Full text

Эффективность обучения в вузе в значительной степени зависит от того, насколько активно протекает учебно-познавательная деятельность студентов. С точки зрения психологической теории сущность обучения представляется как управление внешней (практической) и внутренней (мыслительной) активностью учащихся, в результате которой у них формируются определенные знания, умения, навыки.

Решение проблемы активизации учебно-познавательной деятельности будущих учителей математики предполагает конструктивное совершенствование организационной и технологической сторон обучения. Организационный аспект состоит в стимулировании мыслительной деятельности студентов путем применения активных методов обучения. Технологический аспект решения указанной проблемы заключается в использовании новых дидактических средств − информационных компьютерных технологий (ИКТ).

Следует отметить, что в настоящее время в системе высшего математического образования наблюдаетсяпротиворечиемежду необходимостью ее ориентации на активизацию учебно-познавательной деятельности учащихся и недостаточной разработанностью методики использования психолого-педагогических и программных возможностей ИКТ с этой целью. Основной дидактической задачей применения компьютера по-прежнему остается визуализация учебного материала и организация учебной деятельности на репродуктивном уровне. Недостаточно исследованы вопросы использования компьютерных технологий в сочетании с активными методами обучения.

По нашему мнению, методика активизации учебно-познавательной деятельности будущих учителей математики должна быть основана на синтезе проблемного обучения и компьютерного моделирования. При этом целесообразно использовать компьютерные модели, выполненные с помощью предметно-ориентированных сред, отличающихся взаимосвязью программных (визуализация, анимация, интерактивность) и психолого-педагогических (наглядность, эмоциональное регулирование, обратная связь) возможностей. К подобным средствам ИКТ относятся математические пакеты − универсальные вычислительные среды для решения задач математической направленности при задании условий на языке пользователя.

На кафедре прикладной математики и информатики ЕГУ им. И. А. Бунина внедрена в практику методика обучения геометрии с поддержкой пакета Mathematica в рамках элективного курса «Дополнительные вопросы дифференциальной геометрии». Формой организации учебной деятельности студентов выступает лабораторный практикум, интегрирующий традиционную функцию практического занятия (формирование умений и навыков) и возможности компьютерного моделирования в среде системы Mathematica (наглядность этапов решения задачи, графическое представление полученных результатов). Тем самым в рамках лабораторного практикума обеспечивается единство содержательной и процессуальной сторон обучения, единство мыслительной и практической деятельности. Занятия по геометрии проводятся в компьютерном классе, где у каждого студента свое рабочее место и свой рабочий каталог.

Отметим, что традиционное изучение дифференциальной геометрии линий и поверхностей ориентировано на знакомство с различными формами аналитического задания фигур на плоскости и в пространстве, исследование их свойств средствами математического анализа. Наглядное представление геометрической информации при этом вызывает определенные трудности, например построение кривых порядка n > 2, поверхностей второго порядка, параметрически заданных кривых и поверхностей в евклидовом пространстве. Функциональные возможности пакета Mathematica позволяют преодолеть противоречие между наличием обширного аппарата аналитического исследования геометрических объектов и значительной сложностью графического представления процесса и результатов этого исследования [1]. Появляется возможность обращения к тем аспектам геометрической науки, которые ранее были недоступны будущим учителям математики из-за сложности, недостаточной наглядности, громоздкого математического аппарата для описания. Так, в рамках лабораторного практикума изучаются геометрические места точек, поверхности второго порядка, асимптоты и особые точки кривых, соприкосновение кривых n-го порядка, огибающая семейства кривых, эволюта и эвольвента, специальные параметризации поверхностей, моделируются пространственные линии, исследуются геометрические свойства поверхностей вращения.

Ведущим принципом обучения геометрии в рамках лабораторного практикума выступаетпринцип проблемности, согласно которому усвоение знаний и начальный этап формирования навыков происходят в процессе относительно самостоятельного решения учащимися системы задач-проблем под общим руководством педагога. Применение технологии проблемного обучения обеспечивает поддержку поисковой активности учащихся, способствует овладению ими навыками творческой учебно-познавательной деятельности [2].

Перечислим приемы проблемного обучения геометрии, используемые нами в процессе подготовки будущих учителей математики: создание проблемных ситуаций, групповое обсуждение возможных подходов к разрешению проблемной ситуации и выбор наиболее рационального варианта, метод проблемного изложения учебного материала, эвристическая беседа, проблемно-поисковые самостоятельные работы.

Остановимся на одном из примеров создания проблемной ситуации при формировании понятия гладкой линии.

Проблемная ситуация – это некоторое интеллектуальное затруднение, возникающее в случае, когда учащийся не знает, как объяснить возникшее явление, факт, не может достичь цели известным ему способом. Создание проблемной ситуации предполагает постановку познавательной задачи, побуждение учащихся к анализу фактов (сравнению, противопоставлению, предварительному обобщению), к выдвижению гипотез, а также организацию исследования. Для создания проблемных ситуаций в обучении геометриинами используются методы диалогического изложения (показ учащимся логики научного открытия путем постановки проблемных вопросов, выдвижения и доказательства гипотез), эвристических заданий (открытие нового знания самими учащимися под руководством преподавателя в процессе решения задач).

В основном курсе геометрии традиционно вводится понятие гладкой элементарной линии класса Сk (k ≥ 1).

Определение. Элементарная линия γ0, заданная параметрическими уравнениями x = (x(t), y = y(t), z = z(t), t I, называется гладкой линией класса Сk, если функции x(t), y(t), z(t) имеют в промежутке I непрерывные производные до порядка k включительно, причем в каждой точке t I:

 

                     (1)

 

Затем приводятся примеры гладких (винтовая линия, синусоида) и негладких (трактриса) элементарных линий, кусочно-гладкой линии (обыкновенная циклоида). При этом гладкость определяется проверкой условия (1).

При проблемной интерпретации того же учебного материала преподаватель не сообщает знаний в готовом виде, а побуждает учащихся к их самостоятельному поиску. Применение пакета Mathematica может оказать существенную поддержку в работе над понятием гладкой элементарной линии.

Работа над указанным понятием начинается с выполнения следующего задания: «Постройте модели линий, заданных параметрически. Что общего у этих линий? Чем они существенно различаются?»

1)    

2)    

3)    

Выполнив построение заданных фигур, учащиеся замечают, что все три линии элементарные, проходят через начало координат. Однако «поведение» линий в начале координат различно. Вторая кривая имеет излом типа острия, а первая и третья не имеют особенности в этой точке (см. рис. 1).

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

На основе проведенного анализа возникает предложение разбить множество элементарных линий на «гладкие» и «негладкие». Но по какому признаку это можно сделать?

Если продолжить «наблюдение» над данными фигурами, можно отметить, что касательные векторы во втором и третьем случаях при  нулевые, в первом же имеем . Таким образом, если , то линия в данной точке гладкая. Обратное не всегда верно.

Преподаватель предлагает студентам проверить выдвинутое предположение на других примерах:

4)     циклоида ,

5)     винтовая линия ; , где .

Опираясь на компьютерную модель (см. рис. 2), студенты отмечают следующее свойство циклоиды: она является элементарной линией (так как гомеоморфна прямой), но не является гладкой. В точках  условие  не выполняется. В то же время числовую прямую можно покрыть счетным множеством промежутков , внутри каждого из которых уравнения 4) определяют гладкую линию. Поэтому циклоиду можно отнести к кусочно-гладким линиям. Винтовая линия, очевидно, является гладкой. Аналитически этот факт подтверждается неравенством (1).

 

 

 

Рис. 2

Далее следует выяснить вопрос о равенстве . Является ли оно критерием нарушения гладкости элементарной линии? На примерах 2), 3), 4) убеждаемся, что это условие не гарантирует существования особенности линии в точке.

Проведенная подготовительная работа с компьютерными моделями линий позволяет студентам самостоятельно дать определение гладкой элементарной линии, сформулировать условие гладкости. После этого преподаватель может перейти к строгому доказательству соответствующих теорем.