подготовке учащихся к экзаменам. Каждый учебный предмет имеет свои особенности, но особое внимание необходимо уделять подготовке к экзамену по математике. Данный экзамен является обязательным для всех выпускников, и, как правило, при подготовке к нему учителя ограничиваются решением с учениками большого числа заданий, не учитывая личных возможностей каждого ученика.Важно принять во внимание то, что со слабыми» учениками необходима дополнительная подготовка к экзамену по математике с использованием особых приёмов. В этом случае целесообразно практиковатьобучение школьников в малых группах.Такой технологический приёмнаиболее легко вписывается в учебный процесс в условиях существующей классноурочной системы занятий, может не изменятьсодержания обучения, которое определено образовательным стандартом для базового уровня. Онпозволяет, интегрируясь в реальный учебновоспитательный процесс, достигать поставленных целей по каждому учебному предмету другими, альтернативными традиционным, методами. Также обучение в малых группах не только обеспечивает успешное усвоение учебного материала всеми учениками, но и способствует интеллектуальному развитию учащихся, их самостоятельности, доброжелательности по отношению к учителю и друг к другу [1].В настоящее время существует довольно много определений малой группы. Психологический словарь дает следующее определение: Малая группаотносительно немногочисленная общность людей, находящихся между собой в непосредственном личном общении и взаимодействии» [2]. Б. Д. Парыгин определяет группу как немногочисленную общность людей, которые находятся друг с другом в самом непосредственномлицом к лицу психологическом контакте» [3]. Ян Щепаньский представляет следующее определение малой группы: Малая группа определенное число лиц не меньше трех, связанных системой отношений, регулируемых ценностями и отделенных от других общностей определенным принципом обособления» [4].Итак, можно выделить ключевые признаки малой группы ее немногочисленность и контактность. Мы понимаемпод малой группой часть одного ученического коллектива, организованную на некоторое ограниченное время от части урока до нескольких блоков уроков для осуществления какойлибо совместной учебной деятельности.При обучении в малых группах возможны три типа взаимодействия учащихся в школе: индивидуальная работа, соперничество и сотрудничество. Все эти виды групповой работы должны использоваться в учебном процессе на равных правах, но наиболее эффективным является обучение в сотрудничестве.Существуют несколько разновидностей приёмовобучения в малых группах, отличающихся постановкой учебных задач и организационными формами.1. Student Team Learning (STL, обучениевкоманде).Этот приёмуделяет особое внимание групповым целям» и успеху всей группы, которые могут быть достигнуты только в результате самостоятельной работы каждого члена группы команды в постоянном взаимодействии с другими членами этой же группы при работе над темой, проблемой или вопросом, подлежащими изучению. Таким образом, задача каждого учащегося состоит не только в том, чтобы сделать чтотовместе, а в том, чтобы каждый участник команды овладел необходимыми знаниями, сформировал нужные навыки, и при этом вся команда знала, чего достиг каждый. Вся группа заинтересована в усвоении учебной информации каждым ее членом, поскольку успех команды зависит от вклада каждого, совместного решения поставленной перед ними проблемы. ПриёмSTL сводится к трем основным принципам:награды» их команды или группы получают в виде сертификата, диплома и других видов оценки их совместной деятельности, если они превзойдут установленный для них критерий. Группы не соревнуются друг с другом, так как все команды имеют разную планку» и время на ее достижение;индивидуальная» персональная ответственность каждого ученика означает, что успех или неуспех всей группы зависит от удач или неудач каждого ее члена. Это стимулирует всех членов команды следить за успехами друг друга и всей командой приходить на помощь своему товарищу в усвоении, понимании материала так, чтобы каждый чувствовал себя экспертом по данной проблеме;равные возможности для достижения успеха означают, что каждый учащийся приносит очки своей группе, которые он зарабатывает путем улучшения своих собственных предыдущих результатов. Сравнение, таким образом, проводится не с результатами других учеников этой или других групп, а с собственными, ранее достигнутыми результатами. Это дает продвинутым, средним и отстающим ученикам равные возможности в получении очков для своей команды, так как, стараясь изо всех сил улучшить результаты предыдущего опроса, зачета, экзамена и улучшая их, и средний, и слабый ученики могут принести своей команде равное количество баллов, что как показали исследования в J. Hokins University, R. Slvin позволяет им чувствовать себя полноправными членами команды и стимулирует желание поднять выше свою персональную планку» [5].Пример.Тема занятия Многоугольники» группа из шести человек.Перед учащимися ставится цель знать основные формулы площадей многоугольников, соотношения, справедливые для разных видов треугольников, и научиться применять данные формулы на практике. Учащиеся делятся на две команды, равные по силам. Каждый участник получает бланк с заданиями. За каждое верно выполненное задание 14 ученик может получить один балл, за задания 57 2 балла, за задание 8 3 балла, таким образом вся команда может заработать 39 баллов. Команда, набравшая наибольшее количество баллов, получает диплом победителя. Также оценивается и работа каждого ученика. Учащиеся, набравшие не менее 8 баллов, получают похвальный отзыв.
1. В параллелограммеABCDАВ= 16, AD= 7, BD 21. Найдите АС.1) 14
2) 13
3) 12
4) 112. Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами 20, 20, 32.1) 38,4
2) 19,2
3) 24,6
4) 32,43. Найдите площадь треугольника АВСрис.1, если АС= 7, ВС= 8,DCB=60°.1)
2) 14
3) 4) 4. В треугольнике MNPрис. 2 ММ1, PP1
медианы, MM1=, PP1=6, MOP=150°. Найдите MP.1)
2)14
3) 13 4) 5. Отрезки KPи MHимеют равные длины и пересекаются в точке Oтак, чтоKH||MP, OH= 4, OM= 5. Найдите отношение периметров треугольников OKMи OHP.6. В параллелограмме ABCDбиссектрисы углов Bи Cпересекают сторону ADв точках Lи Kсоответственно. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, чтоBL=5, CK=12, AB:AD=2:3.
7. В трапеции ABCDс основаниями АВи CDдиагонали ACи BDравны 12 и 10 соответственно. Найдите площадь трапеции, еслиCABв два раза меньшеABD.8. Точка Oявляется центром правильного восьмиугольникаA1A2…A8, площадь треугольника A1A3A5равна 9. Точка Bвыбрана таким образом, что треугольникA1A7Bравновелик треугольнику A2OA5. Найдите высоту треугольника A1A7B, проведенную из вершины B.
2. 12все».Каждый член группы работает над подготовкой материала самостоятельно. Члены группы обсуждают свои результаты и готовят вариант материала в парах. Пары представляют свои материалы на обсуждение группы. Группа готовит итоговый вариант материала [6].Пример.Тема занятия Геометрическая прогрессия».В начале занятия учащимся предлагается вспомнить основные формулы, необходимые для решения задач по теме Геометрическая прогрессия».Затем каждый учащийся получает карточку с перечнем заданий[7].
1. Найдите шестой член геометрической прогрессии 96; 48…1)3
2) 3
3) 6
4) 62. В геометрической прогрессии(bn) b2= 6, b4= 4. Найдитеb6.1)4/3
2)4/3
3) 8/3
4) 8/3Рис. 2ABCDРис. 1PMM1NP1OВ геометрической прогрессии(bn), bn�0известно, чтоS6= 63, q=0,5. Найдите b1.1) 96
2) 96
3) 48
4) 484. Числаb1, b2, b3, b4составляют геометрическую прогрессию, причемb1∙b4=24, b23+b33=288.Найдите
b1+b4.1) 8
2) 10
3) 11
4) 125. Вычеркнули каждый второй член геометрической прогрессии, начиная с четвертого, и получили19/18исходной суммы. Найти знаменатель прогрессии.6. В конечной геометрической прогрессии 9 членов. Сумма первых трех равна 192, сумма следующих трех равна 24. Найдите сумму первых девяти членов этой прогрессии.7. В геометрической прогрессии с четным числом членов сумма всех ее членов в 5 раз больше суммы членов с четными номерами. Найдите знаменатель прогрессии.8. Школьники рисовали на доске по очереди отрезки. Каждый следующий рисовал в два раза меньше новых отрезков, чем предыдущий. Сколько детей рисовало отрезки, если в конце на доске оказалось нарисовано 2667 отрезков, а третий по очереди школьник нарисовал 336 отрезков?
В течение 2025 минут ученики работают самостоятельно. Далее минут 57 члены группы обсуждают свои результаты в парах, при этом корректируют решение, если это необходимо. После этого пары представляют свои материалы остальным членам группы на обсуждение.3. Обсуждение по кругу.Члены группы решают задания у доски в заранее установленном порядке например, по часовой стрелке.Пример.Тема занятия Периодичность, четность и нечетность функций».Учащиеся получают бланки с заданиями и решают их в заранее установленном порядке по усмотрению учителя. Выполнение задания осуществляется не одним учеником, а обсуждается всеми учащимися.
1. На одном из рисунков изображен график четной функции. Укажите этот рисунок.1)
2)
3)
4)
2. Укажите график периодической функции.3. Приx≥0задана функцияf(x)= x23x. Какой формулой нужно доопределить функцию f(x)
приx0, чтобы полученная функция была нечетной?4. Найдите период функцииy=|cosx|(в градусах.
xy0111)2)3)4)xy011xy011xy011Нечетная функцияy=f(x)определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения переменной значение этой функции совпадает со значением функцииg(x)=x(2x+1)(x2)(x3). Сколько корней имеет уравнениеf(x)=0?6. Нечетная периодическая функция с периодом 9 определена на всей числовой прямой. Найдитеf(22)∙f(0):f(4)+f(15), еслиf(3)=11.7. Функция f(x)определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4 и на промежутке[2;0]задана формулой f(x)=2x(x+2). Решите уравнение.8. Приx3задана функция . Какой формулой можно доопределить функцию f(x)приx�3, если известно, что график полученной функции симметричен относительно точкиM(3; 2)?
4. Трехшаговое интервью».Группа разбивается на пары в группе из трех человек двое интервьюируют третьего. Работа в парах: один школьник интервьюирует другого; второй школьник интервьюирует первого меняются. Группа собирается вместе: все члены группы выступают поочередно.Пример. Тема занятия Касательные».Учащиеся разбиваются на пары, и каждая пара получает по два задания все задания в парах различны. Первый ученик объясняет решение своего задания второму ученику, затем второй ученик объясняет решение своего задания первому меняются.
1. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функцииy= 3/xв точке с абсциссойx0= 3.2. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции наклонена к оси Oxпод углом , еслиf(x)=1/8∙x2+2, tg=0,5.Найдите угловой коэффициент касательной к кривойy=2x2+xв точке с абсциссойx0=2.3. На рис. 3изображены график функцииy=f(x)и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0.4. При каких значениях параметра прямая
y=2x+bкасается графика функцииy=2x3+3x2 10x+ 1?5. Найдите касательную к кривойy=x27x+ 3, параллельно прямой5x+y3=0.6. Найдите общую касательную к кривым y=x22x+2и y= x22x.7. Докажите, что треугольник, образуемый касательной к гиперболеy=1/xи осями координат, имеет постоянную площадь.
После выполнения заданий группы собираются вместе,и каждый учащийся представляет решение задания своего напарника.5. Номера».Учитель устанавливает порядок нумерации учащихся в группе. Каждый школьник в группе получает номер как вариант этикетку определенного цвета. Учитель дает задание группам, предлагает каждой группе сцепить поднятые руки вместе в знак того, что задание выполнено. Группы работают и по завершении работы подают установленный сигнал. Учитель объявляет номер, и только один ученик от каждой группы отвечает на поставленный вопрос. Учитель выслушивает ответы учеников. Номера, которые назначаются членам группы, можно заменить цветами спектра. Этот вариант структуры часто называют Цвета».3y = f (x)0xx1213123467y1
5705Рис. 3Пример. Тема занятия Простейшие тригонометрические уравненияи уравнения, приводящиеся к квадратным».В начале урока учащимся предлагается вспомнить формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, основные тригонометрические тождества и формулыдвойного аргумента.Затем каждый учащийся группы получает номер и бланк с заданиями[8].
1. Решите уравнение .
1) 2) 3)
4) 2. Решите уравнение .1) 2) 3) 4) 3. Решите уравнение .1) 2) 3) 4) 4. Найдите решение уравнения .1)
2) 3) 4) 5. При каких значениях xзначение функции равно 0?1)
2)
3)
4) 6. Определите количество корней уравнения , принадлежащих интервалу .7. Вычислите величину , где х0наименьший положительный корень уравнения.8. Решите уравнение .9. Решите уравнение , 2700x3600.10. Решите уравнение.
При выполнении первых пяти заданий каждый ученик поднимает руку вверх. При выполнении пяти заданий большинством учеников начинается проверка. Учитель объявляет номер, и ученик с данным номером называетполучившийся ответ. Решения заданий, вызвавшие затруднения, рассматриваются у доски. Затем работа продолжается по схеме: учащиеся самостоятельно решают оставшиеся задания, но руки поднимают по выполнении каждого задания, после чего следует проверка.6. Аквариум».Учащиеся разбиваются на группы по шесть человек. Для работы в группе определяются три роли. Группа делится натри пары. Члены каждой пары берут на себя исполнение одной из ролей дублеры. В каждой паре назначаются выбираются первый и второй исполнители выбранной назначенной роли. Оборудуется место для работы исполнителей трех ролей смена. Первая смена исполнителей три человека располагается у стола, вторая садится сзади каждый дублер садится за спиной своего напарника. Учитель устанавливает продолжительность работы смены 24 минуты и дает сигнал к началу работы. Участники первой смены работают, второй только наблюдают любое вмешательство наблюдателей в работу запрещено. По истечении установленного времени исполнители меняются местами пересаживаются. Теперь второй исполнитель работает, а первый наблюдает. Дублеры начинают работу с того места, где ее прервал сигнал о смене участников работы. По сигналу учителя смена повторяется несколько раз. По схеме Аквариум» возможна организация работы в группах по четыре человека. В этом случае учащиеся проводят обсуждение не по три человека, а парами [9].Пример. Тема занятия Показательные и логарифмические уравнения».Урок начинается с повторения теоретического материала: правила действия со степенями и свойства логарифмов, основные методы решения показательных и логарифмических уравнений.Затем учащиеся делятся на пары, и каждый ученик получает роль исполнителя или дублера. Исполнители садятся в ряд, дублеры садятся за спинами своих напарников. Парам выдается бланк с заданиями, на выполнение которых отводится 30минут. По сигналу учителя исполнители начинают решать задания, по истечении 3 минут участники меняются местами, и к работе приступают дублеры начиная с того места, где остановились их напарники. Смена участников происходит каждые 3минуты, по окончании отведенного времени работа останавливается. Затем учащиеся сверяют получившиеся ответы, а решения заданий, которые вызвали затруднения и их не успели решить, рассматриваются у доски[10].
1. Решите уравнение34x=27.2. Решите уравнениеlog4(2x1)=log4(3x3).3. Решите уравнение .4. Пусть х0наименьший корень уравнения
. Найдите3x0+2.5. Найдите значение х, при котором суммачисел2x+2и2x1+2равна числу2x+ 1 4.6. Найдите меньший из корней уравнения .7. Решите уравнение .8. Определите абсциссу общей точки графика функции
и прямой .9. Найдите корни уравнения .10. Решите уравнение .11. Решите уравнение .12. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
и .
7. Мозаика».Это универсальная структура взаимодействия, которая основана на идее разделения работы между исполнителями с последующей сборкой результатов. Ее можно с успехом использовать, например, для организации работы внутри группы. При этом:каждый член группы разрабатывает свой раздел материалов работает над ним самостоятельно, с участием других членов группы или других групп;подготовленный материал представляется партнерам, изучается иили используется совместно [11].Пример.Тема занятия Производная функции. Экстремумы функции.Наибольшее и наименьшее значения функции».В начале урока учащимся предлагается вспомнить основные теоретические аспекты по данной теме, а именно методы решения иррациональных уравнений. Далее учитель выдает каждому учащемуся одно из заданий, которое ему необходимо выполнить самостоятельно.
1. Найдите производную функцииy= 3,6x2cosx.2. Найдите значение производной функцииy= x2exв точкеx0= 1.3. Тело движется по координатной прямой согласно законуx(t)=0,25t2+5t7, где х(t) координата тела в момент времени t. Найдите его скорость при t=3.4. Зависимость пути Sот времени движения tвыражается формулойS(t)=0,5gt2. Назовите формулу ускорения.5. Найдите стационарные точки функции .6. Найдите точки минимума функции
.7. Найдите среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значений функции y=lg3(x+1)lg(x+1) 2на отрезке [0; 9].8. Найдите наименьшее значение функцииy=3 ∙2x23x+ 4на отрезке [0;1].
После того как каждый ученик справился со своим заданием, учащиеся по очереди представляют друг другу полученное решение, которое совместно проверяется и, если задание выполнено верно, записывается в тетрадь [12].
Индивидуальная самостоятельная работа при организации учебной деятельности по методу малых групп становится как быисходной, элементарной частицей коллективной самостоятельной работы. Следует отметить, что недостаточно сформировать группы и дать им соответствующее задание. Суть как раз и состоит в том, чтобы учащийся захотел сам конструировать свои знания.Применение данныхприемовна занятияхс использованием специально созданного для них пособия [13]показало, что подготовка учащихся в малых группах к экзамену по математике за курс средней полной школы положительно влияет на уровень качества знаний учеников, так как обучение в малых группах способствует индивидуальному развитию школьников.
Ссылки на источники1.Подгорная И. И. Уроки математики: учебное пособие для поступающих в вузы. М.: Московский лицей, 2006. 692 с.2.Психология: словарь / под общ. ред. А. В. Петровского, М.Г.Ярошевского. 2е изд., испр. и доп. М.: Политиздат, 1990. С. 85.3.Парыгин Б. Д. Социальная психология: учеб. пособие для вузов по спец. психологии. СПб.: СПбГУП, 2003. С. 257.4.Щепаньский Я. Ю. Элементарные понятия социологии / под общ. ред. А. М. Румянцева. М.: Прогресс, 1969. С. 118.5.Полат Е. С., Бухаркина М. Ю., Моисеева М.В., Петров А. Е. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: учеб. пособие для студ. пед. вузов и системы повыш. квалиф. пед. кадров / под ред. Е. С. Полат. М.: Издательский центр Академия», 1999. 224 с.6.Учитель и ученик: возможность диалога и понимания: в 2 т. / под ред. Л. И. Семиной. М.: Издво Бонфи», 2002. Т. 2. 408 с.7.Задания 18 взяты из сборников: Кочагин В.В., Кочагина М. Н. ЕГЭ2007. Математика: тематические тренировочные задания. М.: Эксмо, 2007. 136 с.; / Математика. Подготовка к ЕГЭ2009. Вступительные испытания / под ред. Ф.Ф.Лысенко. Ростов н/Д: Легион, 2008. 400 с.; Подгорная И. И. Уроки математики.8.Задания 110 взяты из сборников: Математика. Подготовка к ЕГЭ2009. Тематические тесты 1011 класс Ч. 1 / под ред. Ф. Ф. Лысенко. Ростов н/Д: Легион, 2008. 256 с.; Подгорная И. И. Уроки математики.Учитель и ученик: возможность диалога и понимания.10.Задания 112 взяты из сборников под ред. Ф.Ф.Лысенко: Математика. Подготовка к ЕГЭ2009. Тематические тесты 1011 класс; Математика. Подготовка к ЕГЭ2009. Вступительные испытания.11.Учитель и ученик: возможность диалога и понимания.12.Денищева Л. О. и др. ЕГЭ2009. Математика: сборник экзаменационных заданий. М.: Эксмо, 2009. 288 с.13.Горев П. М., Рябкова М. О. Математика. Курс подготовки к ЕГЭ: задания первой части задачи типа В Единого государственного экзамена: учебное пособие. Киров: Издво ВятГГУ, 2011. 118 с.
RyabkovаMariya,Master of Physics and Mathematics Education, Kirovmaharm@yandex.ruTechniques for working in small groups for teaching students mathematics in preparation for final assessmentAbstract. The article proposes the useof different options at work with students in small groups used by the author in the preparation of them for the final certification in mathematics. The article gives examples of content selection for such activities.Keywords: group work, small groups, teaching mathematics, the preparation for exam.
Рецензент: Горев Павел Михайлович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике ВятГГУ, главный редактор журнала Концепт»
Приёмыработы в малых группах при обучении школьников математике
на этапе подготовки к итоговой аттестации
Аннотация.Встатьепредлагаютсяварианты использования различных приемов работы с учащимися в малых группах, использованные авторомпри подготовке их к итоговой аттестациипо математике. В статье приведены примеры отбора содержания для осуществления такой деятельности.Ключевые слова:групповая работа, малые группы, обучение математике, подготовка к ЕГЭ.
В настоящее время в России актуален вопрос модернизации системы образования. Перед государством стоит проблемаулучшения содержания и качества образования, обусловленнаяпотребностями современного общества, которые были вызваны политическими, экономическими и социальными изменениями. Немаловажную роль здесь играет и вхождение России в мировое образовательное пространство. Приоритетом нового этапа развития образования является направленность на развитие личности школьника, раскрытие её потенциалов и становление самостоятельности. Важнейшим элементом педагогического процесса становится личностноориентированное взаимодействие педагога и учащихся. Наметился переход от обучения, где ведущая роль принадлежит учителю, а ученик лишь должен запомнить и должным образом воспроизвести учебный материал, к учению, превращающему школьника в субъект образовательного процесса. Современной альтернативой традиционной классноурочной системе является система личностноориентированного обучения. Данная система позволяет формировать важное качество человека быть субъектом, творцом своего жизненного пути; учит школьников инициативно и ответственно осуществлять все виды деятельности.Таким образом, перемены не могли не коснуться и среднего образования. Одной из целей стало получение выпускниками фундаментальных знаний и приобретение ими культуры мышления, необходимых для успешной сдачи итоговых экзаменов и возможности продолжать образование в высшем учебном заведении. Достижение этой цели возможно при системной дифференцированной подготовке учащихся к экзаменам. Каждый учебный предмет имеет свои особенности, но особое внимание необходимо уделять подготовке к экзамену по математике. Данный экзамен является обязательным для всех выпускников, и, как правило, при подготовке к нему учителя ограничиваются решением с учениками большого числа заданий, не учитывая личных возможностей каждого ученика.Важно принять во внимание то, что со слабыми» учениками необходима дополнительная подготовка к экзамену по математике с использованием особых приёмов. В этом случае целесообразно практиковатьобучение школьников в малых группах.Такой технологический приёмнаиболее легко вписывается в учебный процесс в условиях существующей классноурочной системы занятий, может не изменятьсодержания обучения, которое определено образовательным стандартом для базового уровня. Онпозволяет, интегрируясь в реальный учебновоспитательный процесс, достигать поставленных целей по каждому учебному предмету другими, альтернативными традиционным, методами. Также обучение в малых группах не только обеспечивает успешное усвоение учебного материала всеми учениками, но и способствует интеллектуальному развитию учащихся, их самостоятельности, доброжелательности по отношению к учителю и друг к другу [1].В настоящее время существует довольно много определений малой группы. Психологический словарь дает следующее определение: Малая группаотносительно немногочисленная общность людей, находящихся между собой в непосредственном личном общении и взаимодействии» [2]. Б. Д. Парыгин определяет группу как немногочисленную общность людей, которые находятся друг с другом в самом непосредственномлицом к лицу психологическом контакте» [3]. Ян Щепаньский представляет следующее определение малой группы: Малая группа определенное число лиц не меньше трех, связанных системой отношений, регулируемых ценностями и отделенных от других общностей определенным принципом обособления» [4].Итак, можно выделить ключевые признаки малой группы ее немногочисленность и контактность. Мы понимаемпод малой группой часть одного ученического коллектива, организованную на некоторое ограниченное время от части урока до нескольких блоков уроков для осуществления какойлибо совместной учебной деятельности.При обучении в малых группах возможны три типа взаимодействия учащихся в школе: индивидуальная работа, соперничество и сотрудничество. Все эти виды групповой работы должны использоваться в учебном процессе на равных правах, но наиболее эффективным является обучение в сотрудничестве.Существуют несколько разновидностей приёмовобучения в малых группах, отличающихся постановкой учебных задач и организационными формами.1. Student Team Learning (STL, обучениевкоманде).Этот приёмуделяет особое внимание групповым целям» и успеху всей группы, которые могут быть достигнуты только в результате самостоятельной работы каждого члена группы команды в постоянном взаимодействии с другими членами этой же группы при работе над темой, проблемой или вопросом, подлежащими изучению. Таким образом, задача каждого учащегося состоит не только в том, чтобы сделать чтотовместе, а в том, чтобы каждый участник команды овладел необходимыми знаниями, сформировал нужные навыки, и при этом вся команда знала, чего достиг каждый. Вся группа заинтересована в усвоении учебной информации каждым ее членом, поскольку успех команды зависит от вклада каждого, совместного решения поставленной перед ними проблемы. ПриёмSTL сводится к трем основным принципам:награды» их команды или группы получают в виде сертификата, диплома и других видов оценки их совместной деятельности, если они превзойдут установленный для них критерий. Группы не соревнуются друг с другом, так как все команды имеют разную планку» и время на ее достижение;индивидуальная» персональная ответственность каждого ученика означает, что успех или неуспех всей группы зависит от удач или неудач каждого ее члена. Это стимулирует всех членов команды следить за успехами друг друга и всей командой приходить на помощь своему товарищу в усвоении, понимании материала так, чтобы каждый чувствовал себя экспертом по данной проблеме;равные возможности для достижения успеха означают, что каждый учащийся приносит очки своей группе, которые он зарабатывает путем улучшения своих собственных предыдущих результатов. Сравнение, таким образом, проводится не с результатами других учеников этой или других групп, а с собственными, ранее достигнутыми результатами. Это дает продвинутым, средним и отстающим ученикам равные возможности в получении очков для своей команды, так как, стараясь изо всех сил улучшить результаты предыдущего опроса, зачета, экзамена и улучшая их, и средний, и слабый ученики могут принести своей команде равное количество баллов, что как показали исследования в J. Hokins University, R. Slvin позволяет им чувствовать себя полноправными членами команды и стимулирует желание поднять выше свою персональную планку» [5].Пример.Тема занятия Многоугольники» группа из шести человек.Перед учащимися ставится цель знать основные формулы площадей многоугольников, соотношения, справедливые для разных видов треугольников, и научиться применять данные формулы на практике. Учащиеся делятся на две команды, равные по силам. Каждый участник получает бланк с заданиями. За каждое верно выполненное задание 14 ученик может получить один балл, за задания 57 2 балла, за задание 8 3 балла, таким образом вся команда может заработать 39 баллов. Команда, набравшая наибольшее количество баллов, получает диплом победителя. Также оценивается и работа каждого ученика. Учащиеся, набравшие не менее 8 баллов, получают похвальный отзыв.
1. В параллелограммеABCDАВ= 16, AD= 7, BD 21. Найдите АС.1) 14
2) 13
3) 12
4) 112. Найдите длину высоты, проведенной к боковой стороне равнобедренного треугольника со сторонами 20, 20, 32.1) 38,4
2) 19,2
3) 24,6
4) 32,43. Найдите площадь треугольника АВСрис.1, если АС= 7, ВС= 8,DCB=60°.1)
2) 14
3) 4) 4. В треугольнике MNPрис. 2 ММ1, PP1
медианы, MM1=, PP1=6, MOP=150°. Найдите MP.1)
2)14
3) 13 4) 5. Отрезки KPи MHимеют равные длины и пересекаются в точке Oтак, чтоKH||MP, OH= 4, OM= 5. Найдите отношение периметров треугольников OKMи OHP.6. В параллелограмме ABCDбиссектрисы углов Bи Cпересекают сторону ADв точках Lи Kсоответственно. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, чтоBL=5, CK=12, AB:AD=2:3.
7. В трапеции ABCDс основаниями АВи CDдиагонали ACи BDравны 12 и 10 соответственно. Найдите площадь трапеции, еслиCABв два раза меньшеABD.8. Точка Oявляется центром правильного восьмиугольникаA1A2…A8, площадь треугольника A1A3A5равна 9. Точка Bвыбрана таким образом, что треугольникA1A7Bравновелик треугольнику A2OA5. Найдите высоту треугольника A1A7B, проведенную из вершины B.
2. 12все».Каждый член группы работает над подготовкой материала самостоятельно. Члены группы обсуждают свои результаты и готовят вариант материала в парах. Пары представляют свои материалы на обсуждение группы. Группа готовит итоговый вариант материала [6].Пример.Тема занятия Геометрическая прогрессия».В начале занятия учащимся предлагается вспомнить основные формулы, необходимые для решения задач по теме Геометрическая прогрессия».Затем каждый учащийся получает карточку с перечнем заданий[7].
1. Найдите шестой член геометрической прогрессии 96; 48…1)3
2) 3
3) 6
4) 62. В геометрической прогрессии(bn) b2= 6, b4= 4. Найдитеb6.1)4/3
2)4/3
3) 8/3
4) 8/3Рис. 2ABCDРис. 1PMM1NP1OВ геометрической прогрессии(bn), bn�0известно, чтоS6= 63, q=0,5. Найдите b1.1) 96
2) 96
3) 48
4) 484. Числаb1, b2, b3, b4составляют геометрическую прогрессию, причемb1∙b4=24, b23+b33=288.Найдите
b1+b4.1) 8
2) 10
3) 11
4) 125. Вычеркнули каждый второй член геометрической прогрессии, начиная с четвертого, и получили19/18исходной суммы. Найти знаменатель прогрессии.6. В конечной геометрической прогрессии 9 членов. Сумма первых трех равна 192, сумма следующих трех равна 24. Найдите сумму первых девяти членов этой прогрессии.7. В геометрической прогрессии с четным числом членов сумма всех ее членов в 5 раз больше суммы членов с четными номерами. Найдите знаменатель прогрессии.8. Школьники рисовали на доске по очереди отрезки. Каждый следующий рисовал в два раза меньше новых отрезков, чем предыдущий. Сколько детей рисовало отрезки, если в конце на доске оказалось нарисовано 2667 отрезков, а третий по очереди школьник нарисовал 336 отрезков?
В течение 2025 минут ученики работают самостоятельно. Далее минут 57 члены группы обсуждают свои результаты в парах, при этом корректируют решение, если это необходимо. После этого пары представляют свои материалы остальным членам группы на обсуждение.3. Обсуждение по кругу.Члены группы решают задания у доски в заранее установленном порядке например, по часовой стрелке.Пример.Тема занятия Периодичность, четность и нечетность функций».Учащиеся получают бланки с заданиями и решают их в заранее установленном порядке по усмотрению учителя. Выполнение задания осуществляется не одним учеником, а обсуждается всеми учащимися.
1. На одном из рисунков изображен график четной функции. Укажите этот рисунок.1)
2)
3)
4)
2. Укажите график периодической функции.3. Приx≥0задана функцияf(x)= x23x. Какой формулой нужно доопределить функцию f(x)
приx0, чтобы полученная функция была нечетной?4. Найдите период функцииy=|cosx|(в градусах.
xy0111)2)3)4)xy011xy011xy011Нечетная функцияy=f(x)определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения переменной значение этой функции совпадает со значением функцииg(x)=x(2x+1)(x2)(x3). Сколько корней имеет уравнениеf(x)=0?6. Нечетная периодическая функция с периодом 9 определена на всей числовой прямой. Найдитеf(22)∙f(0):f(4)+f(15), еслиf(3)=11.7. Функция f(x)определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4 и на промежутке[2;0]задана формулой f(x)=2x(x+2). Решите уравнение.8. Приx3задана функция . Какой формулой можно доопределить функцию f(x)приx�3, если известно, что график полученной функции симметричен относительно точкиM(3; 2)?
4. Трехшаговое интервью».Группа разбивается на пары в группе из трех человек двое интервьюируют третьего. Работа в парах: один школьник интервьюирует другого; второй школьник интервьюирует первого меняются. Группа собирается вместе: все члены группы выступают поочередно.Пример. Тема занятия Касательные».Учащиеся разбиваются на пары, и каждая пара получает по два задания все задания в парах различны. Первый ученик объясняет решение своего задания второму ученику, затем второй ученик объясняет решение своего задания первому меняются.
1. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функцииy= 3/xв точке с абсциссойx0= 3.2. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции наклонена к оси Oxпод углом , еслиf(x)=1/8∙x2+2, tg=0,5.Найдите угловой коэффициент касательной к кривойy=2x2+xв точке с абсциссойx0=2.3. На рис. 3изображены график функцииy=f(x)и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0.4. При каких значениях параметра прямая
y=2x+bкасается графика функцииy=2x3+3x2 10x+ 1?5. Найдите касательную к кривойy=x27x+ 3, параллельно прямой5x+y3=0.6. Найдите общую касательную к кривым y=x22x+2и y= x22x.7. Докажите, что треугольник, образуемый касательной к гиперболеy=1/xи осями координат, имеет постоянную площадь.
После выполнения заданий группы собираются вместе,и каждый учащийся представляет решение задания своего напарника.5. Номера».Учитель устанавливает порядок нумерации учащихся в группе. Каждый школьник в группе получает номер как вариант этикетку определенного цвета. Учитель дает задание группам, предлагает каждой группе сцепить поднятые руки вместе в знак того, что задание выполнено. Группы работают и по завершении работы подают установленный сигнал. Учитель объявляет номер, и только один ученик от каждой группы отвечает на поставленный вопрос. Учитель выслушивает ответы учеников. Номера, которые назначаются членам группы, можно заменить цветами спектра. Этот вариант структуры часто называют Цвета».3y = f (x)0xx1213123467y1
5705Рис. 3Пример. Тема занятия Простейшие тригонометрические уравненияи уравнения, приводящиеся к квадратным».В начале урока учащимся предлагается вспомнить формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, основные тригонометрические тождества и формулыдвойного аргумента.Затем каждый учащийся группы получает номер и бланк с заданиями[8].
1. Решите уравнение .
1) 2) 3)
4) 2. Решите уравнение .1) 2) 3) 4) 3. Решите уравнение .1) 2) 3) 4) 4. Найдите решение уравнения .1)
2) 3) 4) 5. При каких значениях xзначение функции равно 0?1)
2)
3)
4) 6. Определите количество корней уравнения , принадлежащих интервалу .7. Вычислите величину , где х0наименьший положительный корень уравнения.8. Решите уравнение .9. Решите уравнение , 2700x3600.10. Решите уравнение.
При выполнении первых пяти заданий каждый ученик поднимает руку вверх. При выполнении пяти заданий большинством учеников начинается проверка. Учитель объявляет номер, и ученик с данным номером называетполучившийся ответ. Решения заданий, вызвавшие затруднения, рассматриваются у доски. Затем работа продолжается по схеме: учащиеся самостоятельно решают оставшиеся задания, но руки поднимают по выполнении каждого задания, после чего следует проверка.6. Аквариум».Учащиеся разбиваются на группы по шесть человек. Для работы в группе определяются три роли. Группа делится натри пары. Члены каждой пары берут на себя исполнение одной из ролей дублеры. В каждой паре назначаются выбираются первый и второй исполнители выбранной назначенной роли. Оборудуется место для работы исполнителей трех ролей смена. Первая смена исполнителей три человека располагается у стола, вторая садится сзади каждый дублер садится за спиной своего напарника. Учитель устанавливает продолжительность работы смены 24 минуты и дает сигнал к началу работы. Участники первой смены работают, второй только наблюдают любое вмешательство наблюдателей в работу запрещено. По истечении установленного времени исполнители меняются местами пересаживаются. Теперь второй исполнитель работает, а первый наблюдает. Дублеры начинают работу с того места, где ее прервал сигнал о смене участников работы. По сигналу учителя смена повторяется несколько раз. По схеме Аквариум» возможна организация работы в группах по четыре человека. В этом случае учащиеся проводят обсуждение не по три человека, а парами [9].Пример. Тема занятия Показательные и логарифмические уравнения».Урок начинается с повторения теоретического материала: правила действия со степенями и свойства логарифмов, основные методы решения показательных и логарифмических уравнений.Затем учащиеся делятся на пары, и каждый ученик получает роль исполнителя или дублера. Исполнители садятся в ряд, дублеры садятся за спинами своих напарников. Парам выдается бланк с заданиями, на выполнение которых отводится 30минут. По сигналу учителя исполнители начинают решать задания, по истечении 3 минут участники меняются местами, и к работе приступают дублеры начиная с того места, где остановились их напарники. Смена участников происходит каждые 3минуты, по окончании отведенного времени работа останавливается. Затем учащиеся сверяют получившиеся ответы, а решения заданий, которые вызвали затруднения и их не успели решить, рассматриваются у доски[10].
1. Решите уравнение34x=27.2. Решите уравнениеlog4(2x1)=log4(3x3).3. Решите уравнение .4. Пусть х0наименьший корень уравнения
. Найдите3x0+2.5. Найдите значение х, при котором суммачисел2x+2и2x1+2равна числу2x+ 1 4.6. Найдите меньший из корней уравнения .7. Решите уравнение .8. Определите абсциссу общей точки графика функции
и прямой .9. Найдите корни уравнения .10. Решите уравнение .11. Решите уравнение .12. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций
и .
7. Мозаика».Это универсальная структура взаимодействия, которая основана на идее разделения работы между исполнителями с последующей сборкой результатов. Ее можно с успехом использовать, например, для организации работы внутри группы. При этом:каждый член группы разрабатывает свой раздел материалов работает над ним самостоятельно, с участием других членов группы или других групп;подготовленный материал представляется партнерам, изучается иили используется совместно [11].Пример.Тема занятия Производная функции. Экстремумы функции.Наибольшее и наименьшее значения функции».В начале урока учащимся предлагается вспомнить основные теоретические аспекты по данной теме, а именно методы решения иррациональных уравнений. Далее учитель выдает каждому учащемуся одно из заданий, которое ему необходимо выполнить самостоятельно.
1. Найдите производную функцииy= 3,6x2cosx.2. Найдите значение производной функцииy= x2exв точкеx0= 1.3. Тело движется по координатной прямой согласно законуx(t)=0,25t2+5t7, где х(t) координата тела в момент времени t. Найдите его скорость при t=3.4. Зависимость пути Sот времени движения tвыражается формулойS(t)=0,5gt2. Назовите формулу ускорения.5. Найдите стационарные точки функции .6. Найдите точки минимума функции
.7. Найдите среднее арифметическое наибольшего и наименьшего значений функции y=lg3(x+1)lg(x+1) 2на отрезке [0; 9].8. Найдите наименьшее значение функцииy=3 ∙2x23x+ 4на отрезке [0;1].
После того как каждый ученик справился со своим заданием, учащиеся по очереди представляют друг другу полученное решение, которое совместно проверяется и, если задание выполнено верно, записывается в тетрадь [12].
Индивидуальная самостоятельная работа при организации учебной деятельности по методу малых групп становится как быисходной, элементарной частицей коллективной самостоятельной работы. Следует отметить, что недостаточно сформировать группы и дать им соответствующее задание. Суть как раз и состоит в том, чтобы учащийся захотел сам конструировать свои знания.Применение данныхприемовна занятияхс использованием специально созданного для них пособия [13]показало, что подготовка учащихся в малых группах к экзамену по математике за курс средней полной школы положительно влияет на уровень качества знаний учеников, так как обучение в малых группах способствует индивидуальному развитию школьников.
Ссылки на источники1.Подгорная И. И. Уроки математики: учебное пособие для поступающих в вузы. М.: Московский лицей, 2006. 692 с.2.Психология: словарь / под общ. ред. А. В. Петровского, М.Г.Ярошевского. 2е изд., испр. и доп. М.: Политиздат, 1990. С. 85.3.Парыгин Б. Д. Социальная психология: учеб. пособие для вузов по спец. психологии. СПб.: СПбГУП, 2003. С. 257.4.Щепаньский Я. Ю. Элементарные понятия социологии / под общ. ред. А. М. Румянцева. М.: Прогресс, 1969. С. 118.5.Полат Е. С., Бухаркина М. Ю., Моисеева М.В., Петров А. Е. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: учеб. пособие для студ. пед. вузов и системы повыш. квалиф. пед. кадров / под ред. Е. С. Полат. М.: Издательский центр Академия», 1999. 224 с.6.Учитель и ученик: возможность диалога и понимания: в 2 т. / под ред. Л. И. Семиной. М.: Издво Бонфи», 2002. Т. 2. 408 с.7.Задания 18 взяты из сборников: Кочагин В.В., Кочагина М. Н. ЕГЭ2007. Математика: тематические тренировочные задания. М.: Эксмо, 2007. 136 с.; / Математика. Подготовка к ЕГЭ2009. Вступительные испытания / под ред. Ф.Ф.Лысенко. Ростов н/Д: Легион, 2008. 400 с.; Подгорная И. И. Уроки математики.8.Задания 110 взяты из сборников: Математика. Подготовка к ЕГЭ2009. Тематические тесты 1011 класс Ч. 1 / под ред. Ф. Ф. Лысенко. Ростов н/Д: Легион, 2008. 256 с.; Подгорная И. И. Уроки математики.Учитель и ученик: возможность диалога и понимания.10.Задания 112 взяты из сборников под ред. Ф.Ф.Лысенко: Математика. Подготовка к ЕГЭ2009. Тематические тесты 1011 класс; Математика. Подготовка к ЕГЭ2009. Вступительные испытания.11.Учитель и ученик: возможность диалога и понимания.12.Денищева Л. О. и др. ЕГЭ2009. Математика: сборник экзаменационных заданий. М.: Эксмо, 2009. 288 с.13.Горев П. М., Рябкова М. О. Математика. Курс подготовки к ЕГЭ: задания первой части задачи типа В Единого государственного экзамена: учебное пособие. Киров: Издво ВятГГУ, 2011. 118 с.
RyabkovаMariya,Master of Physics and Mathematics Education, Kirovmaharm@yandex.ruTechniques for working in small groups for teaching students mathematics in preparation for final assessmentAbstract. The article proposes the useof different options at work with students in small groups used by the author in the preparation of them for the final certification in mathematics. The article gives examples of content selection for such activities.Keywords: group work, small groups, teaching mathematics, the preparation for exam.
Рецензент: Горев Павел Михайлович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике ВятГГУ, главный редактор журнала Концепт»
