Bringing equations of curves and surfaces of the second order to the canonical form using MathCAD environment

Поставим следующую задачу. Найти такую декартовую систему координат, в которой уравнение кривой или поверхности второго порядка примет настолько простой вид, что геометрическая характеристика линии, определяемой этим уравнением, не будет представлять затруднений. Так как переход от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой может быть осуществлен некоторым параллельным переносом системы координат и последующего поворота, то для решения поставленной задачи необходимо знать, как преобразуются коэффициенты уравнения при параллельном переносе и повороте. Упрощение уравнения начинают с преобразования квадратичной формы к каноническому виду. Как показывает теория [1, 2], эта задача всегда разрешима.

Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так как зависит от последовательности выбора ведущих переменных. Одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств – это закон инерции квадратичных форм: число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду [3, 4].

1. Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка в  называется множество точек , координаты которых в данной прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению

,  (1)

где  - действительные коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля.

Поверхность второго порядка в  при  представляет собой обычную поверхность в пространстве, а при - кривую на плоскости.

Уравнение (1) удобно записать в матричной форме:

,               (2)

где - квадратная симметрическая матрица порядка , а .

Слагаемое  в левой части уравнения (2) представляет собой квадратичную форму от координат точки. Ее называют квадратичной формой поверхности (1) второго порядка. Второе слагаемое  - линейная часть относительно координат точки, а третье слагаемое - число - свободный член.

2. Преобразование уравнения второго порядка

Один из подходов к анализу поверхности второго порядка в , заданной уравнением (2), состоит в подборе такой прямоугольной системы координат, в которой уравнение принимает наиболее простой вид. Упрощение уравнения (2) начинают с преобразования квадратичной формы к каноническому виду. Квадратичная форма называется канонической, если она не имеет попарных произведений переменных.

Рассмотрим квадратичную форму  поверхности второго порядка. Матрица  квадратичной формы является симметрической. Для любой симметрической матрицы существует такая ортогональная матрица  такого же порядка, что

,                (3)

где - диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы , повторяющиеся согласно их кратности. Преобразование (3) называют ортогональным преобразованием матрицы . Как найти ортогональную матрицу ? Необходимо:

1)     Найти собственные значения матрицы . Для этого составляем ее характеристическое уравнение , корнями которого являются собственные значения.

2)     Для каждого собственного значения найти набор линейно независимых собственных векторов, соответствующих этому собственному значению. Число таких векторов равно кратности собственного значения. Они являются фундаментальными решениями однородной системы линейных алгебраических уравнений

.

3)     Преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственного значения, в ортонормированные при помощи процесса ортогонализации Грама – Шмидта. Объединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет базисом евклидова пространства.

4)     Выписать матрицу , столбцами которой являются координаты ортонормированных собственных векторов построенной системы.

Таким образом, в результате ортогонального преобразования матрицы  квадратичная форма примет канонический вид: , где - координаты точки в ортонормированном базисе из собственных векторов. Старые и новые координаты связаны соотношением .

Уравнение (1) поверхности второго порядка преобразуется к следующему виду:

,

где - коэффициенты при новых переменных в линейных слагаемых.

Для каждого значения индекса  возможен один из четырех случаев:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     .

Если реализуется случай 4), то переменная  в уравнении поверхности второго порядка отсутствует. При  такая поверхность будет цилиндрической.

В случае 1) по переменной  нужно выделить полный квадрат. После такого преобразования координат случай 1) сводится к случаю 2). Выполнив все указанные преобразования и, если необходимо, изменив порядок переменных (это равносильно перестановке векторов в базисе), получим уравнение второго порядка в новых координатах :

,               (4)

где - число переменных, для которых реализуется вариант 2). Для переменных с индексами от до реализуется случай 3), а для переменных с индексами от  до  - вариант 4).

3. Классификация кривых второго порядка

Кривая второго порядка на плоскости  описывается уравнением

,

в котором по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля.

Так как , то при  уравнение (4) задает два варианта:

 и , ,

где - канонические переменные кривой второго порядка. С учетом возможных комбинаций знаков коэффициентов  и перестановки переменных получаем следующие канонические виды кривых:

- эллипс,

- мнимый эллипс,

- гипербола,

- точка,

- пара пересекающихся прямых.

При  квадратичная форма имеет одно слагаемое. В этом случае возможны варианты:

- прямая,

- пара параллельных прямых,

- пара мнимых прямых,

- парабола.

4. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве

Поверхность второго порядка в описывается уравнением

,

в котором по крайней мере один из коэффициентов  отличен от нуля.

Если , то возможны два варианта уравнения (4):

 и , ,

где - канонические переменные поверхности второго порядка. С учетом возможных комбинаций знаков коэффициентов  и перестановки переменных получаем следующие канонические виды поверхностей:

 - эллипсоид,

- мнимый эллипсоид,

 - однополостный гиперболоид,

 - двуполостный гиперболоид,

- конус,

- точка.

Если ранг квадратичной формы равен двум , то получаем два варианта уравнения (4):

 и , .

В первом варианте переменная  отсутствует, и мы получаем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси  и направляющей в плоскости XOY, которая является кривой второго порядка. Направляющая определяет тип поверхности:

 - эллиптический цилиндр,

 - мнимый цилиндр,

 - гиперболический цилиндр,

 - прямая,

 - пара пересекающихся плоскостей.

Во втором варианте получаем параболоиды:

 - эллиптический параболоид,

 - гиперболический цилиндр.

Если ранг квадратичной формы равен единице , то возможны следующие два варианта уравнения (4):

 и , .

В этих случаях также отсутствует переменная . Следовательно, это цилиндрические поверхности:

 - плоскость,

 - пара параллельных плоскостей,

 - пара мнимых плоскостей,

 - параболический цилиндр.

Проиллюстрируем на примерах процедуру практического вычисления ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к каноническому виду.

5. Примеры решения задач

Пример 1. Приведем к каноническому виду уравнение кривой второго порядка . Квадратичная форма имеет матрицу . Характеристическое уравнение имеет вид  или , откуда находим собственные значения . Этим собственным значениям соответствуют два линейно независимых собственных вектора:

, .

Матрица ортогонального преобразования примет вид

,

причем , поэтому данное преобразование задает поворот системы координат. Старые и новые координаты связаны соотношением

.

Тогда уравнение кривой в новых координатах примет вид

.

Отметим, что это уравнение можно легко получить, используя матричную форму записи. Действительно, в результате ортогонального преобразования матрица  квадратичной формы примет диагональный вид , поэтому квадратичная форма  в новых переменных запишется в виде . А линейные слагаемые  преобразуются в результате следующей замены переменных: . Таким образом, получаем . Свободный член в процессе преобразования поворота не изменится.

Далее выделим полный квадрат по переменной :  и введем обозначения:  (такой замене переменных соответствует параллельный перенос системы координат). В результате получим каноническое уравнение кривой  или , которое задает параболу.

Для построения полученной кривой в исходной системе координат  выполним следующую последовательность действий. В системе координат  строим векторы  и  с началом в точке  каждый. Эти векторы задают направления координатных осей новой системы координат , в которой отмечаем точку , являющуюся началом канонической системы координат . Затем проводим оси  и  параллельно осям и  и строим параболу в канонической системе координат , которая показана на рисунке.

Парабола в канонической системе координат

Если детально рассмотреть решение задачи, то заметим, что опущена методика нахождения собственных значений и соответствующих им собственных векторов. Авторы не ставили перед собой такую задачу. Цель была показать методику приведения квадратичной формы к каноническому виду. Сама по себе задача нахождения собственных значений и собственных векторов описана в [5, 6] и представляет собой отдельную самостоятельную задачу. В силу трудоемкости вычислений и для быстроты подсчета авторы предлагают использовать пакет прикладных программ в учебном процессе, а именно среду MathCAD.

MathCAD – это программная среда компьютерной алгебры, позволяющая выполнять на компьютере разнообразные математические и технические расчеты, включающие как символьные вычисления (т. е. преобразования различных формул и получение ответа в виде формулы), так и численные, ориентированные на использование приближенных методов [7–10]. В отличие от других систем компьютерной алгебры, MathCAD – это не язык программирования, а средство работы с документами, позволяющее проводить вычисления непосредственно в документе. Поэтому взаимодействие со средой MathCAD является простым и наглядным, доступным для людей, далеких от программирования.

Безусловно, студенты вначале должны обучиться технике нахождения собственных значений и собственных векторов без привлечения программных средств. Однако пакет MathCAD также можно использовать как средство для контроля и самоконтроля при решении задач такого рода. Решив задачу аналитическим путем, правильность ответа можно проверить с помощью MathCAD. Таким образом, MathCAD – прекрасный инструмент для помощи студентам в их самостоятельной работе.

Проиллюстрируем последовательность выполнения команд и шаги вычислений в среде MathCAD. Результаты представим в виде табл. 1.

Таблица 1

Описанный выше процесс упрощения уравнения кривой второго порядка реализуется и для поверхности второго порядка в пространстве. Рассмотрим этот процесс на следующем примере.

Пример 2. Приведем к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка . Квадратичная форма имеет матрицу . Характеристическое уравнение примет вид . Находим собственные значения  и соответствующие им собственные векторы:

, , .

Составим матрицу ортогонального преобразования:

.

Старые и новые координаты связаны соотношением

.

В новых координатах уравнение поверхности примет вид

.

Выделим полный квадрат по каждой из переменных ,  и : . Обозначив , получим каноническое уравнение эллипсоида: .

Вновь проиллюстрируем использование среды MathCAD для быстрого подсчета собственных значений матрицы и собственных векторов. Результаты вычислений представим в виде табл. 2.

Таблица 2

Предложенный алгоритм приведения уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду демонстрирует, что после ортогональных преобразований геометрические характеристики линий, определяемых этими уравнениями, не представляют затруднений и легко классифицируются. Проиллюстрированы некоторые возможности среды MathCAD, позволяющие ускорить процесс вычислений. Заметим, что активное использование пакетов прикладных программ в обучении повышает эффективность учебного процесса и помогает в формировании необходимых профессиональных компетенций.