Поэтапность формирования понятия о скалярной величине

В настоящее время в математическом образовании основной проблемой является низкая учебная мотивация школьников, что связано, прежде всего, с тем, что в процессе изучения математики не достигается понимание основных математических понятий. Такое непонимание основных понятий во многом объясняется тем, что в обучении не соблюдается необходимая последовательность этапов, ступеней в формировании понятий о математических структурах. Необходимо, как отмечал француз­ский математик Г. Шоке, идти от одного уровня мышления к другому. Задача преподавания помогать ребенку постоянно реконструировать свой умственный мир посредством переходов от одного уровня мышления к другому. Ф. Клейн в своих лекциях для учителей также отмечал необходимость предварительных этапов в изучении основных математических понятий.

В соответствии с этим взглядом, как показано в работах [6], [7], [8], процесс обучения следует рассматривать как многоуровневую систему с обязательной опорой на нижележащие, более конкретные уровни научного познания. Без такой опоры обучение может стать формальным, дающим знание без понимания. В качестве примера использования концепции поэтапности формирования основных понятий рассмотрим процесс формирования в обучении математике понятия величины.

Исторически положительные скалярные величины, как обобщение таких понятий, как длина, площадь, объем, масса, температура и т.д., стали использоваться одними из первых. По мнению видного американского математика Г. Биркгоффа идея величины является более глубокой и более важной, чем понятия и логика арифметики [1, с.61]. Это понятие безусловно может быть отнесено к числу ведущих, стержневых понятий курса математики.

Величины являются составной частью содержания не только мате­ма­тики, но и физики, астрономии, химии, биологии и других наук. Величины существуют не сами по себе, а как отражение различных свойств реальных объектов. Так свойству инертности соответствует величина, называемая массой, свойству пространственной протяженности – длина и т.д.

В первом приближении величины – это такие свойства объектов, которые можно сопоставлять, сравнивать для разных объектов одного и того же рода. Например, в экономике величинами являются такие по­нятия, как рентабельность, прибыль и т.д. Известный французский математик Жан Дарбу предпочитал основываться на следующем старом определении Л. Эйлера: "величина есть все то, что способно увели­чиваться или уменьшаться". К такому определению величины другие математики (например, А.Лебег) относились критически из-за его чрез­мерной широты, хотя, как будет показано ниже, дидактически целесо­образно это определение взять за основу на определенном этапе раз­вития мышления ребенка.

Величины тесно связаны с понятием измерения. Измерения являются одним из путей познания человеком окружающего мира. Результат измерения выражается числовым значением величины. В процессе исторического развития роль измерений непрерывно возрастает.

Но не каждое свойство объектов, явлений можно измерить. "Надо помнить, – писал академик А.Н.Крылов, – что есть множество "величин", т.е. того, к чему приложены понятия "больше" и "меньше", но ве­личин точно не измеримых, например, ум и глупость, красота и безоб­разие, храбрость и трусость, находчивость и тупость и т.д. Для измере­ния этих величин нет единиц, эти величины не могут быть выражены числами..." [4, с.3].

Такие неизмеряемые величины в отличие от привычных измеряе­мых величин называют латентными. Сравнение таких величин воз­можно лишь на некоторой интуитивной основе. Однако с развитием науки и на­копле­нием знаний многие величины, ранее причислявшиеся к латентным, стали измеряемыми.

Понятие величины всегда связывалось с числами. Исторически чис­ло возникло в результате счета предметов и измерений величин. На это обстоятельство указывал еще древнегреческий философ Аристотель. В принципе понятие величины в математике можно вовсе не вводить и огра­ничиться понятием числа. Однако понятие величины имеет ясно выра­женную прикладную направленность и поэтому в школьном кур­се математики наряду с изучением конкретных величин важно, чтобы учащиеся получили достаточно полное и в то же время доступное пред­ставление об этом по­нятии, каковы свойства величины и как ее изме­рить.

В связи с этим необходимо обратить внимание на разработку согласо­ванного подхода к трактовке понятия величины и смежных с ним по­нятий в курсах математики и физики. В практике пре­подавания наблю­дается неко­торая изолированность этих дисцип­лин. Многие из этих понятий (вели­чи­на, измерение величин, число, погрешность и др.) по­лучают неодно­знач­ную трактовку в различ­ных разделах математики и физики, имеются раз­личия в терми­нологии и символике этих учебных предметов. Такое поло­жение объясняется тем, что математика и физи­ка рассматривают один и тот же объект (в данном случае понятие вели­чины) с различных точек зре­ния.

Весьма важным является изучение величин и в вузе, особенно педа­гогическом. Учитель математики должен быть всесторонне подготов­лен к изложению различных аспектов этого понятия, знать современ­ные науч­ные подходы к этому понятию, его математические и логи­ческие тонкости. К сожалению, этот вопрос выпал из программы математических кур­сов педвузов. Вопросы измерения геометрических ве­личин оказались разбросанными по разным математичес­ким дисциплинам.

Понятие величины включено в программу курса математики для сту­дентов факультетов подготовки учителей начальных классов, поскольку это понятие является базовым в программе по математике Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова. Однако не только школьники, но и часто учителя начальных классов обычно затрудня­ют­ся ответить на вопрос, что же такое величина. Дело, по-видимому, заклю­чается в том, что в силу сложности вопроса, определение величины в яв­ном виде отсутствует не только в упомя­ну­том школьном учебнике, что вполне объяснимо, но и в учебнике для студентов педучилищ и в мето­дических пособиях для учи­телей. Между тем имеется определение величины, вполне приемлемое на первом этапе изучения этого понятия и вполне доступ­ное студен­там.

Большое значение изучению понятия величины в школьном курсе математики придавали как ученые-математики (А.Н.Колмогоров, Н.Я.Виленкин и др.), так и психологи (В.В.Давыдов). Однако, несмотря на усилия этих известных ученых, понятие величины в школьной (а в ряде случаев и в вузовской) математике до сих пор обычно остается без определения и поэтому в практике препода­вания часто встречается несколько вольное обращение с этим понятием. Более того, приводимые в учеб­ной математической литературе опреде­ления этого понятия даются с различных позиций, на раз­ном уровне стро­гости, к тому же и сами величины бывают разной при­роды (скалярные, векторные, тензор­ные). Как совершенно верно отметил Г. Фройденталь, у математиков есть склонность стричь все скалярные величины под одну гребенку. Между тем нужно помнить о различном происхождении и характере отдельных вели­чин и понимать зависимо­сти между ними [9, с.123-124].

Основной недостаток, на наш взгляд, в изучении величин состоит в том, что не выде­лены четко этапы, уровни форми­рования этого понятия. Все это приводит к тому, что учащиеся не имеют четкого представления об этом по­нятии. Изучение величин идет на протяжении длительного промежутка време­ни на всем протяжении обучения в школе и частично в вузе, при­чем не только на уроках математики, но и на уроках физики. Понятие ве­личины в процессе своего формирования проходит не­сколько эта­пов. Первый этап, дочисловой, соответствует уровню мышления, который можно назвать уровнем конк­ретных множеств (возраст учащихся 6-7 лет) [5].

На этом этапе можно исходить из следую­щего самого общего, самого широкого опреде­ления величины: величинами одного рода называются элементы некото­рого линейно упорядоченного множества.

Это определение означает, что на множестве величин одного рода за­дано отношение "<", удовлетворяющее условиям антирефлексивности (т.е. ни для какого элемента x не может быть x<x), транзитивности (т.е. из x<y и y<z следует x<z) и трихотомии (т.е. для любых элементов x и y имеет место одно и только одно из соотношений x=y, x>y или x<y).

Именно такое определение величины подразумевается, хотя, разу­ме­ется, и не приво­дится, в учебнике по математике для 1 класса, напи­санном по программе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова. Это определение фак­тически совпадает с определением величины, данным извест­ным российским геометром В.Ф. Каганом: вели­чиной называют вся­кое множество, для элементов которого устано­влены критерии срав­не­ния, удовлет­воря­ющие некоторым постула­там [2, с.101]. Эти по­сту­ла­ты в современной термино­логии как раз и означают выпол­ни­мость для отношения "<" ус­ловий трихо­томии и транзитивности, а для отноше­ния "=" кроме транзи­тивности еще симметричности и рефлексивности (т.е. x=y → y=x и x=x).

Отличие состоит в том, что В.Ф. Каган называет величиной не эле­мент линейно упорядо­ченного множества, а все такое множество. Оп­ределение В.Ф. Кагана было перенято В.В. Давыдовым при построе­нии своей программы по математике, в основу которой было положе­но понятие величи­ны. Однако другие математики, например А.Н. Кол­могоров, называют величинами именно элементы упорядо­ченного множества, а не все мно­жество [3]. 

Поскольку любое числовое множество (подмножество в R) является линейно упорядочен­ным, то, согласно нашему определению, число – это частный случай вели­чины. Это позволяет обеспечить единство в изучении различных видов действительного числа и вводить в дальнейшем все виды действительного числа как некоторые величины.

Многолетний опыт работы ряда школ по программе Д.Б. Эльконина - В.В. Да­выдова показывает доступность такого понимания величины для  6-7-летних учащихся.

В определении величины, кроме существования линейного порядка, обычно предполагается, что определена еще операция сложения, обладающая оп­ределенными свойствами. Однако у ребенка понятие об операции сложения величин фор­мируется позднее, чем понятие о самой величине, как способ выравнива­ния величин, как переход от нера­венства к равенству. Этот способ введе­ния операции сложения (и вычи­тания) имеет вполне научное основание и практически осуществлен в уже упоминавшемся учебнике. К тому же есть величины, складывать которые бессмысленно, поскольку они не обладают свой­ством аддитивности (т.е. ρ(А+В) ≠ ρ(А)+ ρ(В)). Таковы, например, температура разных тел, рентабельность, внимание и т.д.

Поэтому включать требование выполнимости операции сложения в определение величины более целесообразно уже на следующем этапе формирования этого понятия.

На уровне конкретных структур возникает потребность в уточнении по­нятия величины. После того, как учащиеся получат первоначальное представление о таких величинах, как длина, научатся складывать такие величины, выяснят смысл этой опера­ции и ее свойства, можно переходить к новому этапу в форми­ровании понятия о величине, к ново­му ее пониманию. На этом этапе можно исходить из следующего определения:

Положительными скалярными величинами называются элементы линейно упоря­доченного множества, в котором, кроме отношения поряд­ка "<", определена опе­рация сложения и выполняются следующие усло­вия:

1)  a+b=b+a               (коммутативность сложения);

2)  a+(b+c)=(a+b)+c  (ассоциативность сложения);

3)  a<b  a+c<b+c    (монотонность сложения);

4)  если a<b, то существует единственная величина с такая, что a+c=b      (возможность вычитания);

5) для любой величины а и любого натурального числа n сущест­вует величина b такая, что nb=a (возможность деления на n равных частей).

Это определение отличается от определения А.Н. Колмогорова тем, что свойство монотонности приведено в другом виде, при­годном для сле­дующего этапа, и отсутствует свойство архимедовости, которое вы­пол­ня­ется не для всех величин (имеются неархимедовы величины) и с которым лучше познакомиться на следующем этапе одновременно с теорией изме­рений.

Разумеется, и на этом этапе нецелесообразно давать определение ве­личины в явном виде, однако о свойствах скалярной величины (свойст­вах 1-5) учащиеся должны иметь представление.

На уровне синтеза структур, после того как учащиеся изучат отри­ца­тельные числа и начнут изучать физические величины, целесооб­раз­но познакомит их и с отрицательными скалярными величинами. На этом этапе в основу определения величины могут быть положены акси­омы упоря­доченной группы. Эти аксиомы, как указывал Г. Биркгофф, могут рассматриваться как эмпирические свойства величины [1, с. 61].

Системой скалярных величин  называется линейно упорядоченное множество V, в котором, кроме отношения порядка "<", определена операция сложения и выполняются следующие условия:

1)  a+b=b+a              (коммутативность сложения);

2)  a+(b+c)=(a+b)+c  (ассоциативность сложения);

3)  a+0=a                  (существование нулевого элемента);

4)  a+(a)=0           (существование противоположного элемента);

5)  a<b  a+c<b+c    (монотонность сложения);

6)  для любой величины а и любого натурального числа n сущест­вует величина b такая, что nb=a (возможность деления на n равных частей).

И на этом этапе в массовой школе определение скалярных величин должно присутствовать только в неявном виде. Особое внимание на этом этапе изучения величин следует уделить взаимосвязям математики и физики. Если в математике величина рассматривается как понятие абстрактное, определенное косвенно или непосредственно через ту или иную систему аксиом, то в физике понятие величины считается интуи­тивно ясным, поэтому ограничиваются описательными определения­ми, не претендую­щими на высокую степень строгости. Поэтому следу­ет обеспечить согла­сование прежде всего по следующим аспектам:

- введение общих представлений о скалярных величинах, их отли­чий от векторных величин, о действиях с величинами;

- общность подходов к терминологии и символике;

- общность подходов к измерению величин.

При введении конкретных геометрических величин (длина отрезка, площадь, объем) следует специально выделять те их свой­ства, которые являются фундаментальными. Особенно важным при рассмотрении величин является изучение длины –одного из основных понятий геометрии, она более математична, более осязаема для учащихся, чем темпе­ратура или масса. Длина является конкретной моделью понятия величины, на которой можно вполне наглядно изучить все основные свой­ства этого понятия.

В явном виде аксиоматику скалярных величин целесообразно вве­сти на следующем этапе, на уровне содержательных структур (причем только в классах с углубленным изучением математики или в вузе). На этом же эта­пе можно ввести дополнительную аксиому – условие непре­рывности, увязав это условие со свойством непрерывности (полноты) действительных чисел. Из всех различных форм условия непре­рывно­сти наибольшие преимущества, на наш взгляд, имеет следующая, идущая от Дедекинда, форма:

7)  если X и Y– непустые подмножества множества V и X лежит левее Y (т.е. для любого x из X и для любого y из Y  x≤y), то существует элемент c, разделяющий эти под­множества  (т.е. для любого x и для любого y  x≤с≤y).

Эта форма условия непрерывности допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Из этого условия, как следствие, может быть получено следующее свойство:

8) Множество непрерывных скалярных величин является архимедово упорядочен­ным, т.е. для любых a и b из множества V (a>0)  найдется натуральное n такое, что na>b.

Такое аксиоматическое изложение теории скалярных величин весьма полезно для будущих учителей математики и позволяет устранить пробе­лы в изучении величин, отмеченные выше.

Особую роль в теории скалярных величин играет условие архимедовости порядка. При выполнимости этого условия система скалярных величин фактически исчерпывается действительными числами. Этот замечательный факт вытекает из теоремы, доказанной для упорядоченных групп Гельдером: система скалярных вели­чин V с архимедовым по­рядком изоморфна (с сохранением порядка) подгруппе аддитивной группы действительных чисел с естественным порядком. Эту теорему, являющуюся вершиной теории архимедовых скалярных величин, целесообразно рассмотреть уже на уровне абстрактных структур в вузе.

Кроме архимедовых величин существуют и неархимедовы скалярные величины. Такие неархимедовы величины тесно связаны с гипердействительными числами и с основными идеями нестандартного анализа, которые находят все более широкое при­менение в преподавании математики на различных этапах обучения.