Nikita BokarevАннотация: В работе предпринята попытка найти общие полные решения некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя переменными, проследить некоторые закономерности, предложить общие подходы, которые будучи элементарными, тем не менее, приводят к решению подобных уравнений. Использование арифметических функций позволило записать найденные решения в виде единой формулы без ограничений на используемые параметры.
Ключевые слова: диофантово уравнение, уравнения второй степени от трёх переменных.
Работа посвящена одному из центральных разделов теории чисел – теории диофантовых уравнений.
В прошлом году мы работали с уравнением Пифагора: а² + b² = с², где а, b, с – натуральные числа, имеющее бесконечное множество решений. Работа была построена на отыскании общей формулы для задания всех решений уравнения Пифагора. Дело в том, что в источниках, изученных нами, нет единой формулы для задания всех решений. Известные решения состояли из объединения двух формул. Исключением оказалась аннотация работы казахстанского учёного Кожегельдинова С. Ш. [1], который предложил одну общую формулу, задающую все решения уравнения Пифагора на основе использования арифметических функций. В своей работе мы самостоятельно нашли способы вывода такой формулы, показали при каких параметрах из выведенной нами формулы можно получить решения, предлагавшиеся другими авторами [2] – [4], применили полученные знания к решению уравнения Пифагора в числах, обратных натуральным, рассмотрели перспективы дальнейшей работы над отысканием решений диофантовых уравнений.
В рамках рассмотренных перспектив и была построена наша нынешняя работа.
Новизна данной работы состоит в применении арифметических функций при решении рассматриваемых задач, что позволяет записать одну общую формулу решений, вместо объединения нескольких формул, предлагаемых в известной литературе, при этом, выбранные параметры не имеют ограничений (например, по чётности).
Решение неопределённых уравнений имеет не только теоретический интерес. К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения величины могут быть только целыми числами. Например, космические, астрономические задачи, задачи арифметической геометрии. Связь между данным вопросом теории чисел и свойствами правильных точечных решёток позволила развить и методы изучения последних, сыгравших чрезвычайно важную роль в решении ряда основных задач кристаллографии. Непосредственно задачи кристаллографии, а именно описание кристаллических решёток с помощью целочисленных уравнений, которые задают положение атомов в структуре кристаллической решетки, и послужило отправным пунктом для написания этой работы.
Имеется практическая необходимость выработать стандартный способ нахождения всех решений диофантовых уравнений второй степени и выше с двумя и более переменными, но на сегодняшний день, не существует единого способа или приёма, позволяющего решить любое диофантово уравнение, если его степень выше первой.
Указанное противоречие позволило сформулировать цель и задачи нашей работы, исходя из уровня личных знаний.
Нахождение способа задания общей формулы всех решений некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя неизвестными на множестве натуральных чисел.
Если удастся найти способ задания общей формулы для нахождения всех решений некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя неизвестными, то возможно удастся применить полученные результаты и для решения других задач данного раздела математики, а может быть и для диофантовых уравнений определённых видов второй и выше степени с двумя и более переменными, так как многие проблемы математики решались для частных случаев, а после обобщались.
Объект исследования: некоторые диофантовы уравнения второй степени с тремя переменными.
Предмет исследования: процесс нахождения общего решения некоторых неопределённых уравнений второй степени с тремя переменными на множестве натуральных чисел.
Задачи:
1. Познакомиться с методами и приёмами, использовавшимися для решения уравнения Пифагора и задач, связанных с ним.
2. Рассмотреть возможность использования арифметических функций к решению близких диофантовых уравнений.
3. Самостоятельно вывести общую формулу некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя переменными.
4. В случае удачи, рассмотреть возможность применения полученных результатов к решению более общих задач неопределённого анализа.
Планирование ожидаемых результатов:
Работа над проектом поможет найти общую формулу решений некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя переменными и оценить перспективы применения полученных результатов для решения других неопределённых уравнений второй степени.
Полученные результаты могут быть использованы в кристаллографии. Например, при изучении пространственной изомерии, структур решёток веществ, имеющих плоское или плоско-сетчатое строение, как, например, графит.
Критерии оценки ожидаемых результатов:
- выявление возможности использования арифметических функций к решению некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя неизвестными на множестве натуральных чисел;
- нахождение единой формулы всех решений некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя переменными;
- рассмотрение возможности использования полученных результатов для решения близких задач. 
При k = 1 из формулы (8) получается формула (7). Положив в формуле (8) а и в конкретными числами найдём частные решения уравнения (1). Например, при k = 1
является квадратом некоторого числа, другое – удвоенным квадратом того же или другого числа. Иначе говоря, если первое число является квадратом некоторого числа, то второе – удвоенным квадратом того же или другого числа и наоборот, если второе число является квадратом некоторого числа, то первое – удвоенным квадратом того же или другого числа. При этом нетрудно доказать, что если числа m и n взаимно простые, то и числа (*) будут взаимно простыми. § 2.2 Решить уравнение х² + 2у² = z² (9) где x, y, zϵ N.
Прежде чем переходить к решению уравнения (9) заметим, что для любых чисел m, n ϵ N одно из двух чисел
В самом деле, пусть (m, n) = 1. Тогда, если:
1) m – нечётно, то при любой чётности n число (2, m) = 1 и, следовательно,
2) m – чётно (следовательно, n – нечётно), то при (2, m) = 2. Пусть m = 2k, где k ϵ N. Поэтому будем иметь, что
Таким образом, в обоих случаях получаем, что числа (*) взаимно простые, если (m, n) = 1.
Очевидно, что если ‹a, b, c› – решение (26), то и любая тройка ‹ka, kb, kc›, где k ϵ N, также является решением (26). Поэтому достаточно найти общую формулу всех основных троек, то есть таких, для которых (х, у, z) = 1. Для отыскания такой формулы будем рассматривать не уравнение (26), а равносильное ему уравнение
2y² = (z + x)(z – х), (10)
где x, y, zϵ N, z– x ˃ 0. Так как левая часть уравнения (10) делится на 2, то и правая часть должна быть чётной. Если
Положив в формуле (14) k= 1 получим формулу (13), которая является общей формулой всех основных троек. Подставив в формулу (14) конкретные числаmи nмы получим частные решения уравнения (9). Например, при k= 1 имеем
Легко показать, что если в уравнении (12) положить
§ 2.3 Рассмотрим более сложное уравнение
х² + ру² = z² (16)
где р, x, y, zϵ N,р – простое число.
При решении этого равнения будем пользоваться обозначениями и результатами, полученными в предыдущих пунктах.
Если р|х, то обозначив х = рх1, можно переписать уравнение (16) как р² х1² + ру² = z². Откуда следует, что р|z; положив z = рz1 имеем рх1² + у² = рz1². Следовательно, р|у, но тогда (х, у, z) = р≠1 в общем случае. Однако, очевидно, что если ‹х, у, z› – решение уравнения (16), то и ‹kх, kу, kz›, где k ϵ N, также является решением уравнения (16), а, значит, для решения данного уравнения нам достаточно найти основные тройки, то есть такие, для которых (х, у, z) = 1. Следовательно предположение о том, что р|х неприемлемо. Таким образом, потребуем, чтобы выполнялось условие (х, ру) = 1. Аналогично, (х, рz) = 1.
Перепишем уравнение (16) следующим образом
рy² = (z + x)(z – х), (17)
Если z и х – разной чётности, то либо
a) z + х = рu, z – х = v,
либо
b) z + х = u, z – х = рv,
где u, v ϵ N, z – x ˃ 0.
Рассмотрим случай а). В этом случае положим
где р, m, nϵ N, (m, n) = 1, рn² > m², m, n – разной чётности,которая является общей формулой всех основных решений уравнения (19).
Формула (23) обращается в формулу (21), если (р, m) = 1 и в формулу (22), если (р, m) = р. Других вариантов быть не может, так как р – простое число.
Формулы (20) и (23), в свою очередь, так же можно объединить в единую формулу,
где р, m, nϵ N, (m, n) = 1, рn² > m², которая является общей формулой всех основных троек и не содержит более ограничений чётности на числа mи n. Очевидно, что если mи n – нечётны, то (2, m+n) = 2 и из формулы (24) получается формула (20), если же mи n – разной чётности, то (2, m+n) = 1 и формула (24) обращается в формулу (23). Других вариантов нет, поскольку (m, n) = 1.
Теперь несложно написать и общую формулу всех троек
где k, р, m, nϵ N, (m, n) = 1, рn² > m.
Легко показать, что при р = 2 из формул (25) получаются формулы (14), являющиеся решениями уравнения (9), которое, в свою очередь, получается из уравнения (16) при р = 2.
Полагая в уравнении (16) р конкретным натуральным числом, получим частные уравнения, для которых при фиксированных натуральных чисел m и nможно найти частные решения. Например, положив р = 3 уравнение (16) примет вид: х² + 3у² = z²
При р = 5: х² + 5у² = z²
где р, x, y, zϵ N. Варьируя параметры в формуле (25) получим частные решения уравнения (16). Несколько примеров при к = 1 содержит следующая таблица:
Исследуемое в работе противоречие не было устранено, однако мы смогли применить рассмотренные в предыдущей работе приёмы для нахождения стандартных способов отыскания всех решений некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя неизвестными.
Выводы
Итак, в результате проведённого исследования были найдены общие формулы решения некоторых диофантовых уравнений второй степени от трёх переменных. На основе полученных решений, можно сделать вывод, что найденные подходы могут быть использованы к нахождению общих решений близких диофантовых уравнений.
То есть, нашла подтверждение гипотеза о том, что если найти способ задания общей формулы для нахождения всех решений некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя неизвестными, то возможно удастся применить полученные результаты и для решения других задач данного раздела математики.
Рассмотренные объект и предмет исследования позволили достигнуть поставленной цели: на основе ранее полученных результатов были найдены способы задания общей формулы всех решений некоторых диофантовых уравнений второй степени с тремя неизвестными на множестве натуральных чисел.
Обзор литературы
Литература, в которой освещается проблема диофантовых уравнений, в том числе уравнение Пифагора, не многочисленна. В изученной нами литературе рассмотрены некоторые способы нахождения решений уравнения Пифагора и уравнения х² + 2у² = z² [2, 3, 4]. Приводятся общие формулы решения для указанных уравнений [1, 3]. Но в тех источниках, которыми мы располагаем, не приводятся расчёты подобные сделанным в данной работе. Так же нами показано как можно получить все классические формулы, из найденных нами формул, варьируя параметры. Мы не располагаем данными об освещении решений уравнений х² + у² = 2z² и х² + ру² = z² , где р – простое число, а так же о том рассматривались ли они в каких-либо источниках.
Ссылки на источники:
- Кожегельдинов С. Ш. О задачах, связанных с пифагоровыми тройками // Межвузовская конференция, посвящённая 150–летию со дня рождения Абая. СГУ имени Шакарима,1991 г., стр. 132 – 133
- Башмакова И. Г. Теория чисел. М.: Наука, 1992 г.
- Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: ИТКЛ, 1987г.
- Литцман В. Теорема Пифагора и пифагоровы тройки. М.: Знание, 2008 г.