Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на едином государственном экзамене по математике
М.
В. КрутихинаБиблиографическое описание статьи для цитирования:
Крутихина
М.
В.,
Зеленина
Н.
А.,
Здоровенко
М.
Ю. Типичные ошибки и затруднения школьников при решении неравенств различными способами на едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2014. – № 10 (октябрь). – С.
176–180. – URL:
http://e-koncept.ru/2014/14296.htm.
Аннотация. Статья посвящена анализу типичных ошибок и затруднений школьников при решении неравенств различными способами на итоговой аттестации по математике.
Ключевые слова:
обучение математике, неравенство, система неравенств, различные способы решения неравенств, единый государственный экзамен по математике
Текст статьи
Здоровенко Марина Юрьевна, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Кировzdorovenki@ngs.ru
Зеленина Наталья Алексеевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировsezel@mail.ru
Крутихина Марина Викторовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировkrumarvik@mail.ru
Типичные ошибки и затруднения школьниковпри решении неравенств различными способамина Едином государственном экзамене по математике
Аннотация.Статья посвящена анализу типичных ошибок и затруднений школьников при решении неравенств различными способами на итоговой аттестации по математике.Ключевые слова:обучение математике, неравенство, система неравенств, различные способы решения неравенств, Единый государственный экзамен по математике.Раздел: (01)педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Линия уравнений и неравенств является одной из ведущих содержательнометодических линий школьного курса математики. Традиционно наибольшие затруднения у учащихся вызывает решение неравенств. В кодификаторе требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения Единого государственного экзамена по математике указано, что учащиеся должны уметь решать рациональные, показательные, логарифмические неравенства и их системы. В последние годы в модели контрольноизмерительных материалов соответствующее задание содержится в части 2 и имеет повышенный уровень трудности. В частности, в 2014 г.требовалось решить систему, состоящую из логарифмического и показательного неравенств. По данным ЦОКО Кировской области [1],к решению задачи С3 приступило около 35% школьников, что говорит об определенной подготовке по этой теме (к решению задачи С4, например, приступило порядка 7%, С5 –4% выпускников). Однакодать хотя бы частичноерешение системы неравенств, а тем более решить ее полностьюудалось далеко не всем. Так, по данным статистики, один первичный балл за решение задачи С3 (обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы или получен неверный ответ иззавычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы) получили 22,12% учеников, приступивших к решению, два балла (обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы) –1,44% школьников. Полные три балла за решение этой задачи (обоснованно получен верный ответ) выставлены 6,14% решавших. Средние показатели по стране соответственно равны 34, 8,8, 2,8и 6,4% [2].Опыт проверки развернутых ответов участников Единого государственного экзамена по математике показывает, что выпускники владеют различными методами решения неравенств, в том числе и выходящими за рамки школьной программы. Вместе с темможно выделить типичные ошибки и затруднения учащихся при использовании различных способов решения неравенств. Обратимся к анализу этих ошибок на примере решения системы
൜�݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0,64�2−3�+20−0,1252�2−6�−200≤0[3].
Для решения логарифмического неравенства учащиеся выбирают следующие способы.I.Переход к совокупности двух систем (расщепление неравенств)
�݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0⇔ۏێێۍ൜�݃11−�(ݔ+7)≥0�݃�+5(9−ݔ)≤0(1)൜�݃11−�(ݔ+7)≤0�݃�+5(9−ݔ)≥0(2)Решим систему (1) совокупности:
(1)⇔ەۖۖۖ۔ۖۖۖۓۏێێێۍ{11−ݔ>1ݔ+7≥1൝0<11−ݔ<1ݔ+7≤1ݔ+7>0ۏێێێۍ൝ݔ+5>19−ݔ≤19−ݔ>0{0<ݔ+5<19−ݔ≥1⇔ەۖۖۖ۔ۖۖۖۓۏێێێۍ{ݔ<10ݔ≥−6൝10<ݔ<11ݔ≤−6ݔ>−7ۏێێێۍ൝ݔ>−4ݔ≥8ݔ<9{−5<ݔ<−4ݔ≤8⇔൞[−6≤ݔ<10ݔ∈∅[8≤ݔ<9−5<ݔ<−4⇔⇔ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).
Решим систему (2) совокупности:
(2)⇔ەۖۖۖ۔ۖۖۖۓۏێێێۍ൝11−ݔ>1ݔ+7≤1ݔ+7>0{0<11−ݔ<1ݔ+7≥1ۏێێێۍ{ݔ+5>19−ݔ≥1൝0<ݔ+5<19−ݔ≤19−ݔ>0⇔ەۖۖۖ۔ۖۖۖۓۏێێێۍ൝ݔ<10ݔ≤−6ݔ>−7{10<ݔ<11ݔ≥−6ۏێێێۍ{ݔ>−4ݔ≤8൝−5<ݔ<−4ݔ≥8ݔ<9⇔൞[−7<ݔ≤−610<ݔ<11[−4<ݔ≤8ݔ∈∅⇔ݔ∈∅.
Таким образом, ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).Переход к совокупности двух систем в качестве способа решения логарифмического неравенства такого типа выбирают порядка 40% решающих. Этот способ требует от выпускников: знания свойств логарифмов и логарифмической функции;умения решать простейшие рациональные неравенства и их системы, находить объединения и пересечения множеств;понимания логической структуры решения и равносильности переходов.Основным недостатком данного способа является его громоздкость. В то же времяверно доведенное до конца решение показывает достаточно высокую математическую культуру учащихся. Обратим внимание на то, что при этом решении не требуется специально находить область допустимых значений неравенства, однако понимают это далеко не все ученики. Выписывание на первом шаге лишних условий в системе, так жекак и отсутствие в записи решения значков равносильности и следствия, можно, на наш взгляд, не считать существенным недостатком. Основные ошибки учеников связаны с неверным раскрытием комбинаций совокупностей и систем, выбором ответа в случае пересечения и объединения множеств, включения/невключения в ответ концов промежутков в соответствии со строгостью знака неравенства. Заметим, что использование вместо значка совокупности союза «или» при записи решения неравенства значительно уменьшает количество логических ошибок.Решение может быть существенно короче, если сначала найти область допустимых значений и заметить, что один из множителей на этом множестве всегда положителен.Область допустимых значений неравенства определяется из системы
ەۖ۔ۖۓ11−ݔ>0,11−ݔ≠1,ݔ+7>0,ݔ+5>0,ݔ+5≠1,9−ݔ>0.⇔ەۖ۔ۖۓݔ<11,ݔ≠10,ݔ>−7,ݔ>−5,ݔ≠−4,ݔ<9.⇔ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9).
При этих значениях переменной ݔ11−ݔ>2,2>1и ݔ+7>2,2>1.Отсюда�݃11−�(ݔ+7)>0в области допустимых значений.Следовательно, для тогочтобы �݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0,достаточно, чтобы �݃�+5(9−ݔ)≤0в области допустимых значений исходного неравенства. Решим последнее неравенство.
�݃�+5(9−ݔ)≤0⇔ۏێێێۍ൝ݔ+5>19−ݔ≤19−ݔ>0{0<ݔ+5<19−ݔ≥1⇔ۏێێێۍ൝ݔ>−4ݔ≥8ݔ<9{−5<ݔ<−4ݔ≤8⇔[8≤ݔ<9−5<ݔ<−4.
Таким образом, ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).Последнее неравенство может быть также решено с помощью рационализации (см. далее).Этим способом воспользовались примерно 10% учащихся, приступивших к решению.
II.Метод интервалов�݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0.Рассмотрим функцию ݕ=�݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ), непрерывную на области определения.Область определения этой функции совпадает с областью допустимых значений неравенства: ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9)Найдем нули функции: �݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)=0⇔⇔{[�݃11−�(ݔ+7)=0,�݃�+5(9−ݔ)=0,ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9)⇔൝[ݔ+7=1,9−ݔ=1,ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9)⇔൝[ݔ=−6,ݔ=8,ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9)⇔ݔ=8.Определим знак функции в каждом промежутке ее области определения:Если ݔ=8,5, тогда �݃2,515,5∙�݃13,50,5<0.Если ݔ=0, тогда �݃117∙�݃59>0.Если ݔ=−4,5, тогда �݃15,52,5∙�݃0,513,5<0.Таким образом, решениемнеравенства являются ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).Применение метода интервалов требует от участников экзамена:знания определения и свойств логарифмической функции;владения понятием нуля функции;умения решать простейшие рациональные неравенства, их системы и совокупности, находить объединения и пересечения множеств; сравнивать значения «невычисляющихся» логарифмов;понимания сути метода интервалов и его отдельных этапов.Этот способ решения логарифмического неравенства выбирают порядка 30% выпускников.Основная ошибка учащихся состоит в расстановке знаков на числовой прямой (после решения уравнений �݃11−�(ݔ+7)=0и�݃�+5(9−ݔ)=0) без учета области определения функции. В результате функция «получает» знак на промежутках, в которых не определена. Причиной этого является формальное выполнение шагов метода интервалов без понимания его сути, слабое владение понятием «нуль функции». В качестве наиболее распространенных ошибок отметим также «автоматическое» чередование знаков, потерю одного из ограничений на основаниялогарифмапри нахождении области определения функции, несоответствие между изображением концов промежутка на числовой прямой и записью этого промежутка.
III.Метод рационализации (декомпозиции, замены множителей)В последнее время этот метод решения неравенств получил достаточно широкое распространение, хотя в школьных учебниках он, как правило, не рассматривается. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения ܨ(ݔ)на более простое выражение ܩ(ݔ)(в конечном счетерациональное), при которой неравенство ܩ(ݔ)∨0равносильно неравенству ܨ(ݔ)∨0в области определения выражения ܨ(ݔ).Короткое и практически безошибочное решение получили те школьники, которые рационализировали произведение логарифмов, зная, что знак выражения –5–489––+�݃ℎ݂∙�݃݃в области его допустимых значений совпадает со знаком выражения (ℎ−1)(݂−1)(−1)(݃−1).В нашем случае �݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0.Область допустимых значений неравенства определяется условием: ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9).В области допустимых значений логарифмическое неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:(10−ݔ)∙(ݔ+6)∙(ݔ+4)∙(8−ݔ)≤0,решение которого методом интервалов имеет вид:С учетом области допустимых значений логарифмического неравенства получаем ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).Отметим, что некоторые выпускники применяли метод рационализации для решения логарифмического неравенства в комбинации с расщеплением неравенств,то есть осуществляли переход �݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0⇔ۏێێۍ൜�݃11−�(ݔ+7)≥0�݃�+5(9−ݔ)≤0൜�݃11−�(ݔ+7)≤0�݃�+5(9−ݔ)≥0
и далее рационализировали каждое из четырех неравенств, исходя при этом из того, что знак логарифмической функции в ее области определения совпадает со знаком соответствующего рационального выражения (знак выражения �݂݃совпадает со знаком выражения (݃−1)(݂−1)в области определения логарифмической функции).Рационализацию для решения логарифмического неравенства выбирают примерно 20% учащихся из числа приступивших к решению.Показательное неравенство 64�2−3�+20−0,1252�2−6�−200≤0вызвало у участников экзамена гораздоменьше затруднений. В основномвыпускники приводили степени к одному основанию, а затем использовали свойство монотонности показательной функции.64�2−3�+20−0,1252�2−6�−200≤0⇔26�2−18�+120≤2−6�2+18�+600⇔⇔6ݔ2−18ݔ+120≤−6ݔ2+18ݔ+600⇔12ݔ2−36ݔ−480≤0⇔ݔ2−3ݔ−40≤0.
Решением последнего неравенства являются ݔ∈ሾ−5;8ሿ.Некоторые учащиеся для решения также использовали метод рационализации, исходя из того, что знак выражения ℎ−ℎ(ℎ>0)в области его допустимых значений совпадает со знаком выражения (ℎ−1)(݂−݃).
В нашем случае 26�2−18�+120−2−6�2+18�+600≤0⇔(2−1)(12ݔ2−36ݔ−480)≤0на множестве действительных чисел.xx–6–4810––+++x–58–++Основным недостатком в записи такого решения являлась потеря первого множителя (это недопустимо, хотя при решении рассматриваемого неравенства дает правильный ответ) либо отсутствие обоснования того, что этот множитель не влияет на знак произведения.Итак, решением первого неравенства являются ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9), второго неравенства –ݔ∈ሾ−5;8ሿ, решением системы неравенств –ݔ∈(−5;−4)∪ሼ8ሽ.Отметим, что обучение различным методам решения неравенств на сегодняшний день является весьма актуальным, поскольку дает учащимся гораздо больше возможностей в решении задач, отчего напрямую зависит успешность прохождения ими различного рода аттестаций. Модель контрольноизмерительных материалов Единого государственного экзамена 2015 г.на профильном уровне предусматривает решение неравенства в части2. Эта задача, как и в предыдущие годы, относится к задачам повышенного уровня сложности и оценивается теперь двумя первичными баллами. В демоверсии контрольноизмерительных материалов Единого государственного экзамена 2015 г.поматематике [4]в качестве примера приводится следующее логарифмическое неравенство и его решение:�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)≥�݃9(10−ݔ).Наш опыт проверки работ участников ЕГЭ позволяет предположить, что предложенный разработчиками путь решения школьники, скорее всего, не выберут.Рассмотрим наиболее ожидаемые способы рассуждений учащихся при решении этого неравенства.Найдем область допустимых значений неравенства:
ەۖ۔ۖۓݔ+2>0,ݔ−1>0,ݔ−1≠1,(ݔ−1)2>0,10−ݔ>0⇔ەۖ۔ۖۓݔ>−2,ݔ>1,ݔ≠2,ݔ≠1,ݔ<10⇔ݔ∈(1;2)∪(2;10).
Преобразуем неравенство к виду:
12�݃�−1(ݔ+2)∙�݃3(ݔ−1)2−12�݃3(10−ݔ)≥0;�݃�−1(ݔ+2)∙2�݃3|ݔ−1|−�݃3(10−ݔ)≥0;
Учитывая, что в области допустимых значений неравенства|ݔ−1|=ݔ−1,иприменяя формулу перехода к новому основанию, получаем
�݃3(ݔ+2)�݃3(ݔ−1)∙2�݃3(ݔ−1)−�݃3(10−ݔ)≥0;2�݃3(ݔ+2)−�݃3(10−ݔ)≥0.
По свойствам логарифмов�݃3(ݔ+2)210−ݔ≥0.Поскольку 3>1,(ݔ+2)210−ݔ≥1;
ݔ2+5ݔ−610−ݔ≥0.Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем ݔ∈(−∞;−6ሿ∪ሾ1;10).С учетом области допустимых значений решением неравенства являются ݔ∈(1;2)∪(2;10).Источником ошибок при таком решении является ситуация с переходом �݃3(ݔ−1)2=2�݃3|ݔ−1|=2�݃3(ݔ−1). Одни учащиеся не записывают логарифм с модулем подлогарифмического выражения и ничего при этом не объясняют. Другие начинают раскрывать модуль по определению, что существенно удлиняет решение и приводит к новым ошибкам. Ошибочным часто бывает и решение неравенства (ݔ−1)2>0при нахождении области допустимых значений.Проведя анализ логарифмов и их произведений, некоторые ученики могут привести более лаконичное решение, а также воспользоваться обобщенным методом интервалов. Приведем эти рассуждения.�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)≥�݃9(10−ݔ).Областью допустимых значений неравенства являются ݔ∈(1;2)∪(2;10).На области допустимых значений �݃3(ݔ2−2ݔ+1)=�݃3(ݔ−1)2=2�݃3|ݔ−1|=2�݃3(ݔ−1).Далее, используя следствие из формулы перехода к новому основанию, �ܾ݃=����⇒�݃ܽ∙�ܾ݃=�ܾ݃,получаем�݃�−1√ݔ+2∙2�݃3(ݔ−1)=2�݃3(ݔ−1)∙�݃�−1√ݔ+2=2�݃3√ݔ+2==�݃3(ݔ+2)=�݃32(ݔ+2)2.Таким образом,�݃9(ݔ+2)2≥�݃9(10−ݔ).Так как 9>1,то (ݔ+2)2≥10−ݔ,ݔ2+5ݔ−6≥0,ݔ∈(−∞;−6ሿ∪ሾ1;+∞).С учетом области допустимых значений ݔ∈(1;2)∪(2;10).Заметим, что появления логарифма со знаком модуля можно избежать, если при найденной области допустимых значений рассуждать следующим образом:�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ−1)2≥�݃9(10−ݔ).Возведем в квадрат основание и подлогарифмическое выражение первого логарифма, затем воспользуемся формулой перехода к новому основанию.�݃(�−1)2(ݔ+2)∙1�݃(�−1)23≥�݃9(10−ݔ);�݃(�−1)2(ݔ+2)�݃(�−1)23≥�݃9(10−ݔ);�݃3(ݔ+2)≥�݃9(10−ݔ);�݃9(ݔ+2)2≥�݃9(10−ݔ).Далее решаем соответствующее квадратное неравенство и с учетом области допустимых значений получаем ответ. x–6110––++Решение неравенства обобщенным методом интервалов имеет следующий вид.Рассмотрим функцию ݕ=�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)−�݃9(10−ݔ),непрерывную на области определения.Область определения функции найдем из условий:ەۖ۔ۖۓݔ+2>0,ݔ−1>0,ݔ−1≠1,(ݔ−1)2>0,10−ݔ>0⇔�(ݕ)=(1;2)∪(2;10).Найдем нули функции, решив на области определения уравнение�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)−�݃9(10−ݔ)=0.�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)=�݃9(10−ݔ),12�݃�−1(ݔ+2)∙�݃3(ݔ−1)2=12�݃3(10−ݔ),�݃3(ݔ+2)�݃3(ݔ−1)∙2�݃3|ݔ−1|=�݃3(10−ݔ).Так как ݔ−1>0на области определения, то |ݔ−1|=ݔ−1.2�݃3(ݔ+2)=�݃3(10−ݔ),(ݔ+2)2=10−ݔ,ݔ=1∉�(ݕ),ݔ=−6∉�(ݕ).Рассматриваемая нами функция не имеет нулей. Определим ее знак в каждом промежутке области определения:Если ݔ=7, тогда �݃63∙�݃336−�݃93=�݃636−�݃93=2−12>0.Если ݔ=43, тогда�݃13√103∙�݃319−�݃9263=−�݃13103−�݃9263=�݃91009−�݃9789=�݃910778>0.Таким образом, ݔ∈(1;2)∪(2;10).Рассмотренные выше способы решения неравенстви типичные ошибки выпускников помогут учителям более эффективно организовать работу по обучению решению логарифмических и показательных неравенств и подготовке к итоговой аттестации.
Ссылки на источники1.Результаты единого государственного экзамена в Кировской области в 2014 году: стат. сб. –Киров: КОГБУ «Центр оценки качества образования», 2014 г. –211 с.2.ЯщенкоИ.В., СеменовА.В., ВысоцкийИ.Р. Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания математики. –URL: http://www.fipi.ru.3.Материалы для подготовки к ЕГЭ. –URL: http://alexlarin.net.4.Демонстрационный вариант контрольноизмерительных материалов единого государственного экзамена 2015 года по математике. Профильный уровень. –URL: http://www.fipi.ru.
x1210++Marina Zdorovenko, candidate of physicomathematical Sciences, associate Professor of applied mathematics and Informatics FGBOU VPO "Vyatka state University, Kirovzdorovenki@ngs.ruNatalia Zelenina,
candidate of pedagogical Sciences, associate Professor of fundamental and computerNoah mathematics FGBOU VPO "Vyatka state humanitarian University University", Kirovsezel@mail.ruMarina Krutikhina, candidate of pedagogical Sciences, associate Professor of fundamental and computerNoah mathematics FGBOU VPO "Vyatka state humanitarian University University", Kirovkrumarvik@mail.ruCommon mistakes and difficulties students when solving inequalities in a variety of wayson the Unified state exam in mathematics Abstract. The article is devoted to the analysis of typical errors and problems schoolnicknames when addressing inequalities in different wayson the final examination in mathematics.
Key words: mathematics education, inequality, system of inequalities, different ways of solving inequalities, the Unified state exam in mathematics.References1.(2014) Rezul'taty edinogo gosudarstvennogo jekzamena v Kirovskoj oblasti v 2014 godu: stat. sb.,KOGBU “Centr ocenki kachestva obrazovanija”, Kirov, 211 p. (inRussian).2.Jashhenko, I. V., Semenov, A. V. & Vysockij, I. R. Metodicheskie rekomendacii po nekotorym aspektam sovershenstvovanija prepodavanija matematiki. Available at: http://www.fipi.ru(in Russian).3.Materialy dlja podgotovki kEGJe. Available at: http://alexlarin.net(in Russian).4.Demonstracionnyj variant kontrol'noizmeritel'nyh materialov edinogo gosudarstvennogo jekzamena 2015 goda po matematike. Profil'nyj uroven'. Available at:http://www.fipi.ru(in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Зеленина Наталья Алексеевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировsezel@mail.ru
Крутихина Марина Викторовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», г. Кировkrumarvik@mail.ru
Типичные ошибки и затруднения школьниковпри решении неравенств различными способамина Едином государственном экзамене по математике
Аннотация.Статья посвящена анализу типичных ошибок и затруднений школьников при решении неравенств различными способами на итоговой аттестации по математике.Ключевые слова:обучение математике, неравенство, система неравенств, различные способы решения неравенств, Единый государственный экзамен по математике.Раздел: (01)педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Линия уравнений и неравенств является одной из ведущих содержательнометодических линий школьного курса математики. Традиционно наибольшие затруднения у учащихся вызывает решение неравенств. В кодификаторе требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения Единого государственного экзамена по математике указано, что учащиеся должны уметь решать рациональные, показательные, логарифмические неравенства и их системы. В последние годы в модели контрольноизмерительных материалов соответствующее задание содержится в части 2 и имеет повышенный уровень трудности. В частности, в 2014 г.требовалось решить систему, состоящую из логарифмического и показательного неравенств. По данным ЦОКО Кировской области [1],к решению задачи С3 приступило около 35% школьников, что говорит об определенной подготовке по этой теме (к решению задачи С4, например, приступило порядка 7%, С5 –4% выпускников). Однакодать хотя бы частичноерешение системы неравенств, а тем более решить ее полностьюудалось далеко не всем. Так, по данным статистики, один первичный балл за решение задачи С3 (обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы или получен неверный ответ иззавычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы) получили 22,12% учеников, приступивших к решению, два балла (обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы) –1,44% школьников. Полные три балла за решение этой задачи (обоснованно получен верный ответ) выставлены 6,14% решавших. Средние показатели по стране соответственно равны 34, 8,8, 2,8и 6,4% [2].Опыт проверки развернутых ответов участников Единого государственного экзамена по математике показывает, что выпускники владеют различными методами решения неравенств, в том числе и выходящими за рамки школьной программы. Вместе с темможно выделить типичные ошибки и затруднения учащихся при использовании различных способов решения неравенств. Обратимся к анализу этих ошибок на примере решения системы
൜�݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0,64�2−3�+20−0,1252�2−6�−200≤0[3].
Для решения логарифмического неравенства учащиеся выбирают следующие способы.I.Переход к совокупности двух систем (расщепление неравенств)
�݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0⇔ۏێێۍ൜�݃11−�(ݔ+7)≥0�݃�+5(9−ݔ)≤0(1)൜�݃11−�(ݔ+7)≤0�݃�+5(9−ݔ)≥0(2)Решим систему (1) совокупности:
(1)⇔ەۖۖۖ۔ۖۖۖۓۏێێێۍ{11−ݔ>1ݔ+7≥1൝0<11−ݔ<1ݔ+7≤1ݔ+7>0ۏێێێۍ൝ݔ+5>19−ݔ≤19−ݔ>0{0<ݔ+5<19−ݔ≥1⇔ەۖۖۖ۔ۖۖۖۓۏێێێۍ{ݔ<10ݔ≥−6൝10<ݔ<11ݔ≤−6ݔ>−7ۏێێێۍ൝ݔ>−4ݔ≥8ݔ<9{−5<ݔ<−4ݔ≤8⇔൞[−6≤ݔ<10ݔ∈∅[8≤ݔ<9−5<ݔ<−4⇔⇔ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).
Решим систему (2) совокупности:
(2)⇔ەۖۖۖ۔ۖۖۖۓۏێێێۍ൝11−ݔ>1ݔ+7≤1ݔ+7>0{0<11−ݔ<1ݔ+7≥1ۏێێێۍ{ݔ+5>19−ݔ≥1൝0<ݔ+5<19−ݔ≤19−ݔ>0⇔ەۖۖۖ۔ۖۖۖۓۏێێێۍ൝ݔ<10ݔ≤−6ݔ>−7{10<ݔ<11ݔ≥−6ۏێێێۍ{ݔ>−4ݔ≤8൝−5<ݔ<−4ݔ≥8ݔ<9⇔൞[−7<ݔ≤−610<ݔ<11[−4<ݔ≤8ݔ∈∅⇔ݔ∈∅.
Таким образом, ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).Переход к совокупности двух систем в качестве способа решения логарифмического неравенства такого типа выбирают порядка 40% решающих. Этот способ требует от выпускников: знания свойств логарифмов и логарифмической функции;умения решать простейшие рациональные неравенства и их системы, находить объединения и пересечения множеств;понимания логической структуры решения и равносильности переходов.Основным недостатком данного способа является его громоздкость. В то же времяверно доведенное до конца решение показывает достаточно высокую математическую культуру учащихся. Обратим внимание на то, что при этом решении не требуется специально находить область допустимых значений неравенства, однако понимают это далеко не все ученики. Выписывание на первом шаге лишних условий в системе, так жекак и отсутствие в записи решения значков равносильности и следствия, можно, на наш взгляд, не считать существенным недостатком. Основные ошибки учеников связаны с неверным раскрытием комбинаций совокупностей и систем, выбором ответа в случае пересечения и объединения множеств, включения/невключения в ответ концов промежутков в соответствии со строгостью знака неравенства. Заметим, что использование вместо значка совокупности союза «или» при записи решения неравенства значительно уменьшает количество логических ошибок.Решение может быть существенно короче, если сначала найти область допустимых значений и заметить, что один из множителей на этом множестве всегда положителен.Область допустимых значений неравенства определяется из системы
ەۖ۔ۖۓ11−ݔ>0,11−ݔ≠1,ݔ+7>0,ݔ+5>0,ݔ+5≠1,9−ݔ>0.⇔ەۖ۔ۖۓݔ<11,ݔ≠10,ݔ>−7,ݔ>−5,ݔ≠−4,ݔ<9.⇔ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9).
При этих значениях переменной ݔ11−ݔ>2,2>1и ݔ+7>2,2>1.Отсюда�݃11−�(ݔ+7)>0в области допустимых значений.Следовательно, для тогочтобы �݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0,достаточно, чтобы �݃�+5(9−ݔ)≤0в области допустимых значений исходного неравенства. Решим последнее неравенство.
�݃�+5(9−ݔ)≤0⇔ۏێێێۍ൝ݔ+5>19−ݔ≤19−ݔ>0{0<ݔ+5<19−ݔ≥1⇔ۏێێێۍ൝ݔ>−4ݔ≥8ݔ<9{−5<ݔ<−4ݔ≤8⇔[8≤ݔ<9−5<ݔ<−4.
Таким образом, ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).Последнее неравенство может быть также решено с помощью рационализации (см. далее).Этим способом воспользовались примерно 10% учащихся, приступивших к решению.
II.Метод интервалов�݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0.Рассмотрим функцию ݕ=�݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ), непрерывную на области определения.Область определения этой функции совпадает с областью допустимых значений неравенства: ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9)Найдем нули функции: �݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)=0⇔⇔{[�݃11−�(ݔ+7)=0,�݃�+5(9−ݔ)=0,ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9)⇔൝[ݔ+7=1,9−ݔ=1,ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9)⇔൝[ݔ=−6,ݔ=8,ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9)⇔ݔ=8.Определим знак функции в каждом промежутке ее области определения:Если ݔ=8,5, тогда �݃2,515,5∙�݃13,50,5<0.Если ݔ=0, тогда �݃117∙�݃59>0.Если ݔ=−4,5, тогда �݃15,52,5∙�݃0,513,5<0.Таким образом, решениемнеравенства являются ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).Применение метода интервалов требует от участников экзамена:знания определения и свойств логарифмической функции;владения понятием нуля функции;умения решать простейшие рациональные неравенства, их системы и совокупности, находить объединения и пересечения множеств; сравнивать значения «невычисляющихся» логарифмов;понимания сути метода интервалов и его отдельных этапов.Этот способ решения логарифмического неравенства выбирают порядка 30% выпускников.Основная ошибка учащихся состоит в расстановке знаков на числовой прямой (после решения уравнений �݃11−�(ݔ+7)=0и�݃�+5(9−ݔ)=0) без учета области определения функции. В результате функция «получает» знак на промежутках, в которых не определена. Причиной этого является формальное выполнение шагов метода интервалов без понимания его сути, слабое владение понятием «нуль функции». В качестве наиболее распространенных ошибок отметим также «автоматическое» чередование знаков, потерю одного из ограничений на основаниялогарифмапри нахождении области определения функции, несоответствие между изображением концов промежутка на числовой прямой и записью этого промежутка.
III.Метод рационализации (декомпозиции, замены множителей)В последнее время этот метод решения неравенств получил достаточно широкое распространение, хотя в школьных учебниках он, как правило, не рассматривается. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения ܨ(ݔ)на более простое выражение ܩ(ݔ)(в конечном счетерациональное), при которой неравенство ܩ(ݔ)∨0равносильно неравенству ܨ(ݔ)∨0в области определения выражения ܨ(ݔ).Короткое и практически безошибочное решение получили те школьники, которые рационализировали произведение логарифмов, зная, что знак выражения –5–489––+�݃ℎ݂∙�݃݃в области его допустимых значений совпадает со знаком выражения (ℎ−1)(݂−1)(−1)(݃−1).В нашем случае �݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0.Область допустимых значений неравенства определяется условием: ݔ∈(−5;−4)∪(−4;9).В области допустимых значений логарифмическое неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:(10−ݔ)∙(ݔ+6)∙(ݔ+4)∙(8−ݔ)≤0,решение которого методом интервалов имеет вид:С учетом области допустимых значений логарифмического неравенства получаем ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9).Отметим, что некоторые выпускники применяли метод рационализации для решения логарифмического неравенства в комбинации с расщеплением неравенств,то есть осуществляли переход �݃11−�(ݔ+7)∙�݃�+5(9−ݔ)≤0⇔ۏێێۍ൜�݃11−�(ݔ+7)≥0�݃�+5(9−ݔ)≤0൜�݃11−�(ݔ+7)≤0�݃�+5(9−ݔ)≥0
и далее рационализировали каждое из четырех неравенств, исходя при этом из того, что знак логарифмической функции в ее области определения совпадает со знаком соответствующего рационального выражения (знак выражения �݂݃совпадает со знаком выражения (݃−1)(݂−1)в области определения логарифмической функции).Рационализацию для решения логарифмического неравенства выбирают примерно 20% учащихся из числа приступивших к решению.Показательное неравенство 64�2−3�+20−0,1252�2−6�−200≤0вызвало у участников экзамена гораздоменьше затруднений. В основномвыпускники приводили степени к одному основанию, а затем использовали свойство монотонности показательной функции.64�2−3�+20−0,1252�2−6�−200≤0⇔26�2−18�+120≤2−6�2+18�+600⇔⇔6ݔ2−18ݔ+120≤−6ݔ2+18ݔ+600⇔12ݔ2−36ݔ−480≤0⇔ݔ2−3ݔ−40≤0.
Решением последнего неравенства являются ݔ∈ሾ−5;8ሿ.Некоторые учащиеся для решения также использовали метод рационализации, исходя из того, что знак выражения ℎ−ℎ(ℎ>0)в области его допустимых значений совпадает со знаком выражения (ℎ−1)(݂−݃).
В нашем случае 26�2−18�+120−2−6�2+18�+600≤0⇔(2−1)(12ݔ2−36ݔ−480)≤0на множестве действительных чисел.xx–6–4810––+++x–58–++Основным недостатком в записи такого решения являлась потеря первого множителя (это недопустимо, хотя при решении рассматриваемого неравенства дает правильный ответ) либо отсутствие обоснования того, что этот множитель не влияет на знак произведения.Итак, решением первого неравенства являются ݔ∈(−5;−4)∪ሾ8;9), второго неравенства –ݔ∈ሾ−5;8ሿ, решением системы неравенств –ݔ∈(−5;−4)∪ሼ8ሽ.Отметим, что обучение различным методам решения неравенств на сегодняшний день является весьма актуальным, поскольку дает учащимся гораздо больше возможностей в решении задач, отчего напрямую зависит успешность прохождения ими различного рода аттестаций. Модель контрольноизмерительных материалов Единого государственного экзамена 2015 г.на профильном уровне предусматривает решение неравенства в части2. Эта задача, как и в предыдущие годы, относится к задачам повышенного уровня сложности и оценивается теперь двумя первичными баллами. В демоверсии контрольноизмерительных материалов Единого государственного экзамена 2015 г.поматематике [4]в качестве примера приводится следующее логарифмическое неравенство и его решение:�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)≥�݃9(10−ݔ).Наш опыт проверки работ участников ЕГЭ позволяет предположить, что предложенный разработчиками путь решения школьники, скорее всего, не выберут.Рассмотрим наиболее ожидаемые способы рассуждений учащихся при решении этого неравенства.Найдем область допустимых значений неравенства:
ەۖ۔ۖۓݔ+2>0,ݔ−1>0,ݔ−1≠1,(ݔ−1)2>0,10−ݔ>0⇔ەۖ۔ۖۓݔ>−2,ݔ>1,ݔ≠2,ݔ≠1,ݔ<10⇔ݔ∈(1;2)∪(2;10).
Преобразуем неравенство к виду:
12�݃�−1(ݔ+2)∙�݃3(ݔ−1)2−12�݃3(10−ݔ)≥0;�݃�−1(ݔ+2)∙2�݃3|ݔ−1|−�݃3(10−ݔ)≥0;
Учитывая, что в области допустимых значений неравенства|ݔ−1|=ݔ−1,иприменяя формулу перехода к новому основанию, получаем
�݃3(ݔ+2)�݃3(ݔ−1)∙2�݃3(ݔ−1)−�݃3(10−ݔ)≥0;2�݃3(ݔ+2)−�݃3(10−ݔ)≥0.
По свойствам логарифмов�݃3(ݔ+2)210−ݔ≥0.Поскольку 3>1,(ݔ+2)210−ݔ≥1;
ݔ2+5ݔ−610−ݔ≥0.Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем ݔ∈(−∞;−6ሿ∪ሾ1;10).С учетом области допустимых значений решением неравенства являются ݔ∈(1;2)∪(2;10).Источником ошибок при таком решении является ситуация с переходом �݃3(ݔ−1)2=2�݃3|ݔ−1|=2�݃3(ݔ−1). Одни учащиеся не записывают логарифм с модулем подлогарифмического выражения и ничего при этом не объясняют. Другие начинают раскрывать модуль по определению, что существенно удлиняет решение и приводит к новым ошибкам. Ошибочным часто бывает и решение неравенства (ݔ−1)2>0при нахождении области допустимых значений.Проведя анализ логарифмов и их произведений, некоторые ученики могут привести более лаконичное решение, а также воспользоваться обобщенным методом интервалов. Приведем эти рассуждения.�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)≥�݃9(10−ݔ).Областью допустимых значений неравенства являются ݔ∈(1;2)∪(2;10).На области допустимых значений �݃3(ݔ2−2ݔ+1)=�݃3(ݔ−1)2=2�݃3|ݔ−1|=2�݃3(ݔ−1).Далее, используя следствие из формулы перехода к новому основанию, �ܾ݃=����⇒�݃ܽ∙�ܾ݃=�ܾ݃,получаем�݃�−1√ݔ+2∙2�݃3(ݔ−1)=2�݃3(ݔ−1)∙�݃�−1√ݔ+2=2�݃3√ݔ+2==�݃3(ݔ+2)=�݃32(ݔ+2)2.Таким образом,�݃9(ݔ+2)2≥�݃9(10−ݔ).Так как 9>1,то (ݔ+2)2≥10−ݔ,ݔ2+5ݔ−6≥0,ݔ∈(−∞;−6ሿ∪ሾ1;+∞).С учетом области допустимых значений ݔ∈(1;2)∪(2;10).Заметим, что появления логарифма со знаком модуля можно избежать, если при найденной области допустимых значений рассуждать следующим образом:�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ−1)2≥�݃9(10−ݔ).Возведем в квадрат основание и подлогарифмическое выражение первого логарифма, затем воспользуемся формулой перехода к новому основанию.�݃(�−1)2(ݔ+2)∙1�݃(�−1)23≥�݃9(10−ݔ);�݃(�−1)2(ݔ+2)�݃(�−1)23≥�݃9(10−ݔ);�݃3(ݔ+2)≥�݃9(10−ݔ);�݃9(ݔ+2)2≥�݃9(10−ݔ).Далее решаем соответствующее квадратное неравенство и с учетом области допустимых значений получаем ответ. x–6110––++Решение неравенства обобщенным методом интервалов имеет следующий вид.Рассмотрим функцию ݕ=�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)−�݃9(10−ݔ),непрерывную на области определения.Область определения функции найдем из условий:ەۖ۔ۖۓݔ+2>0,ݔ−1>0,ݔ−1≠1,(ݔ−1)2>0,10−ݔ>0⇔�(ݕ)=(1;2)∪(2;10).Найдем нули функции, решив на области определения уравнение�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)−�݃9(10−ݔ)=0.�݃�−1√ݔ+2∙�݃3(ݔ2−2ݔ+1)=�݃9(10−ݔ),12�݃�−1(ݔ+2)∙�݃3(ݔ−1)2=12�݃3(10−ݔ),�݃3(ݔ+2)�݃3(ݔ−1)∙2�݃3|ݔ−1|=�݃3(10−ݔ).Так как ݔ−1>0на области определения, то |ݔ−1|=ݔ−1.2�݃3(ݔ+2)=�݃3(10−ݔ),(ݔ+2)2=10−ݔ,ݔ=1∉�(ݕ),ݔ=−6∉�(ݕ).Рассматриваемая нами функция не имеет нулей. Определим ее знак в каждом промежутке области определения:Если ݔ=7, тогда �݃63∙�݃336−�݃93=�݃636−�݃93=2−12>0.Если ݔ=43, тогда�݃13√103∙�݃319−�݃9263=−�݃13103−�݃9263=�݃91009−�݃9789=�݃910778>0.Таким образом, ݔ∈(1;2)∪(2;10).Рассмотренные выше способы решения неравенстви типичные ошибки выпускников помогут учителям более эффективно организовать работу по обучению решению логарифмических и показательных неравенств и подготовке к итоговой аттестации.
Ссылки на источники1.Результаты единого государственного экзамена в Кировской области в 2014 году: стат. сб. –Киров: КОГБУ «Центр оценки качества образования», 2014 г. –211 с.2.ЯщенкоИ.В., СеменовА.В., ВысоцкийИ.Р. Методические рекомендации по некоторым аспектам совершенствования преподавания математики. –URL: http://www.fipi.ru.3.Материалы для подготовки к ЕГЭ. –URL: http://alexlarin.net.4.Демонстрационный вариант контрольноизмерительных материалов единого государственного экзамена 2015 года по математике. Профильный уровень. –URL: http://www.fipi.ru.
x1210++Marina Zdorovenko, candidate of physicomathematical Sciences, associate Professor of applied mathematics and Informatics FGBOU VPO "Vyatka state University, Kirovzdorovenki@ngs.ruNatalia Zelenina,
candidate of pedagogical Sciences, associate Professor of fundamental and computerNoah mathematics FGBOU VPO "Vyatka state humanitarian University University", Kirovsezel@mail.ruMarina Krutikhina, candidate of pedagogical Sciences, associate Professor of fundamental and computerNoah mathematics FGBOU VPO "Vyatka state humanitarian University University", Kirovkrumarvik@mail.ruCommon mistakes and difficulties students when solving inequalities in a variety of wayson the Unified state exam in mathematics Abstract. The article is devoted to the analysis of typical errors and problems schoolnicknames when addressing inequalities in different wayson the final examination in mathematics.
Key words: mathematics education, inequality, system of inequalities, different ways of solving inequalities, the Unified state exam in mathematics.References1.(2014) Rezul'taty edinogo gosudarstvennogo jekzamena v Kirovskoj oblasti v 2014 godu: stat. sb.,KOGBU “Centr ocenki kachestva obrazovanija”, Kirov, 211 p. (inRussian).2.Jashhenko, I. V., Semenov, A. V. & Vysockij, I. R. Metodicheskie rekomendacii po nekotorym aspektam sovershenstvovanija prepodavanija matematiki. Available at: http://www.fipi.ru(in Russian).3.Materialy dlja podgotovki kEGJe. Available at: http://alexlarin.net(in Russian).4.Demonstracionnyj variant kontrol'noizmeritel'nyh materialov edinogo gosudarstvennogo jekzamena 2015 goda po matematike. Profil'nyj uroven'. Available at:http://www.fipi.ru(in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
