Занятие математического кружка в VI классе «Круги Эйлера»
ART 45103
Автор:
Н.
Ю. Софина
Н.
Ю. Софина Библиографическое описание статьи для цитирования:
Софина
Н.
Ю. Занятие математического кружка в VI классе «Круги Эйлера» // Научно-методический электронный журнал «Концепт». –
2015. – Т. 21. – С.
86–90. – URL:
http://e-koncept.ru/2015/45103.htm.
Аннотация. В статье приводится разработка занятия школьного математического кружка для VI класса, в которой подобран материал для начального знакомства с кругами Эйлера, имеющими важное прикладное значение.
Текст статьи
Софина Надежда Юрьевна,учитель математики МБОУ Гимназия №4 им. А. С. Пушкина,г. ЙошкарОлаnasofina@list.ru
Занятие математического кружка в VIклассе ©Круги Эйлераª
Аннотация. В статье приводится разработка занятия школьного математического кружка для VIкласса, в которой подобран материал для начального знакомства с кругами Эйлера, имеющими важное прикладное значение.Ключевые слова: обучение математике, математический кружок, множество, круги Эйлера, решение задач.
Внеурочная деятельность школьниковэто совокупность всех видов деятельности учащихся, в которой решение задач воспитания достигается более успешно. Внеурочная работа ориентирована на создание условий для неформального общенияучащихся, имеет выраженную воспитательную и социальнопедагогическую направленность[7, 8]. Ниже приводится технологическая карта занятияматематического кружка в VIклассепо теме©Круги Эйлераª[9,10].
Существует множество приѐмов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Решение каждой из этих задач можно красиво оформить. Логические задачи данного вида загадочны с первого взгляда, поэтому многие считаются неразгаданными. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и невызывают особых умозаключений. Эйлер наглядно изображал операции над множествами при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества, сколько бы элементов они не содержали, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур[11, 12].В ходе решения задач с помощью кругов Эйлера у шестиклассников могут быть сформированы следующие способности:
рефлексировать (видеть проблему; анализировать сделанноепочему получилось, почему не получилось; видеть трудности, ошибки);
моделировать (представлять способ действияв виде моделисхемы, выделяя всѐ существенное и главное);
вступать в коммуникацию (взаимодействовать при решении задачи, отстаивать свою позицию, принимать или аргументированно отклонять точки зрения других).ТаблицаТехнологическая карта занятия
ТемаКруги Эйлера.Цель занятияВведение понятия кругов Эйлера. Развитие познавательного интереса, воображения; привитие интереса к решению нестандартных задач графическим методом, расширение кругозора.Термины и понятияМножество. Круги (диаграммы) Эйлера.Планируемые результатыПредметныеУУДЗнать и уметь применять алгоритм решения задач с помощью кругов Эйлера.Личностные:позитивное отношение к результатам обучения в рамках изученной темы; формирование способности к самооценке геометрических составляющих окружающего мира.Регулятивные:выполнение учебного задания всоответствии с поставленной целью, использование алгоритма; осуществление взаимопроверки, взаимооценки и корректировки выполнения учебного задания.Коммуникативные:развивать навык сотрудничества со сверстниками; формировать уважительное отношение к иномумнению; обосновывать свое мнение, используя термины в рамках учебного диалога.Познавательные:развивать познавательный интерес и воображение,логическое мышление;закреплять и совершенствовать графические навыки.Межпредметные связиУчебный предмет, курсФорма работыРесурсыИКТ, историяФронтальная, индивидуальная, парная.Дидактический материал, чертежные инструменты, плакаты (или слайды).Структура учебного занятия (этапы)Виды деятельности на этапеПланируемые результатыСодержание123Мотивационный этапОрганизация учащихся, мотивация к освоению нового. Обеспечение мотивации к учению. Создание благоприятного психологического настроя на работу.Формирование практического навыка.Актуализация знаний учащихся.Ты человек, а значит, тыОбязан рассуждать А без логичной простотыТы будешь пропадать.Пусть за собой она зовѐт Уйми в коленях дрожь!Коль с Логикой пойдѐшь вперѐд Нигде не пропадѐшь!(С. Алдошин)Коллективная работа.Постройте из окружностей фигуры, изображенные на рисунке.
Рис. 1.
Фронтальный опрос.Ребята, давайте вспомним, что же мы понимаем под словом ©множествоª?Приведите примеры множеств.Этап учебнопознавательной деятельностиПостановка учебной задачи и открытие новых знанийОбеспечение восприятия, осмысленияи первичного запоминания изученной темыИзучение нового материала.Историческая справка.В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Этот метод довольно основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер.
Рис. 2.
Леонард Эйлер (17071783) математик,механик, физик. Швейцарский, немецкий и российский математик, внѐсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Почти полжизни провѐл в России, где внѐс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашѐн работать в СанктПетербург, куда переехал годом позже. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 17411766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почѐтным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.Введение понятия круги Эйлера.Круги Эйлера геометрическая схема, с помощью которойможно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.Демонстрируются слайды с типами кругов Эйлера.
Рис. 3.
Этот метод даѐт ещѐ более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.Применение кругов Эйлера на примерах.Задача.К Лене на день рождения пришли гости с подарками. Получилось так, что дарили только коробки конфети сувениры. Шесть гостей подарили конфеты, четыре сувениры. Сколько было гостей?Решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным.
Рис. 4.
ФизкультминуткаСмена видов деятельности в игровой формеСнятие утомляемости уучащихсяСпал цветок (закрыть глаза, расслабиться, помассировать веки, слегка надавливая на них, по часовой стрелке и против неѐ)И вдруг проснулся (поморгать),Больше спать не захотел (руки поднять вверх вдох, посмотреть на руки),Встрепенулся, потянулся (руки согнуть, развести в стороны выдох),Взвился вверх и полетел (потрясти кистями рук, посмотреть вправовлево)Этап закрепления практических навыковПланирование иосуществление деятельности, направленной на решение задач.Формирование умения оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности. Развитие творческих способностей. Сотрудничество с учителем.Задача(на 2 множества):В школе № 101 в 5ом классе преподают 8 учителей, а в 6ом классе 9 учителей, причѐм 5 из них преподают и в 5ом, и в 6ом классах. Сколько всего учителей ведут преподавание в 5ом и 6ом классах этой школы?(Ответ: 12 учителей)Построение логического рассуждения, умозаключения (индуктивного, дедуктивного и по аналогии); формулировка выводов.Формирование познавательного интереса к изучению предмета. Развитие практических навыков при решении задач на применение кругов Эйлера.Задача (более 2 множеств):Всего в классе32 ученика. Из них занимаются баскетболом23 человека, хоккеем24 человека, волейболом16 человек. Баскетбол и хоккей посещают6 человек, баскетбол и волейбол4 человека, волейбол и хоккей 4 человека.Причѐм 3 человека вообще не занимаются спортом.Сколько человек занимаются всеми видами спорта? В одной спортивной секции?Решение.
Рис. 5.
1)323=29(ч) играют хотя бы в одну игру2)236 4z = 13z (ч) играют только в баскетбол3)2464z=14z(ч) играют только в хоккей4)1644z=8z(ч) играют только в волейбол5)13z+14z+8z+(4+6+42z)=29 (ч)
всего спортсменов495z=295z=20z=4 Четвероребят занимаются 3мя видами спорта
13z=9; 14z=10; 8z=4(ч) только в одной спортивной секции.Ответ: 9 ребят занимаются только баскетболом, 10 только хоккеем, 4 только волейболом; 4всеми тремя видами спорта.Самостоятельная работа.IвариантВ нашем доме 18 человек грибники, 21 любители рыбной ловли, причѐм 10 из них любят собирать грибы и ловить рыбу. Сколько человек нашего дома занимаются сбором грибов или рыбной ловлей?(Ответ: 29 человек)IIвариантНа берегу озера собралась группа людей 32 человека. Все они или плавают, или играют в волейбол. Известно, что 22 из нихпловцы, 18волейболисты. Сколько человек из этой группы занимаютсятем и другим видом спорта?(Ответ: 8 человек)Работа в парах: взаимопроверка решения самостоятельной работы.Игровой этапАктуализация знаний в игровойформе.Снятие утомляемости. Развитие внимания, наблюдательности.Дидактическая игра ©Тритритри…ª.Вместо слов, включающих в себя цифру 3 и делящееся на 3, хлопать в ладоши.Например: ©Раз, два, (хлопок),четыре, пять, (хлопок),…ª.Тот, кто сбивается, выходит изигры. Побеждает тот, кто просчитает дольше всех.Подведение итогов занятия(рефлексия)Оценивание собственных возможностей при решении задач. Осуществление анализа своей деятельности в Выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.А сейчас все вместе давайте попробуем составить алгоритм для решения задач, с помощью кругов Эйлера. Какие этапы решения и в каком порядке вы можете предложить?Записатькраткое условие задачи;Выполнитьрисунок;Записатьданные в круги (в диаграмму Эйлера);учебном процессе.Выбратьусловие, которое содержит больше свойств;Анализировать, рассуждать, записываярезультаты в части круга (диаграммы);Записыватьответ.Представьте себе, что уроки уже закончились. Вы идѐте домой и думаете о нашем сегодняшнем занятии. Неожиданно встречаете своего друга или подругу. О чем бы вам захотелось рассказать? Что больше всего вам запомнилось или понравилось?Домашнее задание.Придумать и решить 2 задачи: 1) для 2 кругов Эйлера; 2) для 3 круговЭйлера.
Ссылки на источники1.Горев П. М., Утѐмов В. В. Уроки развивающей математики. 56 классы: Задачи математического кружка: Учебное пособие. Киров: Издво МЦИТО, 2014. 207 с.2.Смыкалова Е.В., Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса. СПб: СМИО Пресс, 2005.48 с.3.Смыкалова Е.В., Развивающее обучение по математике.Книга для учителя. СПб: СМИО Пресс, 2005. 64 с.4.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительныеглавы к школьному учебнику8 кл.: Учебноепособие для учащихся школиклассов с углублѐнным изучением математики/ Под ред. Г.В. Дорофеева.М.: Просвещение, 1996.207 с.5.Макарычев Ю.Н. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углублѐнным изучением математики/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.2е изд.М.: Просвещение, 2001.143 с.6.Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. М: народное образование, 2008.256 с.7.Горев П. М. Уроки развивающей математики в 56х классах средней школы // Концепт. 2012. № 10 (октябрь). ART 12132. URL: http://ekoncept.ru/2012/12132.htm. 8.Горев П. М. Виды учебной деятельности школьников и приобщение к творчеству во внеклассной работе по математике // Концепт. 2011. 1 квартал 2011. ART 11102. URL: http://ekoncept.ru/2011/11102.htm.9.Горев П. М. Формирование творческой деятельности школьников в дополнительном математическом образовании: Автореф. дис. … канд. пед. наук. Киров, 2006. 19 с.10.Горев П. М. Формирование творческой деятельности школьников в дополнительном математическом образовании: Дис. … канд. пед. наук. Киров, 2006. 158 с.11.Тестов В.А. Некоторые методологические проблемы определения качества образования // Педагогика. 2008. № 4. С. 2228. 12.Тестов В.А. О проблеме обновления содержания обучения математике в школе // В сборнике: Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики Материалы Всероссийской научнопрактической конференции. ФГБОУ ВПО Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко. Глазов, 2009. С. 106111.
Занятие математического кружка в VIклассе ©Круги Эйлераª
Аннотация. В статье приводится разработка занятия школьного математического кружка для VIкласса, в которой подобран материал для начального знакомства с кругами Эйлера, имеющими важное прикладное значение.Ключевые слова: обучение математике, математический кружок, множество, круги Эйлера, решение задач.
Внеурочная деятельность школьниковэто совокупность всех видов деятельности учащихся, в которой решение задач воспитания достигается более успешно. Внеурочная работа ориентирована на создание условий для неформального общенияучащихся, имеет выраженную воспитательную и социальнопедагогическую направленность[7, 8]. Ниже приводится технологическая карта занятияматематического кружка в VIклассепо теме©Круги Эйлераª[9,10].
Существует множество приѐмов, которые используются при решении текстовых логических задач. Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Решение каждой из этих задач можно красиво оформить. Логические задачи данного вида загадочны с первого взгляда, поэтому многие считаются неразгаданными. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и невызывают особых умозаключений. Эйлер наглядно изображал операции над множествами при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества, сколько бы элементов они не содержали, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур[11, 12].В ходе решения задач с помощью кругов Эйлера у шестиклассников могут быть сформированы следующие способности:
рефлексировать (видеть проблему; анализировать сделанноепочему получилось, почему не получилось; видеть трудности, ошибки);
моделировать (представлять способ действияв виде моделисхемы, выделяя всѐ существенное и главное);
вступать в коммуникацию (взаимодействовать при решении задачи, отстаивать свою позицию, принимать или аргументированно отклонять точки зрения других).ТаблицаТехнологическая карта занятия
ТемаКруги Эйлера.Цель занятияВведение понятия кругов Эйлера. Развитие познавательного интереса, воображения; привитие интереса к решению нестандартных задач графическим методом, расширение кругозора.Термины и понятияМножество. Круги (диаграммы) Эйлера.Планируемые результатыПредметныеУУДЗнать и уметь применять алгоритм решения задач с помощью кругов Эйлера.Личностные:позитивное отношение к результатам обучения в рамках изученной темы; формирование способности к самооценке геометрических составляющих окружающего мира.Регулятивные:выполнение учебного задания всоответствии с поставленной целью, использование алгоритма; осуществление взаимопроверки, взаимооценки и корректировки выполнения учебного задания.Коммуникативные:развивать навык сотрудничества со сверстниками; формировать уважительное отношение к иномумнению; обосновывать свое мнение, используя термины в рамках учебного диалога.Познавательные:развивать познавательный интерес и воображение,логическое мышление;закреплять и совершенствовать графические навыки.Межпредметные связиУчебный предмет, курсФорма работыРесурсыИКТ, историяФронтальная, индивидуальная, парная.Дидактический материал, чертежные инструменты, плакаты (или слайды).Структура учебного занятия (этапы)Виды деятельности на этапеПланируемые результатыСодержание123Мотивационный этапОрганизация учащихся, мотивация к освоению нового. Обеспечение мотивации к учению. Создание благоприятного психологического настроя на работу.Формирование практического навыка.Актуализация знаний учащихся.Ты человек, а значит, тыОбязан рассуждать А без логичной простотыТы будешь пропадать.Пусть за собой она зовѐт Уйми в коленях дрожь!Коль с Логикой пойдѐшь вперѐд Нигде не пропадѐшь!(С. Алдошин)Коллективная работа.Постройте из окружностей фигуры, изображенные на рисунке.
Рис. 1.
Фронтальный опрос.Ребята, давайте вспомним, что же мы понимаем под словом ©множествоª?Приведите примеры множеств.Этап учебнопознавательной деятельностиПостановка учебной задачи и открытие новых знанийОбеспечение восприятия, осмысленияи первичного запоминания изученной темыИзучение нового материала.Историческая справка.В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Этот метод довольно основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер.
Рис. 2.
Леонард Эйлер (17071783) математик,механик, физик. Швейцарский, немецкий и российский математик, внѐсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Почти полжизни провѐл в России, где внѐс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашѐн работать в СанктПетербург, куда переехал годом позже. С 1731 по 1741, а также с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 17411766 годах работал в Берлине, оставаясь одновременно почѐтным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском.Введение понятия круги Эйлера.Круги Эйлера геометрическая схема, с помощью которойможно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.Демонстрируются слайды с типами кругов Эйлера.
Рис. 3.
Этот метод даѐт ещѐ более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.Применение кругов Эйлера на примерах.Задача.К Лене на день рождения пришли гости с подарками. Получилось так, что дарили только коробки конфети сувениры. Шесть гостей подарили конфеты, четыре сувениры. Сколько было гостей?Решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным.
Рис. 4.
ФизкультминуткаСмена видов деятельности в игровой формеСнятие утомляемости уучащихсяСпал цветок (закрыть глаза, расслабиться, помассировать веки, слегка надавливая на них, по часовой стрелке и против неѐ)И вдруг проснулся (поморгать),Больше спать не захотел (руки поднять вверх вдох, посмотреть на руки),Встрепенулся, потянулся (руки согнуть, развести в стороны выдох),Взвился вверх и полетел (потрясти кистями рук, посмотреть вправовлево)Этап закрепления практических навыковПланирование иосуществление деятельности, направленной на решение задач.Формирование умения оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности. Развитие творческих способностей. Сотрудничество с учителем.Задача(на 2 множества):В школе № 101 в 5ом классе преподают 8 учителей, а в 6ом классе 9 учителей, причѐм 5 из них преподают и в 5ом, и в 6ом классах. Сколько всего учителей ведут преподавание в 5ом и 6ом классах этой школы?(Ответ: 12 учителей)Построение логического рассуждения, умозаключения (индуктивного, дедуктивного и по аналогии); формулировка выводов.Формирование познавательного интереса к изучению предмета. Развитие практических навыков при решении задач на применение кругов Эйлера.Задача (более 2 множеств):Всего в классе32 ученика. Из них занимаются баскетболом23 человека, хоккеем24 человека, волейболом16 человек. Баскетбол и хоккей посещают6 человек, баскетбол и волейбол4 человека, волейбол и хоккей 4 человека.Причѐм 3 человека вообще не занимаются спортом.Сколько человек занимаются всеми видами спорта? В одной спортивной секции?Решение.
Рис. 5.
1)323=29(ч) играют хотя бы в одну игру2)236 4z = 13z (ч) играют только в баскетбол3)2464z=14z(ч) играют только в хоккей4)1644z=8z(ч) играют только в волейбол5)13z+14z+8z+(4+6+42z)=29 (ч)
всего спортсменов495z=295z=20z=4 Четвероребят занимаются 3мя видами спорта
13z=9; 14z=10; 8z=4(ч) только в одной спортивной секции.Ответ: 9 ребят занимаются только баскетболом, 10 только хоккеем, 4 только волейболом; 4всеми тремя видами спорта.Самостоятельная работа.IвариантВ нашем доме 18 человек грибники, 21 любители рыбной ловли, причѐм 10 из них любят собирать грибы и ловить рыбу. Сколько человек нашего дома занимаются сбором грибов или рыбной ловлей?(Ответ: 29 человек)IIвариантНа берегу озера собралась группа людей 32 человека. Все они или плавают, или играют в волейбол. Известно, что 22 из нихпловцы, 18волейболисты. Сколько человек из этой группы занимаютсятем и другим видом спорта?(Ответ: 8 человек)Работа в парах: взаимопроверка решения самостоятельной работы.Игровой этапАктуализация знаний в игровойформе.Снятие утомляемости. Развитие внимания, наблюдательности.Дидактическая игра ©Тритритри…ª.Вместо слов, включающих в себя цифру 3 и делящееся на 3, хлопать в ладоши.Например: ©Раз, два, (хлопок),четыре, пять, (хлопок),…ª.Тот, кто сбивается, выходит изигры. Побеждает тот, кто просчитает дольше всех.Подведение итогов занятия(рефлексия)Оценивание собственных возможностей при решении задач. Осуществление анализа своей деятельности в Выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.А сейчас все вместе давайте попробуем составить алгоритм для решения задач, с помощью кругов Эйлера. Какие этапы решения и в каком порядке вы можете предложить?Записатькраткое условие задачи;Выполнитьрисунок;Записатьданные в круги (в диаграмму Эйлера);учебном процессе.Выбратьусловие, которое содержит больше свойств;Анализировать, рассуждать, записываярезультаты в части круга (диаграммы);Записыватьответ.Представьте себе, что уроки уже закончились. Вы идѐте домой и думаете о нашем сегодняшнем занятии. Неожиданно встречаете своего друга или подругу. О чем бы вам захотелось рассказать? Что больше всего вам запомнилось или понравилось?Домашнее задание.Придумать и решить 2 задачи: 1) для 2 кругов Эйлера; 2) для 3 круговЭйлера.
Ссылки на источники1.Горев П. М., Утѐмов В. В. Уроки развивающей математики. 56 классы: Задачи математического кружка: Учебное пособие. Киров: Издво МЦИТО, 2014. 207 с.2.Смыкалова Е.В., Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса. СПб: СМИО Пресс, 2005.48 с.3.Смыкалова Е.В., Развивающее обучение по математике.Книга для учителя. СПб: СМИО Пресс, 2005. 64 с.4.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительныеглавы к школьному учебнику8 кл.: Учебноепособие для учащихся школиклассов с углублѐнным изучением математики/ Под ред. Г.В. Дорофеева.М.: Просвещение, 1996.207 с.5.Макарычев Ю.Н. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углублѐнным изучением математики/Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк.2е изд.М.: Просвещение, 2001.143 с.6.Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. М: народное образование, 2008.256 с.7.Горев П. М. Уроки развивающей математики в 56х классах средней школы // Концепт. 2012. № 10 (октябрь). ART 12132. URL: http://ekoncept.ru/2012/12132.htm. 8.Горев П. М. Виды учебной деятельности школьников и приобщение к творчеству во внеклассной работе по математике // Концепт. 2011. 1 квартал 2011. ART 11102. URL: http://ekoncept.ru/2011/11102.htm.9.Горев П. М. Формирование творческой деятельности школьников в дополнительном математическом образовании: Автореф. дис. … канд. пед. наук. Киров, 2006. 19 с.10.Горев П. М. Формирование творческой деятельности школьников в дополнительном математическом образовании: Дис. … канд. пед. наук. Киров, 2006. 158 с.11.Тестов В.А. Некоторые методологические проблемы определения качества образования // Педагогика. 2008. № 4. С. 2228. 12.Тестов В.А. О проблеме обновления содержания обучения математике в школе // В сборнике: Преподавание математики в вузах и школах: проблемы содержания, технологии и методики Материалы Всероссийской научнопрактической конференции. ФГБОУ ВПО Глазовский государственный педагогический институт им. В.Г. Короленко. Глазов, 2009. С. 106111.
