How to teach students integrating in MathCAD environment

Формирование и развитие навыков применения традиционных методов интегрирования является важной составляющей в процессе подготовки студентов первого курса при изучении предмета «Математический анализ». Безусловно, студенты вначале должны обучиться технике интегрирования без привлечения программных средств. Однако пакет MathCAD можно использовать как средство для контроля и самоконтроля при решении задач на интегрирование. Решив ту или иную задачу аналитическим путем, правильность ответа можно проверить с помощью MathCAD.

MathCAD – это программная среда компьютерной алгебры, позволяющая выполнять на компьютере разнообразные математические и технические расчеты, включающие как символьные вычисления (т. е. преобразования различных формул и получение ответа в виде формулы), так и численные, ориентированные на использование приближенных методов.

Ранее в работе [1] были проиллюстрированы простейшие приемы работы в этой среде и разобран алгоритм дифференцирования в MathCAD. Поэтому не будем вновь описывать основные моменты, такие как введение арифметических выражений и формул с клавиатуры в документе MathCAD. Перейдем непосредственно к вопросу интегрирования.

1. 1.     Символьное и численное интегрирование

Как и другие математические операции, интегрирование в MathCAD может проводиться как численно, так и символьно. Численное интегрирование может выполняться с различной точностью и различными приближенными методами. Чтобы понимать результаты численного интегрирования, нужно хорошо ориентироваться в методах вычислительной математики, а это выходит за рамки данной работы. Мы ограничимся способами символьного интегрирования.

В MathCAD можно символьно вычислять как неопределенные, так и определенные интегралы. Чтобы вычислить символьно неопределенный интеграл в MathCAD, нужно ввести его в каком-либо месте документа и комбинацией клавиш <Ctrl> + <. > ввести знак символьного вычисления. Для ввода неопределенного интеграла следует использовать специальный шаблон, который можно вставить с помощью кнопки< > на панели инструментов Calculus или с помощью комбинации клавиш <Ctrl> + <I >. В документе появятся два поля ввода, разделенных символом дифференциала < d>. Слева от этого символа необходимо ввести подынтегральную функцию, а справа – имя переменной, по которой выполняется интегрирование. Для заполнения поля нужно щелкнуть по соответствующему черному квадратику и ввести нужное значение.

После того как в документ будет введен неопределенный интеграл и знак символьного вычисления, достаточно щелкнуть на свободном месте рабочего документа. Справа от знака символьного вычисления – стрелки «®» – будет выведена функция, которая является первообразной от подынтегрального выражения (постоянная интегрирования не выводится). Пример вычисления неопределенного интеграла по шагам показан на рис. 1.

Рис. 1. Заполнение значениями шаблона неопределенного интеграла

Усложним задачу. Предположим, что неопределенный интеграл является «неберущимся». Рассмотрим, как он себя поведет при вычислении в среде MathCAD. Ответ сформулируем в виде замечания 1.

Замечание 1. Если интеграл «неберущийся», т. е. интеграл, который не выражается через элементарные функции, то первообразную функции нельзя записать в аналитическом виде, в качестве символьного результата будет еще раз записан тот же интеграл.

Это наглядно можно увидеть в последней записи из приведенных примеров вычисления интегралов:

1. 2.         Примеры выполнения задания

При разборе примеров будет методически грамотным обратить внимание студентов на связь между двумя взаимообратными действиями: интегрирования и дифференцирования. После нахождения интеграла правильность вычислений полезно проверять дифференцированием.

Пример 1. Вычислить , результат вычисления проверить с помощью дифференцирования.

Решение. Вычислим неопределенный интеграл:

Проверим результат дифференцированием. Для этого щелкнем по свободному месту в документе и введем шаблон производной (кнопка< > в панели Calculus). Шаблон производной содержит два поля ввода, первое (в знаменателе) для ввода имени переменной, по которой выполняется дифференцирование, второе – для ввода дифференцируемой функции. Заполнив шаблон, вставив знак символьного вычисления (комбинация клавиш < Ctrl> +< . >), щелкнем в свободном месте документа. Готовое выражение необходимо выделить рамкой и ввести знак символьных вычислений «®» щелчком по стрелке вправо в панели Symbolic. Далее надо щелкнуть по рабочему документу вне рамки. Для того чтобы упростить полученное выражение, необходимо ввести ключевое слово “simplify” (щелчком по нему в панели Symbolic). Результат каждого шага показан на рис. 2.

Рис. 2. Процесс символьного дифференцирования

Таким образом, символьное дифференцирование дало следующий результат:

Этот результат эквивалентен исходной функции, но обратим внимание, что внешне отличается от нее. Более точного результата можно добиться, если использовать оператор символьного вычисления с модификатором, который вводится комбинацией клавиш < Ctrl > + < Shift > + < . >. Слева от стрелки появится поле ввода, в которое вводится ключевое слово. Заполнив шаблон производной, введем символьный оператор с модификатором, в поле ввода наберем ключевое слово “simplify”.

Получим:

Это выражение совпадает с исходной функцией.

Пример 2. Вычислить , результат вычисления проверить с помощью дифференцирования.

Решение. Вставим шаблон неопределенного интеграла, заполним его и введем оператор символьного вычисления:

Вставим шаблон производной, заполним его. Затем введем оператор символьного вычисления с модификатором “simplify”. Полученный результат совпадет с исходной функцией:

Пример 3. Вычислить интеграл . Результат вычисления проверить с помощью дифференцирования.

Решение. Вводим интеграл и оператор символьного вычисления. Отметим, что аргумент функции  нужно заключить в скобки, как это делается в языках программирования. Получим:

Проверка дифференцированием подтверждает полученный результат:

Пример 4. Вычислить интеграл . Результат проверить дифференцированием.

Решение. Результат интегрирования (аргумент функции , как и в случае синуса в предыдущем примере, заключается в скобки) имеет вид:

Результат дифференцирования имеет вид:

Для вычисления определенного интеграла используется соответствующий шаблон, содержащий четыре поля ввода: нижний и верхний пределы интегрирования, подынтегральная функция, переменная интегрирования. Шаблон вводится щелчком по соответствующей кнопке в панели Calculus или с помощью комбинации следующих клавиш < Shift > + < 7 >.

При символьном вычислении определенного интеграла в среде MathCAD сначала вычисляется первообразная, затем используется формула Ньютона – Лейбница. Для иллюстрации рассмотрим по шагам вычисление определенного интеграла  (рис. 3).

Рис. 3. Заполнение значениями шаблона определенного интеграла

Рассмотрим вычисление в среде MathCAD некоторых определенных интегралов:

Замечание 2. Если определенный интеграл «неберущийся», то в качестве результата будет еще раз записан тот же интеграл, как и в случае с неопределенным интегралом.

Подводя итог, можно сказать, что предложенная в статье методика позволит достаточно быстро сформировать прочные навыки решения задач на интегрирование в среде MathCAD.

Сформулируем основные положения методики и этапы исследования интегралов:

1. Вычислить интеграл – это значит ответить на вопрос, «берущийся» интеграл или нет. Если интеграл «берущийся», то мы получим результат вычисления. В случае неопределенного интеграла – это первообразная (постоянная интегрирования не выводится), в случае определенного интеграла – число.
2. Полезно проверить ответ обратным действием – дифференцированием. Обратить внимание, что символьное дифференцирование может дать результат эквивалентный исходной функции, но внешне отличающийся от нее. Поэтому для получения более точного результата лучше использовать оператор символьного вычисления с модификатором.
3. Если интеграл «неберущийся», то в качестве символьного результата будет еще раз записан тот же интеграл. Вычислить его можно будет, используя известные численные методы, описанные в специализированной литературе.

Вычисление интегралов – это, по-видимому, одна из самых сложных задач в системах символьной алгебры. Следует признать, что не все интегралы, выражающиеся в элементарных функциях («берущиеся» интегралы), можно вычислить в среде MathCAD. Любой хорошо владеющий техникой интегрирования может попробовать найти такие интегралы. Тем не менее ассортимент «берущихся» интегралов, которые под силу алгоритмам MathCAD, весьма широк. В представлении ответа MathCAD использует не только хорошо известные элементарные функции, но и ряд специальных функций (например, интегральный логарифм, интегральный синус, гамма-функция Эйлера).

Чрезвычайная простота интерфейса MathCAD сделала эту систему одной из самых популярных среди систем поддержки математики и, безусловно, самой распространенной в студенческой среде. В работах [2–8] наглядно показано использование пакета MathCAD при дифференцировании, при построении графиков в различных системах координат и так далее. Таким образом, MathCAD – прекрасный инструмент для помощи студентам в их самостоятельной работе.

В качестве дополнительных задач для самостоятельного решения можно предложить следующие.

Задание 1. Вычислите в MathCAD неопределенный интеграл и проверьте правильность вычислений дифференцированием.

Задание 2. Вычислите в MathCAD определенный интеграл.