Faniya AhmetovaMathCAD – это программная среда компьютерной алгебры, позволяющая выполнять на компьютере разнообразные математические и технические расчеты, включающие как символьные вычисления (т. е. преобразования различных формул и получение ответа в виде формулы), так и численные, ориентированные на использование приближенных методов.
В отличие от других систем компьютерной алгебры, MathCAD – это не язык программирования, а средство работы с документами, позволяющее проводить вычисления непосредственно в документе. Поэтому взаимодействие со средой MathCAD является простым и наглядным, доступным для людей, далеких от программирования. Записав в привычной форме математическое выражение, можно выполнить с ним самые разнообразные символьные или численные математические операции: найти значение, произвести алгебраические преобразования, решить уравнение, продифференцировать, проинтегрировать и так далее.
- 1. Простейшие вычисления и операции в MathCAD
Подробное описание возможностей MathCAD и способов работы в этой среде можно найти в специализированной литературе [1–4]. Мы не предполагаем, что читатель знаком с MathCAD, однако рассчитываем на то, что у него есть навыки работы в среде Windows и он знает, как работать с меню, панелями кнопок и т. п.
Прежде чем перейдем к задачам дифференцирования в MathCAD, рассмотрим простейшие приемы работы в этой среде.
Ввести формулу можно в любом месте документа MathCAD. Текущее положение обозначено курсором в виде крестика. При вводе первого символа формулы курсор меняет вид, превращаясь в угловую рамку, охватывающую формулу. Имена переменных могут содержать несколько символов, при этом прописные и строчные буквы различаются. Арифметическим операциям сложения, вычитания, умножения и деления соответствуют клавиши < + >, < – >, < * >, < / >. Для возведения в степень используется клавиша < ^ >. При этом показатель степени привычным образом размещается как верхний индекс.
Более сложные математические конструкции (корни, знаки сумм, интегралы, производные) вводятся с помощью шаблонов. Шаблонам соответствуют специальные кнопки, собранные в несколько кнопочных панелей. Эти панели управляются с помощью специальной математической палитры инструментов. Многие шаблоны можно вводить с клавиатуры специальными комбинациями клавиш. Например, квадратный корень можно ввести, нажав < \ >. При вводе шаблона в документ MathCAD появляются специальные маркеры (черные квадратики), указывающие места ввода частей формулы.
Чтобы проиллюстрировать, как вводятся арифметические выражения с клавиатуры, рассмотрим пример – вычислим выражение (1/2 + 7/8) ∙ (4∙5 – 3∙4) / 11.
Алгоритм вычисления
Выберите место ввода формулы, щелкнув мышью в соответствующем месте рабочего документа – место ввода будет отмечено курсором в форме крестика. Введите с клавиатуры символы «1», «/», «2». Вы увидите, что после нажатия клавиши < / > в документе появится шаблон дроби, числитель которой уже заполнен символом «1», а знаменатель содержит черный квадратик, вместо которого можно ввести информацию. Курсор в этот момент будет иметь вид угловой рамки, охватывающей черный квадратик. Не стоит пытаться стереть квадратик, просто введите символ «2», который появится в знаменателе дроби.
Поскольку курсор охватывает только цифру знаменателя (цифру 2), вводимые с клавиатуры символы будут добавляться в знаменатель, так что при нажатии клавиши < + > знак суммы появится в знаменателе, а не справа от дроби, как требуется. Нажмите клавишу пробела (< Space >), тогда курсор будет охватывать всю дробь, которая и будет рассматриваться как первый аргумент арифметической операции.
Введите «+» и второе слагаемое 7/8.
Далее следует знак умножения, но для того, чтобы умножение относилось к сумме двух дробей, предварительно дважды нажмите клавишу пробела. Тогда курсор будет охватывать все выражение.
Нажмите клавишу < * >. Заметьте, что сумма двух дробей автоматически заключается в скобки, справа появляется точка – знак операции умножения, а за ним маркер поля ввода (черный квадратик), в который следует вставить второй аргумент операции умножения.
Вторые скобки в выражении придется вставлять вручную, так как MathCAD не может однозначно определить, нужны они или нет. Введите символы «(4*5–3*4)». Заметьте, что курсор охватывает только второй сомножитель. При нажатии клавиши < / > в числитель дроби будет перемещен только второй сомножитель, а не все выражение.
Чтобы в числитель попало все выражение, нажмите клавишу пробела. Курсор будет охватывать все введенное выражение. Затем наберите символы «/11».
Требуемое выражение введено полностью. Однако MathCAD не будет выполнять каких-либо действий, пока не будет указано, что именно надо сделать. Две простейшие операции: символьное вычисление и численное вычисление. Нажмите комбинацию клавиш < Ctrl > + < . > или нажмите кнопку <→> в кнопочной панели Evaluation (она открывается с помощью математической палитры). Затем щелкните мышью на свободном месте документа. Вслед за выражением появится стрелка, а за нею – символьное значение выражения 1.
Щелкните мышью на полученном результате и нажмите клавишу пробела, чтобы рамка охватила дробь. Нажмите клавишу < Backspace >. Исчезнет и результат, и стрелка – знак символьного вычисления. Курсор будет охватывать все выражение. Нажмите клавишу < = >. Появится численный (приближенный) результат, в данном случае также равный 1.
Данный пример показывает, как работает среда MathCAD: нужное выражение вводится в соответствующем месте документа, а затем вводится знак действия, которое надо выполнить с выражением. На рис. 1 показана последовательность действий при численном вычислении выражения.
|
Шаг 6 |
|
Шаг 7 |
|
Шаг 1 |
|
Шаг 2 |
|
Шаг 3 |
|
Шаг 4 |
|
Шаг 5 |
Рис. 1. Ввод арифметических выражений в MathCAD
- 2. Символьное и численное дифференцирование
Как и другие математические операции, дифференцирование в MathCAD может проводиться как численно, так и символьно. Рассмотрим вначале символьное дифференцирование. Проиллюстрируем наши действия на конкретном примере.
Пример 1. Вычислить , результат вычисления проверить с помощью дифференцирования.
Решение. Вычислим неопределенный интеграл:
Проверим результат дифференцированием. Для этого щелкнем по свободному месту в документе и введем шаблон производной (кнопка < > в панели Calculus). Шаблон производной содержит два поля ввода: первое (в знаменателе) для ввода имени переменной, по которой выполняется дифференцирование, второе – для ввода дифференцируемой функции. Заполнив шаблон, вставив знак символьного вычисления (комбинация клавиш < Ctrl > + < . >), щелкнем в свободном месте документа. Готовое выражение необходимо выделить рамкой и ввести знак символьных вычислений «®» щелчком по стрелке вправо в панели Symbolic. Далее надо щелкнуть по рабочему документу вне рамки. Для того чтобы упростить полученное выражение, необходимо ввести ключевое слово “simplify” (щелчком по нему в панели Symbolic). Результат каждого шага показан на рис. 2.
|
Шаг 1 |
Шаг 2 |
Шаг 3 |
Шаг 4 |
Рис. 2. Процесс символьного дифференцирования
Таким образом, символьное дифференцирование дало следующий результат:
Этот результат эквивалентен исходной функции, но внешне отличается от нее. Более точного результата можно добиться, если использовать оператор символьного вычисления с модификатором, который вводится комбинацией клавиш < Ctrl > + < Shift > + < . >. Слева от стрелки появится поле ввода, в которое вводится ключевое слово. Заполнив шаблон производной, введем символьный оператор с модификатором, в поле ввода наберем ключевое слово “simplify”. Получим
Это совпадает с исходной функцией.
Перейдем к рассмотрению численного дифференцирования. Оператор производной MathCAD предназначен для нахождения численного значения производной функции в заданной точке.
Пример 2. Найти производную f(x) = x3 в точке x = 2.
Решение. Рассмотрим этапы решения задачи.
- 1. Сначала определим точку, в которой необходимо найти производную.
- 2. Щёлкнем ниже этой записи, затем нажмем клавишу <?>. Появится оператор производной с двумя полями:
- 3. Щёлкнем на поле в знаменателе и наберем «x». Это имя переменной по которой проводится дифференцирование.
- 4. Щёлкнем на поле справа от d/dx и наберем «x^3». Получим выражение, которое нужно дифференцировать.
- 5. Нажмем клавишу <=>, чтобы увидеть результат.
Необходимо помнить, что результат дифференцирования есть не функция, а число – значение производной в указанной точке переменной дифференцирования. В рассмотренном примере производная от x3 не есть выражение 3x2, а значение производной 3x2, вычисленное в точке x = 2. В этом заключается отличие численного дифференцирования от символьного.
Чрезвычайная простота интерфейса MathCAD сделала эту систему одной из самых популярных среди систем поддержки математики и, безусловно, самой распространенной в студенческой среде. В работах [5–10] наглядно показано использование пакета MathCAD при интегрировании, при построении графиков в различных системах координат и так далее. Таким образом, активное использование пакетов прикладных программ в обучении позволяет повысить эффективность учебного процесса и сформировать необходимые профессиональные компетенции.