Faniya AhmetovaКаждый в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, – все это находится в сфере реальных жизненных интересов. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них ни располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какова вероятность сдачи экзамена, или какой стороной упадет подброшенная вверх монета, или когда в следующем году выпадет первый снег. Однако исходы явлений тоже имеют свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных событий [1–3].
Ранее в работе [4] была изложена методика решения задач на классическую вероятность с помощью формул комбинаторики. В данной статье перейдем к рассмотрению задач, которые эффективно решаются с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса. Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез. А формула Байеса позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимосвязанное с ним событие. Другими словами, берется в расчет как ранее известная информация, так и данные новых наблюдений.
Теорема умножения вероятностей
Определение. Условной вероятностью события при условии (наступлении) события называют отношение при условии, что .
Теорема умножения вероятностей. Пусть событие и . Тогда .
Определение. События и , имеющие ненулевые вероятности, называют независимыми, если
или .
Теорема (критерий независимости случайных событий). События и , имеющие ненулевые вероятности, являются независимыми тогда и только тогда, когда
.
Пример 1. Среди ста лотерейных билетов есть пять выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.
Решение. Рассмотрим следующие события:
- два выбранных билета оказались выигрышными;
- й выбранный билет оказался выигрышным, .
Очевидно, что . Тогда по теореме умножения вероятностей .
Вычислим вероятность события , используя классическое определение вероятности:
.
Найдем условную вероятность . Так как событие произошло, то осталось девяносто девять билетов, среди которых четыре являются выигрышными. Следовательно,
.
Таким образом,
.
Пример 2. На десяти карточках написаны буквы, образующие слово «БИБЛИОТЕКА». Карточки перемешивают, пять из них последовательно извлекают и раскладывают в ряд слева направо. Найти вероятность того, что получится слово «БИЛЕТ».
Решение. Введем следующие события:
- пять последовательно извлеченных карточек образуют слово «БИЛЕТ»;
- на первой выбранной карточке написана буква «Б»;
- на второй карточке – буква «И»;
- на третьей карточке – буква «Л»;
- на четвертой карточке – буква «Е»;
- на пятой карточке – буква «Т».
Тогда событие и согласно теореме умножения вероятностей имеем
.
Поскольку на десяти карточках буква «Б» встречается два раза, то
.
Вычислим условные вероятности.
Если событие произошло, то на девяти оставшихся карточках буква «И» встречается два раза. Следовательно,
.
Если событие произошло, то на оставшихся восьми карточках буква «Л» встречается один раз, поэтому
.
Далее, рассуждая аналогично, получаем
, .
Таким образом,
.
Формула полной вероятности
Определение. События называют гипотезами, если они удовлетворяют следующим условиям:
1) они попарно несовместны;
2) в результате опыта хотя бы одно из них обязательно произойдет.
Пусть для события и гипотез известны вероятности и . Тогда имеет место формула полной вероятности:
.
Пример 3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 5% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 3% и третьего – 2%. Определить вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступили 30 телевизоров с первого завода, 20 – со второго и 50 – с третьего.
Решение. Пусть событие - приобретен исправный телевизор. С этим событием связаны три гипотезы: - телевизор изготовлен м заводом, . Обозначим - число телевизоров, поступивших в магазин с го завода, -общее число телевизоров. Составим следующую таблицу:
|
номер завода |
|||
|
1 |
30 |
0,3 |
1 – 0,05= 0,95 |
|
2 |
20 |
0,2 |
1 – 0,03 = 0,97 |
|
3 |
50 |
0,5 |
1 – 0,02 = 0,98 |
Для вычисления вероятности события воспользуемся формулой полной вероятности:
.
Пример 4. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча и после игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще 2 мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Событие - для второй игры выбрали 2 новых мяча. Здесь возможны три гипотезы:
- для первой игры выбрали 2 новых мяча;
- для первой игры выбрали 2 играных мяча;
- для первой игры выбрали 1 новый мяч и 1 играный.
Найдем вероятности гипотез. Рассмотрим следующие события:
- й извлеченный мяч оказался новым, ;
- й извлеченный мяч оказался играным, .
Выразим гипотезы через события и :
, , .
Тогда, согласно теореме умножения вероятностей, имеем
;
.
Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий и , а затем – теорему умножения, получаем
.
Перейдем к вычислению условных вероятностей.
Поскольку в результате наступления гипотезы количество новых мячей будет равно 13, а играных – 7, то, согласно теореме умножения вероятностей, получим
.
В результате наступления гипотезы количество новых и играных мячей останется прежним, поэтому
.
После наступления гипотезы количество новых мячей будет равно 14, а играных – 6. Следовательно,
.
Вероятность события определим по формуле полной вероятности:
.
Формула Байеса
Пусть до проведения опыта известны вероятности гипотез . Проведен опыт, в результате которого событие произошло. Спрашивается, как «изменятся» вероятности гипотез , если известны вероятности ?
Воспользуемся определением условной вероятности и применим теорему умножения:
.
Далее с учетом формулы полной вероятности приходим к формуле Байеса:
.
Определение. Вероятности , полученные «до проведения опыта», называют априорными, а условные вероятности , полученные «после проведения опыта», - апостериорными.
Пример 5. В группе из 20 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 8 – хорошо, 7 – удовлетворительно и 2 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 30 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 30 вопросов, хорошо подготовленный – на 25, удовлетворительно – на 18 и плохо –на 10. Вызванный наугад студент ответил на 3 произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) хорошо.
Решение. Событие - вызванный студент ответил на 3 вопроса. Естественно ввести четыре гипотезы:
- студент подготовлен отлично;
- студент подготовлен хорошо;
- студент подготовлен удовлетворительно;
- студент подготовлен плохо.
Найдем вероятности гипотез.
; ;
; .
Вычислим условные вероятности .
Очевидно, что .
Применяя теорему умножения вероятностей, получаем
;
;
.
Тогда по формуле полной вероятности находим
.
Апостериорные вероятности вычислим по формуле Байеса:
а) ;
б) .
Пример 6. Астрономический объект, за которым ведется наблюдение, может находиться в двух различных состояниях и , случайно переходя из одного в другое. Долговременной практикой установлено, что примерно 30% времени объект находится в состоянии , а 70% – в состоянии . Наблюдение ведется независимо двумя обсерваториями. Первая обсерватория обычно дает правильные сведения о состоянии наблюдаемого объекта в 95% случаев, а вторая – в 80% случаев. В какой-то момент времени первая обсерватория сообщила: «Объект находится в состоянии », а вторая обсерватория сообщила: «Объект находится в состоянии ». Какому из сообщений следует верить?
Решение. Пусть событие - первая обсерватория сообщила: «Объект находится в состоянии », а вторая обсерватория сообщила: «Объект находится в состоянии ». Возможны две гипотезы:
- объект находится в состоянии ;
- объект находится в состоянии .
По условию задачи известны априорные вероятности этих состояний:
и .
Определим условные вероятности:
;
.
Тогда, согласно формуле полной вероятности,
.
Вычислим апостериорные вероятности по формуле Байеса:
;
.
Так как , то следует верить сообщению «Объект находится в состоянии ».
Пример 7. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно , и . При одновременном выстреле имелось два попадания. Найти вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
Решение. Пусть событие - в цель попали двое. Рассмотрим следующие гипотезы:
- третий стрелок промахнулся;
- третий стрелок попал в цель.
Априорные вероятности гипотез известны:
и .
Найдем условные вероятности.
Событие «в цель попали двое при условии, что третий стрелок промахнулся» означает: в цель попали первый и второй стрелки. Поэтому
.
Событие «в цель попали двое при условии, что третий стрелок попал» означает: либо первый попал и второй промахнулся, либо первый промахнулся и второй попал. Следовательно,
.
Далее применим формулу полной вероятности
.
Тогда, согласно формуле Байеса, искомая апостериорная вероятность будет равна:
.
Методика, которая положена в основу данной работы, позволит достаточно быстро сформировать правильное представление о способах решения широкого спектра задач по теме «Формула полной вероятности и формула Байеса». Теоретический материал носит справочный характер и поможет преподавателям и студентам при подготовке к практическим занятиям.