Assessment of the economic strategy by probability theory methods

Одной из важнейших задач ведения бизнеса является выбор правильной стратегии. При этом основная задача – получение наибольшей прибыли при наименьших затратах. Оказывается, что поиск оптимальной стратегии можно осуществлять методами теории вероятностей. Дополнительно отметим, что рассмотрение задач прикладного характера в базовых курсах вуза, например в курсе математики, является чрезвычайно полезным для будущих специалистов [1–3]. Покажем предлагаемую методику поиска наилучшей экономической стратегии на примере определения числа посадочных мест в ресторане.

Представим, что к популярному туристическому объекту ежедневно приезжает большое число туристов. К 14 часам их число, как правило, равно 1000 человек. В этом же месте находятся два ресторана  и , где можно пообедать. Рестораны одного класса, поэтому каждый турист выбирает ресторан случайно, с вероятностью .

Оценим данную ситуацию с точки зрения владельца одного из этих ресторанов, например ресторана . Ситуация такова, что число посетителей ресторана  каждый день разное, заранее неизвестное. Их число может быть любым целым числом от 0 до 1000. Возникает вопрос: «Сколько нужно иметь посадочных мест в ресторане , чтобы очередной турист не застал все места занятыми, то есть чтобы клиент не ушел?» Ясно, что потери клиента наверняка не произойдет, если в ресторане будет 1000 посадочных мест. Иными словами, если мы хотим 100% гарантии, что клиент останется в нашем ресторане, то нужно организовать 1000 посадочных мест. Но организация каждого посадочного места требует вложения денег, площадей, увеличения штата. При этом ситуация, когда абсолютно все туристы придут именно в ресторан  хотя и возможна, но маловероятна. Получается, что гарантированное обслуживание всех клиентов возможно, но неоправданно дорого.

Ослабим «гарантированность». Предположим теперь, что мы позволяем себе терять клиентов, но не более чем одного из 100. Определим, сколько нужно иметь посадочных мест, если теперь вероятность потери клиента .

Для решения данной задачи сначала построим модель принятия решения о выборе места обеда одним туристом [4]. Пусть X – решение туриста (ресторан  или ). Для создания математической модели полагаем, что X = 1, если выбирается ресторан . Это решение принимается с вероятностью . Пусть X = 0, если выбирается ресторан  (с вероятностью ). Итак, X – дискретная случайная величина с рядом распределения вида, представленном в табл. 1.

Таблица 1

Вид ряда распределения случайной величины X

Теперь построим модель принятия решения всеми туристами. Рассмотрим вектор ( . Это вектор, состоящий из одинаковых случайных величин, описанных выше. В конкретный день вектор состоит из 0 или 1, в зависимости от решения каждого туриста. Количество единиц в этом векторе равно числу людей, которые решили зайти в ресторан  в данный день. Хозяина ресторана  интересует – число туристов, которые выбрали для обеда ресторан . Значение определяется по схеме Бернулли. Заметим, что . В каждый конкретный день на месте каждого слагаемого стоит 1 или 0. Случайная величина распределена по биномиальному закону. Вычислим ее числовые характеристики:

математическое ожидание =1000 ;

дисперсия .

Итак, – сумма 1000 одинаково распределенных случайных величин. Значит, по Центральной предельной теореме поведение (распределение) сходится (по распределению) к нормальному распределению с математическим ожиданием ; дисперсией  (при увеличении числа туристов ):

 при .

Число туристов 1000 велико, поэтому можно считать, что случайная величина распределена по нормальному закону.

Обозначим через число посадочных мест в ресторане . Вспомним вопрос, который стоит перед владельцем ресторана: «Определить значение , при котором вероятность того, что в ресторан зайдет более  клиентов, будет меньше 0,01». Иными словами, при каком значении

?

Или при каком

?

Обозначим . Это нормально распределенная случайная величина,

Подставим числовые данные, получим:

;

.          (1)

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал можно найти с помощью функции распределения

.

Неравенство (1) перепишем в виде

.

Так как изучаемая случайная величина , то ее среднеквадратическое отклонение , и по правилу трех сигм практически все значения находятся в интервале , и поэтому .

Решаемое неравенство принимает вид:

,

.

Значения функции  табулированы. Используя таблицы, определяем, что . Отсюда .

Задача решена. Получили, что если в нашем ресторане будет 537 мест, то с вероятностью 0,99 мы не потеряем клиентов.

Интересно проследить, как меняется значение посадочных мест k в зависимости от значения вероятности , с которой мы хотим обеспечить зашедшему в ресторан человеку наличие свободного места. Заметим, что .

Решим задачи, аналогичные разобранной, при различных значениях . Получим значения k (табл. 2).

Таблица 2

Зависимость числа посадочных мест от вероятности наличия мест

Из табл. 2 можно видеть, что изменение вероятности P от 0,5 до 0,999 (что является принципиальным изменением с точки зрения потребителя услуги) не влечет большого изменения значения k, то есть, незначительно увеличив число стульев, можно сохранить гораздо больше клиентов, получить большую прибыль. Однако если пытаться и далее продолжать увеличивать «гарантированность» для клиентов, то есть пытаться увеличить значение P, еще приблизить его к 1, то каждое незначительное с точки зрения реальности возрастание P потребует от нас принципиального увеличения посадочных мест k. Увеличение гарантированности от 0,999 до 1 (что практически незаметно) потребует резкого роста k от 549 до 1000, то есть потребуются значительные финансовые вложения. Иными словами, «гарантированность» стоит очень дорого. Если владелец ресторана не хочет терять клиентов, то ему придется делать большие финансовые вложения.

Введение задач исследовательского характера в курс математики, так же как и использование математики при решении прикладных вопросов экономических и других направлений, повышает уровень компетенции обучающегося. Навыки решения такого рода задач дают ему неоспоримые преимущества, например, при ведении бизнеса [5–7].

Теперь, на основании полученных значений, следует сделать финансовые расчеты и выбрать наилучший вариант.