Valerii GilevЕсли некоторое выражение при , то можно представить в виде произведения: . При : ; , если однократный корень.
Для функции разность ( ) ( ) также представима в виде произведения:
( ) ( ) · ( ; ) с условием, что при
.
Обозначим точку через : . Точку обозначим через : . Тогда предыдущее равенство перепишется:
( ) ( ) · ( ; ) причем
при .
Для рациональных функций множитель , поэтому
.
Имеем: или .
Обобщение, путем замены на в выражении ( ; ), определяет функцию обобщения . В статье показывается, что функция обобщения совпадает с производной: .
Конкретизация – замена на в выражении ( ; ), определяет значение функции обобщения в точке : .
Метод, при помощи которого находится функция , называется методом обобщения [1].
В статье приводятся примеры нахождения производных элементарных основных функций без использования теории пределов путем нахождения функции обобщения. На наглядно интуитивном уровне вводятся основные понятия математического анализа. С использованием функции обобщения доказываются первый и второй замечательные пределы.
Приращение аргумента и приращение функции
Разность называется приращением аргумента и обозначается :
.
Разность называется приращением функции и обозначается :
.
Так как , , то ; .
Если величины и связаны функциональной зависимостью , то приращение функции , соответствующее приращению аргумента , называют разностью .
Касательная. Понятие предела
Пусть дан график функции (рис. 1).
Зафиксируем на графике точку с абсциссой . Точку с абсциссой (текущей координатой) сделаем свободной. Точка фиксированная, точка свободная.
Тогда , .
Определение 1. Касательной к кривой в точке называется прямая , которая является предельным положением секущей , когда точка , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке .
Выделим на кривой точки и . Через точку проведем касательную и секущую .
Угол касательной с осью обозначим через . Угол секущей с осью обозначим .
Имеем уравнение касательной : уравнение секущей приращение аргумента: приращение функции: ; тангенс угла наклона секущей: ; тангенс угла наклона касательной:
Заметим, что угловой коэффициент касательной , угловой коэффициент секущей .
Предположим, что точка остается неподвижной, а точка , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к . Тогда:
- секущая поворачивается вокруг точки стремясь занять положение касательной ;
- точка стремится к точке , следовательно, стремится к 0;
- соответственно, стремится к 0;
- угол стремится к углу ;
- стремится к ;
- стремится к .
В математическом анализе слово «стремится» заменяют символом , а результат такого стремления обозначают символом . В нашем случае будем иметь:
- , ;
- , ;
- 0, ;
- 0,
- , ;
- ,
- , .
Из имеющихся равенств выделим: .
Угловой коэффициент касательной
Угловой коэффициент касательной определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:
.
Угловой коэффициент касательной в точке есть число, которое зависит от выбора точки , но не зависит от выбора (к тому же может принимать как положительные, так и отрицательные значения). Если рассматривать угловой коэффициент касательной в различных точках , то мы будем получать, вообще говоря, различные значения. Таким образом, угловой коэффициент касательной есть функция переменной , определенная на множестве, совпадающем либо с областью определения данной функции , либо с некоторой ее частью (см. Замечание).
Замечание. Возможно, что не ко всем точкам области определения функции можно провести касательную (рис. 2). Из рисунка видно, что к точкам и нельзя провести единственную касательную.
Понятие скорости изменения функции. Скорость изменения функции
в точке (мгновенная скорость)
На рис. 3 и 4 представлены графики возрастающих функций. Для точек, принадлежащих графикам этих функций, приращения аргументов одинаковы. Но соответствующие приращения функций различны: приращение функции на рис. 3 меньше, чем приращение функции на рис. 4. В этом случае говорят, что скорость изменения второй функции больше, чем скорость изменения первой.
Скоростью изменения функции называется отношение приращения функции к приращению аргумента: .
На графике функции (рис. 5, 6) выберем произвольную точку и зададим приращение аргумента . На рис. 5 > 0, на рис. 6 < 0. В результате получим соответствующую точку . Теперь начнем приближать по графику функции точку к точке таким образом, что 0.
В этом случае отношение приращения функции к приращению аргумента называется скоростью изменения функции в точке , или мгновенной скоростью изменения функции: .
Мгновенная скорость изменения функции в точке есть число, которое зависит от выбора точки , но не зависит от выбора . Если рассматривать мгновенную скорость функции в различных точках , то мы будем получать, вообще говоря, различные значения. Таким образом, мгновенная скорость есть функция переменной , определенная на множестве, совпадающем либо с областью определения данной функции , либо с некоторой ее частью (см. Замечание).
Замечание. Возможно, что функция имеет мгновенную скорость не во всех точках своей области определения. Например, для функции (рис. 7) мгновенная скорость в точках А, В и С неопределенная. На самом деле: видим, что слева от точки а скорость изменения функции больше, чем справа; слева от точки b скорость изменения функции положительная, а справа – отрицательная; слева от точки с скорость изменения функции отрицательная, а справа – положительная. Сказать, какова скорость изменения функции в самих точках, невозможно.
Понятие производной
Заметим, что при определении касательной к кривой и мгновенной скорости изменения функции, по существу, выполняется одна и та же операция, задающая функцию переменной : . Эта функция называется производной функции в точке и обозначается или .
Определение 2. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при , если этот предел существует:
; .
Так как производная функции сама является функцией, то пишут: .
К понятию производной мы пришли двумя различными способами, рассматривая значение производной в точке как тангенс угла наклона касательной к этой точке (угловой коэффициент касательной) и как мгновенную скорость изменения функции в этой точке. В курсе математического анализа рассматриваются и другие задачи, приводящие к понятию производной.
Таким образом, производная является универсальным понятием, которое используется в различных областях науки. Поэтому в курсе математического анализа разрабатываются способы отыскания производных различных функций. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Исходя из определения производной, выводятся правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Полученный математический аппарат позволяет исследовать функции, описывающие реальные процессы.
Для нас представляет интерес тот факт, что производные мы уже находили, когда исследовали функции на монотонность методом обобщения. Оказывается, функция обобщения – это и есть производная . Об этом речь ниже. Их отличие заключается в том, что получается методом обобщения, а – с использованием теории пределов, с которой начинается разработка математического аппарата, составляющего содержание курса математического анализа. Для исследования элементарных основных функций вполне достаточно функции обобщения.
Функция обобщения является производной:
Теорема 1. Для рациональных функций функция обобщения совпадает с производной .
Доказательство
На самом деле, пусть дана функция (рис. 8).
Тогда где
Имеем:
, , ; ; ; .
Если функция рациональная, то
Таким образом, . Значит, Получаем:
. Откуда .
Обобщая, заменив на , получим: .
Вывод: по определению.
Теорема 2. Для трансцендентных функций значение функции обобщения совпадает со значением производной функции в точке касания .
Доказательство
Пусть – трансцендентная функция.
В разложении: , .
Тогда
Имеем:
Получаем:
.
Откуда .
При условии, что касательная к графику функции в точке (или мгновенная скорость изменения функции в точке ) одна, то .
Обобщая, заменив на , получим .
Из теорем 1 и 2 делаем вывод, что функция обобщения является производной [2].
Метод обобщения появился более 20 лет назад в результате решения проблемы исследования функций на монотонность без использования производной [3, 4]. За прошедшие годы мною были написаны и изданы книги по данной проблеме, опубликован ряд статей и выступлений на конференциях.
Не возражая в принципе против метода обобщения, мои оппоненты высказывают мнение о невозможности использования данного метода в школе. В статье я пытаюсь показать, что функция обобщения, являясь по сути производной, позволяет эффективно ввести элементы математического анализа, опираясь на интуитивные представления учащихся о пределах.
Функция обобщения выступает в качестве связующего звена элементарного исследования функций и применения теории пределов, с помощью которой создан мощнейший математический аппарат. Более того, появляется возможность исследовать функцию на выпуклость графика [5].
Ведение в школьный курс математики метода обобщения при исследовании функций избавляет школьников от изучения теории пределов. Зато в вузе появляется возможность легко «оттолкнуться» от функции обобщения, отметив, что это производная, но ее практически невозможно получить для функций, которые будут изучаться в курсе математического анализа. Появляется мотивация для изучения «с чистого листа» довольно сложного учебного материала о пределах готовыми для этой работы студентами [6].