Teaching students various ways of solving the tasks with parameters

Задачи с параметрами занимают в школьной математике особое место и всегда играли важную роль в процедурах конкурсного отбора, что вполне оправданно [1]. Умение решать такие задачи свидетельствует прежде всего о высокой математической культуре учащихся. С помощью задач с параметрами можно проверить знание основных разделов школьной программы, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, умение обосновывать свои действия, аргументировать полученные выводы и в конечном итоге оформить получившееся решение в виде математически правильного, логически ясного и полного текста.

Однако практика показывает, что у большинства школьников и некоторой части учителей задачи с параметрами вызывают как минимум робость. Причин этого явления видится несколько. Одна из них – психологическая и/или предметная неготовность учителей включать такие задачи в материал урока. Особо остро эта проблема стоит перед выпускниками математических факультетов последних 10 лет, в учебных планах которых время на изучение элементарной математики существенно сокращено. Решению задач с параметрами на уроках математики уделяется мало внимания и потому, что в школьных учебниках отсутствует система заданий данной тематики. Чаще такие задачи рассматриваются в старших классах в рамках элективных курсов, преследуя при этом почти всегда одну цель – подготовиться к итоговой аттестации. Но, на наш взгляд, основная трудность при этом заключается в том, что ученики должны усвоить методы решения данного вида задач, осознать эти методы и овладеть ими, что требует немалого времени. С этой точки зрения задачи с параметрами целесообразнее начать рассматривать в 8–9-х классах, постепенно применяя разные методы на различных классах задач. И такая возможность, как показывает опыт, существует [2].

Традиционно для решения задач с параметрами используются аналитические и/или графические методы. Наиболее часто применяемым при аналитическом способе рассуждений является сведение задачи к решению уравнений, неравенств, их систем или совокупностей. Хорошие результаты в отдельных случаях дает нахождение необходимых условий, применение свойств функций. Графические решения, как правило, выполняются в декартовой системе координат либо системе «переменная-параметр» [3].

Важно обучать учащихся различным методам решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному из них, чтобы каждый был готов к выбору наиболее целесообразного и эффективного пути рассуждения. Большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений.

Рассмотрим на примере решения одной из задач высокого уровня сложности разнообразие приемов рассуждений и способов ее решения, обращая при этом внимание на возможные ошибки и недочеты учеников.

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений  имеет единственное решение [4].

Опыт работы со школьниками показывает, что в этой ситуации интуитивно первой приходит идея, связанная с представлениями учащихся о решении систем уравнений методом подстановки. Ученикам психологически проще подставить  в первое уравнение системы, чем задумываться о разложении его левой части на множители или графических способах решения. Тогда исходная система приобретает вид:

После соответствующих преобразований получаем:

Заметим, что каждому значению  соответствует ровно одно значение . Это означает, что число решений исходной системы равно числу решений системы (2).

Переформулируем задачу.

При каких значениях  уравнение  (3) имеет ровно один корень, больший двух?

Это возможно в следующих случаях.

Случай 1. Уравнение является линейным и имеет один корень, больший 2.

Уравнение (3) линейное, если , то есть  или .

При  уравнение принимает вид  и имеет один корень , больший 2.

При  уравнение имеет вид 4  и не имеет корней, больших 2.

Заметим, что рассмотренный случай 1 (уравнение не является квадратным) школьники часто упускают из вида, зачастую теряя при этом удовлетворяющие условию задачи значения параметра.

Случай 2. Уравнение является квадратным и имеет только один корень, который больше 2 или имеет два различных корня, но только один из них больше, чем 2.

Уравнение (3) квадратное, если , то есть  и .

Число корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта. Найдем дискриминант уравнения (3).

.

Заметим, что дискриминант является «хорошим» – он представляет собой полный квадрат выражения , поэтому корни уравнения (3) легко выражаются через параметр :

.

Если , то есть , то  и уравнение (3) не имеет корней, больших двух.

Если , то есть , то  и условие задачи выполняется при

Заметим, что школьники часто ошибаются при построении отрицания к условию , рассматривая только случай , что приводит к ошибочному ответу.

Подставляя в (4) выражения для корней квадратного уравнения, получаем:

Решением (5) являются .

Объединяя случаи 1 и 2, окончательно получаем: .

При рассмотрении случая 2 далеко не всегда дискриминант квадратного уравнения получается «хорошим», то есть представляет собой полный квадрат выражения, зависящего от параметра . В этой ситуации выражения для корней квадратного уравнения могут быть иррациональными и совокупность (5) приобретает «устрашающий» для школьников вид. Как правило, в этом случае ученики отказываются от решения задачи или, решая иррациональные неравенства, тратят на это неоправданно много времени. В гораздо более выигрышной ситуации здесь оказываются школьники, которые знакомы с основными утверждениями о расположении корней квадратного трехчлена и могут применить к случаю 2 соответствующие графические иллюстрации. Приведем еще один способ рассмотрения этого случая, основанный на вышеупомянутых рассуждениях.

Если уравнение (3) является квадратным ( ), то для выполнения условий задачи оно должно иметь хотя бы один корень ( ).

Случай  ( ) следует рассмотреть отдельно. Как было показано выше, для  условие задачи не выполняется.

Пусть  и , тогда уравнение (3) равносильно уравнению

Рассмотрим функцию . Её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось  в двух различных точках, соответствующих корням уравнения (3).

Заметим, что рассмотрение приведенного квадратного уравнения (6) вместо уравнения (3) позволяет уменьшить количество рассматриваемых случаев расположения параболы.

Число 2 может располагаться относительно точек пересечения параболы с осью  пятью различными способами:

Так как ровно один корень уравнения должен быть больше 2, условию задачи удовлетворяют случаи (C) и (D) (рис. 1).

В случае (C) число 2 лежит между корнями уравнения , что равносильно условию . Решим соответствующее неравенство.

.

Итак, в случае (C) .

В случае (D) один из корней уравнения  равен двум, то есть . Из этого условия найдем возможные значения для .  при  или . Проверим найденные для  значения.

При  получаем уравнение , у которого ровно один из корней больше 2, что удовлетворяет условию задачи.

При  получаем уравнение , у которого нет корней, больших 2, что не удовлетворяет условию задачи.

Окончательно получаем .

Обратим внимание, что реализация приведенных выше способов рассуждений требует от учащихся: знания определений линейного и квадратного уравнений; знаний о числе корней квадратного уравнения в зависимости от знака дискриминанта и умения находить эти корни; свободного владения методом интервалов при решении дробно-рациональных неравенств, хорошо сформированных представлений о виде графика квадратичной функции и его расположении в системе координат в зависимости от знака дискриминанта. Все перечисленные знания и умения формируются в 8–9-х классах.

Приведем еще одно аналитическое решение задачи, которое позволит нам легко перейти к рассмотрению графических способов ее решения.

Преобразуем первое уравнение исходной системы:

.

Нельзя не заметить, что здесь можно обсудить со школьниками и другие способы разложения на множители многочлена от двух переменных.

Можно рассмотреть его как квадратный трехчлен от переменной  – , найти корни –  или  и применить теорему о разложении квадратного трехчлена на множители.

Можно применить другую группировку: .

Тогда после разложения на множители квадратного трехчлена получаем: .

Итак, в результате разложения на множители левой части первого уравнения исходная система принимает вид:

Из системы (7) получим:

Рассматривая систему (А), имеем

При  система решений не имеет. При  получим

Эта система имеет решение, причем единственное, если , то есть при .

Рассматривая систему (В), получим

При  система решений не имеет.

При  получим

Эта система имеет решение, причем единственное, если , то есть при .

Система (7) имеет единственное решение в следующих случаях:

-          (А) имеет единственное решение, (В) решений не имеет;

-          (В) имеет единственное решение, (А) решений не имеет;

-          (А) и (В) имеют единственное решение, но эти решения совпадают.

Найдем значения , при которых решения систем (А) и (В) совпадают:      нет таких .

Отметим полученные выше результаты на оси  (рис. 2).

Рис. 2

Таким образом, по рис. 2 определяем, что единственное решение система (7) имеет при .

Заметим, что при работе с учениками в качестве дополнения к рис. 2 может быть построена еще одна числовая прямая, на которой показаны все возможные варианты количества решений исходной системы в зависимости от значений параметра . При записи ответа следует обратить особое внимание на включение (исключение) концов промежутков.

Это решение требует от учащихся более глубоких и гибких знаний и умений. Разложение многочлена с двумя переменными на множители существенно упрощает решение задачи. Вооружить учащихся таким приемом рассуждений – значит открыть им путь к графическим способам решения. Заметим также, что учащиеся допускают логические ошибки при выборе единственного решения совокупности двух систем. Однако и этот материал не выходит за рамки программы основной школы.

Как показывает практика, школьники, знакомые с графическими методами решения задач с параметрами, гораздо охотнее применяют именно их.

Решим задачу графическим методом в системе .

Из системы (7) получаем , далее

В системе координат  будем рассматривать те части прямых  и , которые лежат в полуплоскости  (рис. 3).

Рис. 3

Уравнение  задает на плоскости прямую, проходящую через точку  с угловым коэффициентом, равным принимающим всевозможные значения. Удобно представлять себе не семейство прямых, а «движущуюся» прямую, которая «вращается» вокруг точки . Мысленно вращая прямую , определим такие ее положения, когда она имеет ровно одну общую точку с частями прямых  и . На рис. 3 выделены области, в которых должна лежать прямая , чтобы выполнялось данное условие. Найдем значения , которые соответствуют положениям прямой, ограничивающей данные области.

         I. Прямая  проходит через точку , следовательно, , отсюда .

        II. Прямая  проходит через точку , следовательно, , отсюда .

      III. Прямая  параллельна оси , следовательно, .

     IV. Прямая параллельна прямой , значит .

Таким образом, условию задачи удовлетворяют .

Для использования такого метода необходимо научить школьников изображать различные множества точек на плоскости, что можно сделать при изучении конкретных классов функций.

Решим задачу графическим методом в системе .

Подставим  в первое уравнение системы (7), получим:

Заметим, что каждому значению  соответствует ровно одно значение  при каждом фиксированном значении параметра , то есть исходная система имеет столько же решений, сколько и система (9). Найдем все значения , при которых система (9) имеет единственное решение.

Из системы (9) получаем .

Поскольку , то  и

Построим в системе координат  множество всех точек, координаты которых удовлетворяют системе (10). Для этого в полуплоскости  построим гиперболы  (рис. 4).

Найдем точку пересечения гипербол, решив систему , откуда , то есть , что не удовлетворяет условию . Это значит, что в полуплоскости  гиперболы не пересекаются.

Заметим, что при  значение  равно , значение  равно 1, то есть при  имеем .

Рис. 4

Мысленно перемещая прямую  вдоль оси  «снизу вверх», фиксируем такие ее положения, при которых эта прямая имеет ровно одну общую точку с частями гипербол (на рис. 4 соответствующие этим положениям значения параметра a выделены на оси ).

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при .

Отметим, что работа в системе «переменная-параметр» является несколько непривычной для учащихся с точки рения получения ответа. Однако если метод знаком и усвоен, мы видим, что решение задачи сводится к построению графиков известных функций и решению знакомых уравнений, неравенств и их систем.

Вне всякого сомнения, решение задач с параметрами требует глубины рассуждений, твердых базовых знаний, определенного уровня логического мышления, волевых качеств. Далеко не все школьники готовы в силу своих способностей и мотивации работать с такими задачами. Однако наш опыт работы с учениками 8–9-х классов показывает, что некоторые из них с интересом воспринимают этот материал, их привлекает новизна задач и рассуждений, необычность методов решений, а при достижении определенных успехов интерес к задачам с параметрами возрастает. Это существенно влияет на качество подготовки учащихся по математике, в том числе и к различного рода аттестациям, позволяет снять психологический барьер перед такого рода задачами и к концу 11-го класса приобрести определенный опыт решения задач с параметрами.