Learning to solve problems for construction sections of polyhedra

Задачи на построение сечений многогранников играют исключительно важную роль в формировании пространственных представлений учащихся, развитии конструктивного и логического мышления школьников. Не случайно в последние годы построение сечения является частью стереометрической задачи повышенного уровня сложности на ЕГЭ по математике в 11-м классе. На рис. 1 показана успешность выполнения этой задачи в 2015 г. выпускниками Кировской области и Российской Федерации.

Рис. 1

Подавляющее большинство школьников не приступают к решению этой задачи, хотя построение сечений в отличие, например, от задач с параметрами входит в программу по математике для общеобразовательной школы.

Во многих школьных учебниках по геометрии для 10–11-х классов задачи на построение сечений многогранников рассматриваются лишь в начале изучения курса стереометрии. На решение таких задач в большинстве случаев отводится два-три урока, в дальнейшем они встречаются лишь эпизодически. Очевидно, что за такое короткое время достаточно сложно сформировать необходимые умения, что связано с плохо развитыми пространственными представлениями учащихся.

Наиболее подходящим периодом для развития образного мышления является школьный возраст до 12–13 лет. Исследования психологов показали, что представления о геометрических фигурах находятся в стадии прогрессивного развития до 15 лет, но только с этого возраста учащиеся начинают изучать стереометрию. Поэтому пространственное мышление необходимо развивать у учащихся уже в 5–6-х классах.

Основной задачей геометрической пропедевтики является развитие у учащихся 5–6-х классов пространственных представлений, ознакомление с некоторыми свойствами геометрических фигур, формирование практических умений, связанных с построением фигур и измерением геометрических величин. Важная задача изучения геометрического материала – развитие различных форм математического мышления, формирование приемов умственных действий через организацию мыслительной деятельности учащихся. Главная цель – выработать у ребенка умение работать с пространственными объектами, научиться представлять трехмерные объекты, сформировать интерес к этому виду деятельности. Курс математики 5–6-х классов включает знакомство с основными линейными и плоскостными геометрическими фигурами и их свойствами, а также с некоторыми многогранниками и телами вращения.

В 5–6-х классах необходимо использовать различные задания, направленные на развитие восприятия и воображения.

Рассмотрим примеры таких заданий.

1. Из фигур на рис. 2 выберите те, которые являются развертками куба. Объясните, почему вы выбрали именно их.

Рис. 2

1. Дана развертка куба (см. рис. 3). Какие из кубиков на рис. 4, а – в, можно из нее склеить? Выберите кубик и обоснуйте выбор.

Рис. 3                                          Рис. 4

1. Дана развертка куба (рис. 5). Какие из кубиков на рис. 6, 1–5, можно из нее склеить? Выберите кубик и обоснуйте выбор.

Рис. 5 Рис. 6

1. Дан прямоугольный параллелепипед (рис. 7). Из каких разверток на рис. 8, а – г можно склеить данный прямоугольный параллелепипед? Выберите развертки и обоснуйте выбор.

Рис. 7                                               Рис. 8

1. Дана дощечка с тремя отверстиями: квадратным, круглым и треугольным (рис. 9). Придумайте пробку такой формы, чтобы ею можно было заткнуть каждое из этих отверстий.

Рис. 9

1. Можно ли «переплести» карандаши так, как показано на рис. 10?

Объясните ответ.

Рис. 10

1. Какую фигуру – 1, 2 или 3 – необходимо добавить (рис. 11)?

Рис. 11

1. Посчитайте, из скольких кубиков состоит фигура (см. рис. 12):

Рис. 12

Основными действиями при построении сечений являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построение линии пересечения двух плоскостей, построение прямой, параллельной плоскости, построение прямой, перпендикулярной плоскости, метод следов, метод внутреннего проектирования, комбинированный метод [1].

Прежде чем перейти к основной задаче, необходимо рассмотреть несколько вспомогательных приемов для определения пересечения прямых и плоскостей.

1. Пересечение двух пересекающихся прямых найти легко: точка, в которой они пересекаются на чертеже, и есть изображение их точки пересечения в пространстве. Но это верно лишь в предположении, что прямые на самом деле пересекаются. (а прямые в пространстве, «как правило», скрещиваются) (рис. 13, а, б).

         а)                   

б)

Рис. 13

1. Пересечение прямой АВ и плоскости α найти несложно, если известны параллельные проекции А₁, В₁ точек А, В на α (рис. 14). Построение ясно из чертежа.

Рис. 14

1. Пересечение прямой АВ и плоскости α легко найти и в том случае, когда даны точки пересечения А₁, В₁ с плоскостью α двух пересекающихся прямых, проходящих через точки А, В соответственно (рис. 15).

Рис. 15

1. Пересечение двух плоскостей α и (АВС) находится просто, если даны параллельные проекции А₁, В₁, С₁ точек А, В, С на α (см. рис. 16, а, б) [2].

а)                    б)

Рис. 16

На первом этапе формирования действий следует использовать различные модели фигур. В частности, желательно использование моделей, сделанных самими учащимися. На этом этапе выполняются упражнения такого типа: «На ребрах тетраэдра отметьте две точки M и N. Укажите точку пересечения прямой MN с плоскостями всех граней тетраэдра». Для выполнения этого упражнения можно использовать подсобный материал в виде металлических спиц, карандашей, поверхности стола. Необходимо варьировать расположение точек, причем точки надо отмечать и на гранях многогранников, а не только на ребрах. Бумажную модель многогранника легко проткнуть металлической спицей, точка пересечения соответствующей прямой с плоскостями граней многогранника находится с помощью других спиц [3].

Осуществляя формирование умений владеть перечисленными действиями, следует иметь в виду, что в совокупности соответствующих упражнений должны быть предусмотрены все ситуации применения этих действий. Например, формируя умение строить точку пересечения прямой с плоскостью, необходимо рассмотреть различные случаи расположения точек, задающих прямую, и представить их в виде таблицы.

Построение точки X пересечения прямой АВ

с плоскостью основания многогранника

Далее следует перейти к построению сечений методом следов, постепенно усложняя задачи. Вначале выполняются упражнения, когда две заданные точки принадлежат ребрам одной грани, затем – ребрам различных граней и граням. Проиллюстрируем указанную методику организации упражнений следующей цепочкой задач.

1. Построить сечение пирамиды DABC плоскостью, проходящей через точки M, N, P (рис. 17).

Рис. 17

Данная плоскость пересекает ребро DA в точке M, а ребро DB – в точке N, следовательно, плоскость ADB она пересечет по прямой MN. Аналогично, плоскость DBC она пересечет по прямой NP. Одной из точек пересечения данной плоскости и плоскости нижней грани является точка P. Поскольку прямая MN принадлежит секущей плоскости, то вторая искомая точка может быть найдена как точка пересечения MN с плоскостью ABC. Очевидно, что это точка X пересечения прямых MN и AB. Тогда прямая XP – пересечение секущей плоскости с плоскостью ABC. Прямая XP – след плоскости ABC. Точка K находится без труда.

1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, K (рис. 18).

Указание: построение выполнено на рис. 18.

Рис. 18

Для лучшего усвоения материала, а также для решения задач на построения сечений многогранников с учащимися необходимо составить алгоритм.

Алгоритм построения сечения методом следов

1)     Выяснить, имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения).

2)     Построить след сечения на плоскости основания многогранника.

3)     Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом).

4)     Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани.

5)     Выполнить п. 1.

Практика показывает, что тщательная и планомерная пропедевтическая работа, использование систематизирующих схем и таблиц, самостоятельное изготовление моделей и разумное их использование позволяет повысить эффективность обучения учащихся построению сечений многогранников.