Decision of tasks of research character in the study of mathematics in high school

Введение в программу обучения задач исследовательского характера [1] вызывает у студентов интерес к изучению предмета, помогает формированию базовых математических компетенций, закладывает навыки к самообразованию [2, 3].

Фундаментальность изучения математики является давней традицией высшего образования в России. Процесс фундаментализации образования базируется на изучении теоретических основ дисциплины, что зачастую представляется обучающимся чрезвычайно сложным и непонятным. Это происходит из-за абстрактности математических понятий, использования сложных преобразований, за которыми становится уже не видна красота предмета и возможности изучаемого раздела. Введение в программу обучения занимательных задач позволяет преодолеть эти сложности [4].

В результате студент приобретает хорошие знания по математике, овладевает приемами исследования прикладных задач. Происходит сближение процесса обучения и научной деятельности. Организация научно-исследовательской работы студентов приобретает первостепенное значение в свете реализации стандартов высшего образования последнего поколения. Согласно образовательным стандартам, студент вуза должен овладеть научными методами познания окружающего мира, должен быть склонен к инновационной деятельности, творчеству.

Первый этап в достижении этих целей – проявление заинтересованности в изучении теоретических основ дисциплины. Федеральные государственные образовательные стандарты высшего образования по математике требуют введения в программу обучения задач исследовательского характера, что способствует формированию у студентов познавательной деятельности, помогает научиться применять сведения из теории математики на практике. В качестве иллюстрации приведем несколько задач, решение которых требует нестандартного применения известных фактов из теории рядов.

Зададим две точки. Обозначим их так: Л – лиса, С – собака. Задача собаки – поймать лису, задача лисы – убежать от собаки. Считаем, что собака поймает лису тогда, когда точки С и Л совместятся. Введем условие: пусть скорости собаки и лисы будут одинаковыми. Покажем, что лиса всегда сможет убежать от собаки.

Задача 1. Пусть в начальный момент собака будет находиться в центре круга О, лиса – в точке на расстоянии  от центра, где меньше радиуса круга . Условимся, что собака побежит так, чтобы всегда быть на отрезке ОЛ. Покажем, что лиса может выбрать траекторию бега так, что собака не сможет ее догнать.

Для решения задачи будем строить ломаные, состоящие из бесконечного множества всё более коротких звеньев. Нам нужно, чтобы эти ломаные имели бесконечную длину, но целиком помещались внутри круга. Обозначим . Теперь построим ломаную L (рис. 1): ; ; ; ; …; ;

Рис. 1

Построенная ломаная обладает следующим свойствами:

1. Ломаная не выходит за пределы круга. Так как , то при любом m имеем:

.

Здесь использована оценка частичной суммы сходящегося ряда:

.

1. Поскольку  и так как гармонический ряд  является расходящимся, то (при больших m) сумма длин первых m звеньев ломаной может быть сколь угодно велика. Таким образом, ломаная L имеет бесконечную длину.
2. По построению каждое звено ломаной L перпендикулярно радиусу.

Перейдем к решению поставленной задачи. Лиса сумеет спастись, если будет бежать по ломаной L. Так как , то собака не может поймать лису на . Допустив противное, мы нашли бы на такую точку Л, что расстояние больше расстояния ОЛ, но этого не может быть, так как перпендикуляр короче наклонной ОЛ.

Обозначим через точку, в которую побежит собака, когда лиса окажется в точке . Так как , а , , то собака не может поймать лису, пока та находится и на . Это продолжается на каждом последующем звене ломаной: , и собака не может поймать лису на отрезке  (ни при каком m). Так как общая длина L бесконечна, то бесконечным будет и время, которое лиса будет бежать по ней. Итак, ни за какое конечное время собака не сможет поймать лису.

Задача 2. Пусть теперь собака и лиса находятся в двух произвольных (разумеется, различных) точках и  внутри круга радиуса r. Докажем, что, как бы ни вела себя собака, лиса сможет убежать от неё.

Прежде всего, лиса «строит» описанную выше ломаную L, но бежит вдоль другой ломаной L′ , зависящей от того, что делает собака. Опишем построение ломаной L′ (см. рис. 2).

Сначала выберем точку . Проведём через точку прямую , перпендикулярную . Пусть точка является снованием перпендикуляра, опущенного из О на . Отложим на точку так, чтобы выполнялось равенство , где – первое звено ломаной L.

Поэтому  и .

Теперь выберем точку . Из точки лиса бежит в . Так как , то, пока лиса находится на , собака не сможет поймать её. Обозначим через  точку, в которую прибежит собака, когда лиса достигнет точки . Из  лиса должна бежать в . Выбор этой точки опишем сразу в общем виде. Пусть собака и лиса находятся в точках  и . Объясним, как теперь выбрать (см. рис. 3).

Проведём через  прямую , перпендикулярную . Пусть – основание перпендикуляра, опущенного из точки О на . Точку  выберем на продолжении  на расстоянии  от точки  (где  – (n + 1)-е звено ломаной L). Таким образом, .

Теперь оценим . Допустим, что точку  нам удалось выбрать так, что , и выполняется неравенство

.

Рис. 2

Рис. 3

Получили оценку . Итак, каждое звено ломаной L′ не короче соответствующего звена L, а каждая вершина L′ расположена не дальше от центра, чем соответствующая вершина L: , .

Иначе говоря, ломаная L′ имеет бесконечную длину, но целиком помещается в круге . По построению  при любом m. Значит, собака по-прежнему не сможет поймать лису. Таким образом, как бы ни вела себя собака, лиса сможет убежать от неё.

Отметим, что задачи такого типа вызывают интерес у студентов. Упражнения по доказательству сходимости и расходимости рядов, используемые в решении, выполняются с энтузиазмом, поэтому решения хорошо запоминаются. Отметим, что можно доказать, что лиса убегает от собаки также в любом сколь угодно малом секторе. Доказывается, что две собаки могут согласованными действиями поймать лису [5]. Можно переформулировать задачу для погони в трехмерном, а также в n-мерном пространстве.

Решение студентами задач исследовательского характера является одним из первых шагов в раскрытии творческого потенциала студента, который вызывает у него интерес к науке. Это поможет разнообразить набор выработанных за время учебы компетенций [6].