The use of different methods for solving problems with parameter on the Unified State Examination in mathematics

Модель Единого государственного экзамена по математике во всех модификациях последнего десятилетия традиционно содержит задачу с параметром. Эта тенденция не является новой для итоговой аттестации выпускников. Престижные вузы всегда включали задачи с параметрами в экзаменационный вариант в качестве диагностических, с помощью которых можно проверить знание основных разделов школьной программы, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, умение обосновывать свои действия, аргументировать полученные выводы и в конечном итоге оформить получившееся решение в виде математически правильного, логически ясного и полного текста.

В настоящее время задача с параметром входит в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ под номером 18 и оценивается максимальным числом первичных баллов.

Анализ результатов Единого госэкзамена показывает, что, как и в прежние годы, эта задача представляет для выпускников большие трудности. Так, в 2015 г. в Российской Федерации максимальный балл за ее решение получили 0,5% участников экзамена (в Кировской области – 0,27%), 0 баллов – 96,26% (в Кировской области – 98,05%) [1], в 2016 г. ситуация существенно не изменилась. Это говорит о том, что подавляющее большинство учеников не приступали к решению, хотя предложенные задания были вполне посильны даже для учащихся, имеющих представления лишь об основных способах решения таких задач. Вероятно, значительную роль здесь играют и психологические факторы.

Практика показывает, что решению задач с параметрами на уроках математики уделяется мало внимания. Причиной этого является, прежде всего, отсутствие системы заданий данной тематики в школьных учебниках. Чаще всего задачи с параметрами рассматриваются в старших классах в рамках элективных курсов. Основная, на наш взгляд, трудность при этом заключается в том, что ученики должны усвоить методы решения данного вида задач, что требует определенного времени, осознания этих методов и овладения ими. С этой точки зрения задачи с параметрами целесообразнее начать рассматривать в 8–9-х классах, постепенно применяя разные методы на различных классах задач.

Традиционно для решения задач с параметрами используются аналитические и/или графические методы. Наиболее часто применяется при аналитическом способе рассуждений сведение задачи к решению уравнений, неравенств, их систем или совокупностей. Хорошие результаты в отдельных случаях дает нахождение необходимых условий, применение свойств функций. Графические решения, как правило, выполняются в декартовой системе координат либо системе «переменная-параметр».

Важно обучать учащихся различным методам решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному из них. Большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый был готов к выбору наиболее целесообразного и эффективного пути рассуждения.

Рассмотрим возможные способы решения некоторых задач с параметрами, чей уровень сложности соответствует требованиям, предъявлявшимся к такого рода заданиям на Едином государственном экзамене по математике в последние годы.

Задача 1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений  имеет единственное решение.

Решение:

Преобразуем первое уравнение системы (1.1):

.

Тогда система (1.1) примет вид:

Решим задачу графическим методом в системе .

Из системы (1.2) получаем , далее

В системе координат  будем рассматривать те части прямых  и

, которые лежат в полуплоскости  (см. рис. 1).

Уравнение  задает на плоскости прямую, проходящую через точку  с угловым коэффициентом, равным принимающим всевозможные значения. Удобно представлять себе не семейство прямых, а «движущуюся» прямую, которая «вращается» вокруг точки . Мысленно вращая прямую , определим такие ее положения, когда она имеет ровно одну общую точку с частями прямых  и . На рис. 1 выделены области, в которых должна лежать прямая , чтобы выполнялось данное условие. Найдем значения , которые соответствуют положениям прямой, ограничивающей данные области.

Рис. 1

         I. Прямая  проходит через точку , следовательно, , отсюда .

        II. Прямая  проходит через точку , следовательно, , отсюда .

      III. Прямая  параллельна оси , следовательно, .

     IV. Прямая параллельна прямой , значит .

Таким образом, условию задачи удовлетворяют .

Ответ: .

Решим задачу графическим методом в системе «переменная‑параметр ».

Подставим  в первое уравнение системы (1.2), получим

Заметим, что каждому значению  соответствует ровно одно значение , равное , при каждом фиксированном значении параметра , то есть исходная система имеет столько же решений, сколько и система (1.4). Найдем все значения , при которых система (1.4) имеет единственное решение.

Из системы (1.4) получаем .

Поскольку , то  и

Построим в системе координат  множество всех точек, координаты которых удовлетворяют системе (1.5). Для этого в полуплоскости  построим гиперболы  (рис. 2).

Найдем точку пересечения гипербол, решив систему , откуда , то есть , что не удовлетворяет условию . Это значит, что в полуплоскости  гиперболы не пересекаются.

Заметим, что при  значение  равно , значение  равно 1, то есть при .

Рис. 2

Мысленно перемещая прямую  вдоль оси  «снизу вверх», фиксируем такие ее положения, при которых эта прямая имеет ровно одну общую точку с частями гипербол (на рис. 2 соответствующие этим положениям значения параметра a на оси  выделены цветом).

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при .

Ответ: .

Решим задачу аналитическим методом.

Из системы (1.2) получим , далее

Рассматривая систему (А), получим

При  система решений не имеет. При  получим

Последняя система имеет решение, причем единственное, если , то есть при .

Рассматривая систему (В), получим

При  система решений не имеет. При  получим

Полученная система имеет решение, причем единственное, если , то есть при .

Система (1.2) имеет единственное решение в следующих случаях:

-          (А) имеет единственное решение, (В) решений не имеет;

-          (В) имеет единственное решение, (А) решений не имеет;

-          (А) и (В) имеют единственное решение, но эти решения совпадают.

Найдем значения , при которых решения систем (А) и (В) совпадают:      нет таких .

Отметим полученные выше результаты на оси  (рис. 3).

Рис. 3

Таким образом, по рис. 3 определяем, что единственное решение система (1.2) имеет при .

Ответ: .

Заметим, что при работе с учениками в качестве дополнения к рис. 3 может быть построена еще одна числовая прямая, на которой показаны все возможные варианты количества решений исходной системы в зависимости от значений параметра . При записи ответа следует обратить особое внимание на включение (исключение) концов промежутков.

Целесообразно также рассмотреть задачу, в которой прямая, содержащая в своем уравнении параметр, не вращается, а перемещается параллельно некоторой прямой, то есть от параметра зависит не угловой коэффициент, а свободный член в уравнении прямой.

Задача 2. Найти все значения параметра , при каждом из которых система уравнений  имеет единственное решение.

Решение:

Преобразуем первое уравнение системы (2.1):

Тогда система (2.1) примет вид

Следует обратить внимание учеников, что выражение

может быть разложено на множители не только с помощью группировки и вынесения общего множителя за скобки, но и как квадратный трехчлен относительно переменной . Для этого следует представить выражение в виде , найти дискриминант ( , записать выражения для корней (  и применить соответствующую теорему .

Решим задачу графическим методом в системе .

Из системы (2.2) получаем

В системе координат  будем рассматривать те части прямых , которые лежат в области, определяемой условиями  (см. рис. 4). Прямая  пересекает прямую  в точке , прямую  в точке  а прямую  – в точке .

Рис. 4

Преобразуем второе уравнение системы (2.2) к виду . Это уравнение задает на плоскости совокупность прямых, параллельных прямой  и проходящих через точки  и . Удобно представлять себе не совокупность прямых, а прямую, которая «движется» в системе координат параллельно прямой . При этом параметр  принимает все значения из промежутка . Мысленно двигая прямую , определим такие ее положения, когда она имеет ровно одну общую точку с названными выше частями прямых.

На рис. 4 показаны области (выделены цветом) и положения прямой  (I, II, III), при которых выполняется данное условие.

Найдем соответствующие указанным положениям прямой значения параметра .

         I. Прямая  проходит через точку , следовательно, , отсюда .

        II. Прямая  проходит через точку , следовательно, , отсюда .

      III. Прямая  проходит через точку , следовательно, , отсюда .

Таким образом, условию задачи удовлетворяет каждая прямая, лежащая ниже прямой I или совпадающая с ней, то есть ; прямая II, следовательно, , а также каждая прямая, лежащая выше прямой III или совпадающая с ней, то есть .

Ответ: .

Решим задачу в системе «переменная‑параметр  ».

При каждом фиксированном значении параметра  из последнего уравнения системы (2.3) каждому значению  соответствует ровно одно значение . Поэтому система (2.3), как и исходная система, имеет столько решений, сколько решений имеет система

полученная из системы (2.3) подстановкой .

Отсюда получим

В системе координат  построим множество всех точек, удовлетворяющих системе (2.5). Для этого сначала построим область, задаваемую соотношениями . Точка  является точкой пересечения прямых  и , поэтому ее координаты определяются из условия , откуда .

Затем построим части прямых ,  и , принадлежащие названной области (рис. 5).

Рис. 5

Заметим, что  так как эти прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.

Точка  принадлежит прямым  и , откуда  и .

Точка  лежит на прямых  и , откуда  и .

Точка  – точка пересечения прямых  и , откуда  и .

Точка  принадлежит прямым  и , откуда  и .

Мысленно перемещая прямую  вдоль оси  «снизу вверх», фиксируем такие ее положения, при которых эта прямая имеет ровно одну общую точку с частями прямых ,  и . На рис. 5 соответствующие этим положениям значения параметра a на оси  выделены цветом. Условию задачи удовлетворяют значения параметра .

Ответ: .

Решим задачу аналитическим методом.

Исходная система равносильна системе (2.3), из которой подстановкой  получим

Рассмотрим систему (А). Она имеет решение, если , то есть при . Таким образом, система (А) имеет решение  при , причем решение единственное.

Рассмотрим систему (В). Из ее соотношений . Таким образом, система (В) имеет единственное решение .

Из системы (С) получим  то есть система (С) имеет единственное решение  при .

Решения систем (А) и (В) совпадают, если .

Решения систем (А) и (С) совпадают, если .

Решения систем (B) и (C) совпадают, если .

Отметим полученные результаты на оси  (см. рис. 6).

Учитывая найденные выше значения параметра, при которых решения систем совпадают, по рис. 6 определяем, что система имеет единственное решение при .

Ответ: .

Отметим, что наша многолетняя практика преподавания показывает, что учащиеся гораздо охотнее и успешнее решают задачи с параметрами, используя графические методы, а не аналитические.

Интересным и полезным для учащихся будет рассмотрение задачи, в процессе решения которой применяются несколько способов.

Рис. 6

Задача 3. При каких значениях параметра  система уравнений

имеет единственное решение?

Решение.Заметим, что если пара чисел  решение системы, то пара  также является ее решением. Отсюда условие  необходимое для существования единственности решения. Однако это условие не является достаточным, поскольку система может иметь несколько решений вида  или вообще не иметь решений.

Пусть . Тогда

  .

Таким образом, искомыми значениями параметра могут быть  или . Проверим, сколько решений имеет исходная система при указанных значениях параметра.

При  получаем , откуда .

Быстрый и наглядный ответ на вопрос о количестве решений последней системы дает графический способ ее решения (см. рис. 7).

По рис. 7 видно, что при  исходная система имеет три решения, что не удовлетворяет условию задачи. Этот же результат может быть получен и аналитически, что предлагаем читателю сделать самостоятельно или воспользоваться [2].

При  получаем , откуда .

Очевидно, что  при любых . Тогда из первого уравнения последней системы имеем . В то же время второе уравнение позволяет сделать вывод, что . Следовательно, , а значит, .

Таким образом, при  система имеет единственное решение.

Ответ: .

Рис. 7

Авторы надеются, что материалы статьи будут полезны учителям математики и учащимся, желающим научиться решать задачи с параметрами.