Rimma KarasevaЭкономико-математическая модель – это математическая модель, описывающая какой-либо экономический процесс или явление. Математические модели широко применяются, поскольку их создание не требует больших финансовых вложений, но при этом результаты исследования получаются очень быстро. Кроме того, есть возможность экспериментировать с исследуемым экономическим процессом, легко проверить правильность предпосылок и условий поставленной экономической задачи. Все эти особенности математических моделей дают им большие преимущества перед экономическими моделями других видов.
Стоит указать, что вопросы экономико-математического моделирования полезно обсуждать с обучающимися вузов как при изучении экономики, так и при изучении математики и иных математических дисциплин [1–3].
Нахождение баланса между стремлением к чрезмерному упрощению экономического явления, с одной стороны, и излишней его детализацией и усложнением – с другой, особенно важно при построении любой математической модели. Модель экономического явления или процесса, с помощью которой можно получить наиболее рациональное решение, имеет преимущества в дальнейшем использовании. Практическая проверка полученных результатов является самым важным критерием качества созданной модели.
Моделирование экономического явления содержит три важнейших этапа: создание экономико-математической модели, нахождение решения математическими методами, анализ полученного решения на оптимальность и на практическую пригодность.
Признак (критерий), на основании которого затем будут сравниваться различные варианты решения и выбираться среди них лучшее, оптимальное решение, определяют на первом этапе создания модели. В качестве такого критерия могут быть и наибольшая прибыль, и наименьшие издержки производства, и максимальная загрузка оборудования, и наименьшие отходы производства и так далее.
Общего признака успешной деятельности предприятия нет. Процесс производства может быть достаточно полно охарактеризован лишь набором экономических показателей. При построении математической модели выделяют также наиболее важный показатель для решаемой задачи. Этот показатель математически выглядит как целевая функция:
;
где – прибыль, получаемая от производства единицы продукции.
Остальные показатели учитываются в системе ограничений. С математической точки зрения этот набор записывается обычно как система уравнений и неравенств.
В стандартном случае ресурсы, которые нужно оптимально распределить на производство продукции, имеют ограничения по количеству. К ресурсам мы отнесем запасы сырья, трудовые ресурсы, мощность оборудования, имеющиеся деньги и так далее. Указать математически факт ограничения имеющихся материалов для использования на выпуск продукции можно с помощью неравенств. Такие неравенства дают ограничения математической модели:
,
где – норма расхода -го вида сырья на производство -го вида продукции;
– запасы -го вида ресурса.
Нужно помнить и об условиях выполнения договорных поставок. Их запишем также неравенствами:
, ,
где и – нижняя и верхняя границы производства продукции -го вида.
Обратный процесс превращения продукции в сырье не допускается. Это условие записывается неравенствами вида: .
Все уравнения-ограничения, которыми мы отражаем изучаемый экономический процесс, должны быть непротиворечивыми, то есть обязательно должно быть хоть одно решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям.
Не для каждой экономической задачи нужно создавать свою собственную математическую модель. Существуют типовые модели, к которым приводятся множество реальных задач. Экономико-математическая модель, отражающая схожие экономические процессы, называется фундаментальной экономической моделью. В экономическом анализе, в планировании производством на предприятии, управлении производственными силами в территориальных экономических системах, в экономике страны используются около 100 фундаментальных экономико-математических, информационных моделей [4].
Рассмотрим наиболее часто используемую экономико-математическую модель транспортной задачи.
Цель классической транспортной задачи заключается в том, чтобы найти наиболее выгодный план перевозок однородного или взаимозаменяемого продукта из пунктов отправления в пункты назначения. Другими словами, необходимо свести к минимуму общие затраты на перевозку всего объема груза. При этом желательно использовать все мощности поставщиков и удовлетворить спрос всех потребителей.
Постановка транспортной задачи состоит в том, что в каждом пункте отправления есть груз в известных количествах (например, в т или ед.). В нескольких пунктах потребления ждут этот груз. Потребности в грузе в каждом пункте также известны заранее. По условию задачи заданы расстояния (в км) от каждого поставщика до каждого потребителя или стоимость перевозки одной единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю. Нужно определить, сколько груза и в какие именно пункты потребления следует перевезти от каждого поставщика, с тем чтобы спрос в продукте пунктов назначения был удовлетворен, а общий объем транспортной работы (грузооборот) был минимальным.
Запишем условия транспортной задачи математически. Итак, пусть есть поставщики готовой продукции и потребителей . При этом – число единиц продукта в -м пункте отправления, – спрос в продукте -го пункта потребления, – транспортные издержки (деньги или расстояние) на перевозку единицы продукта от -го поставщика в -й пункт потребления (показателем может быть себестоимость перевозок единицы продукта, расстояние между пунктами отправления и пунктами назначения, время, затраченное на перевозку единицы продукта от поставщика к потребителю). – количество единиц продукта, перевозимое из -го пункта отправления в -й пункт потребления. Условие задачи удобно изображать в виде таблицы специального вида.
Элементы называются показателями критерия оптимальности; совокупности всех – распределением поставок; объем продукта, имеющийся у каждого поставщика, – его мощностью. Учитывая принятые обозначения, условие полного удовлетворения спроса в продукте всех пунктов потребления можно записать в виде уравнения:
. (1)
Продукт, имеющийся у поставщиков, должен быть полностью вывезен потребителям. Это условие записывается следующим образом:
. (2)
Условие, показывающее, что сумма мощностей поставщиков равна спросу всех пунктов потребления, записывается уравнением:
. (3)
Оптимальный вариант плана поставок, характеризующийся минимальным грузооборотом, можно записать в виде целевой функции вида:
. (4)
Мощности пунктов отправления и спросов потребителей должны быть неотрицательными:
; . (5)
Обратные перевозки от потребителей к поставщикам исключаются, то есть
, . (6)
Экономико-математическая модель транспортной задачи, описываемая условиями (1) – (6), называется закрытой.
Если сумма мощностей поставщиков не равна сумме мощностей потребителей, то вместо условия (3) используем условия
или , (7)
а вместо условия (2) используем условие
.
Транспортная задача с условием (7) вместо (3) не является открытой.
При составлении графика перевозок продукта важно не забывать об ограничениях пропускных способностей перевозок. Записать это можно также в виде неравенств:
,
где – предельное число единиц продукта, перевозимое по коммуникациям , за время, оговоренное в условиях задачи.
Существуют и другие виды модели транспортной задачи, но все модели можно и, как правило, нужно свести к классической фундаментальной модели с помощью преобразований разного вида.
Транспортные задачи произвольного типа при нахождении решений первоначально преобразуют к закрытым задачам и определяют решение, наилучшее для закрытых задач. После этого находят решение первоначальной задачи. Поэтому необходимо владеть приемами правильного решения именно закрытой классической транспортной задачи. Закрытую задачу (1) – (6) называют также задачей с правильным балансом. Она может быть рассмотрена и решена как задача линейного программирования.
Важно отметить, что для того, чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо и достаточно выполнение равенства (3).
Всякое неотрицательное решение системы линейных уравнений (1) – (2), определяемое матрицей , называется планом транспортной задачи. Тот план, который минимизирует целевую функцию , называется оптимальным планом транспортной задачи. Этот план является наиболее выгодным с экономической точки зрения. Матрица С = называется матрицей тарифов (издержек или транспортных расходов).
Выделим важнейшие свойства модели транспортной задачи, которые гарантируют, что рекомендованная с точки зрения математики процедура нахождения наилучшего решения приводит к искомому.
- Если m и n – количество поставщиков и потребителей соответственно, то ранг матрицы коэффициентов при неизвестных системы ограничений (5) – (6) транспортной задачи равен m + n – 1.
- В транспортной задаче всегда существуют допустимые планы, содержащие не более m + n – 1 положительных элементов.
- Транспортная задача всегда имеет оптимальный план.
- Если в транспортной задаче все числа ai , bj целые, то она имеет оптимальный целочисленный план.
Решение (план перевозок) назовем допустимым, если оно удовлетворяет системе ограничений (5) – (6), и опорным, если в нем отличны от нуля не более m + n – 1 базисных переменных, остальные равны нулю.
При решении закрытых задач придерживаются следующего порядка действий:
- Условия задачи заносят в специальную таблицу:
|
Bj Ai |
B1 |
B2 |
… |
Bn |
Запасы поставщиков |
|
A1 |
С11 |
C12 |
|
C1n |
a1 |
|
A2 |
С21 |
C22 |
|
C2n |
a2 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
An |
Сm1 |
Cm2 |
|
Cmn |
am |
|
Потребности потребителей |
b |
b |
… |
bn |
– |
- Находим первоначальный план поставок.
- Проводим проверку первоначального плана на оптимальности. Если он не является оптимальным, то преобразуем его специальными методами. При этом последовательно переходим от одного плана к другому, уменьшая при этом суммарную стоимость перевозок.
Классическая транспортная задача решается симплекс-методом, но для задач небольшой размерности часто проще и быстрее получить решение задачи иными способами. Укажем основные методы решения транспортной задачи.
- Итерационное улучшение плана перевозок: требуется построить опорный план и последовательными итерациями получить оптимальное решение. Опорный план находят методами «северо-западного угла», «наименьшего элемента», «двойного предпочтения», «аппроксимаций Фогеля». После нахождения опорного плана нужно применить один из алгоритмов его улучшения: «метод падающего камня», «метод потенциалов».
- Можно искать решение задачи с помощью теории графов. Рассматривается двудольный граф, у которого пункты производства находятся в верхней доле, а пункты потребления – в нижней. Пункты производства и потребления попарно соединяются ребрами, пропускная способность которых равна бесконечности. На каждом ребре указывается стоимости перевозки единицы потока. К верхней доле искусственно присоединяется исток. Пропускная возможность ребер от истока до пунктов производства считается равной наличному запасу продукта в этих пунктах. При этом цена за единицу потока на этих ребрах равна нулю. Также к нижней доле присоединяется сток. Пропускная способность от потребителей к стоку равна потребности в продукте в этих пунктах. Цена за единицу потока равна нулю. Далее решается задача нахождения максимального потока минимальной стоимости. При решении этой задачи удобно использовать алгоритм Беллмана – Форда.
Отметим, что рассмотренная задача может быть введена в процесс обучения студентов вузов как задача исследовательского характера для повышения уровня математической компетенции обучающихся [5–7].