Faniya AhmetovaMathCAD – это программная среда компьютерной алгебры, позволяющая выполнять на компьютере разнообразные математические и технические расчеты. В отличие от других систем компьютерной алгебры, MathCAD – это не язык программирования, а средство работы с документами, допускающее проведение вычислений непосредственно в документе. Это позволяет сделать взаимодействие пользователя со средой MathCAD простым и наглядным, доступным для людей, далеких от программирования.
Ранее в работе [1] было описано пошаговое изложение построения графиков в декартовой и полярных системах координат в MathCAD. В [2, 3] продемонстрирована методика построения графиков линейных функций, содержащих знак модуля. Поэтому не будем вновь описывать основные моменты, в частности то, с чего начинать построение графиков в MathCAD. Будем предполагать, что читатель с этим знаком или может посмотреть в указанных работах.
- 1. Исследование некоторых вопросов поведения функций
На первых занятиях предмета «Математический анализ» первокурсники на базе школьных знаний разбирают такие вводные понятия, как область определения, четность, нечетность функций, построение их графиков с помощью элементарных преобразований. Студентам выдаются индивидуальные домашние задания, которые выполняются самостоятельно.
В свою очередь, авторы статьи ставят перед собой задачу описать все тонкости и разобрать возможные ошибки при выполнении заданий. На примерах задач мы покажем два способа решения поставленных задач: аналитический и графический – с применением среды MathCAD. Привлечение программных средств повысит скорость решения задач и качество подготовки заданий.
Отметим важность обучения студентов различным методам решения задач. При этом не следует отдавать предпочтение какому-то одному из них. Необходимо, чтобы каждый студент был готов к выбору наиболее целесообразного и эффективного пути рассуждения. Большое внимание следует уделять накоплению у студентов опыта самостоятельного поиска решений.
Итак, перейдем непосредственно к некоторым вопросам исследования функций, а именно нахождения области определения, четности, нечетности. Известно, что область определения – это множество, на котором задается функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть задано. Рассмотрим пример нахождения области определения и построим график функции в MathCAD.
Пример 1. Найти область определения функции
.
На область определения функции накладывает ограничения корень – подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Так как для любого x выполняется неравенство , то получаем условие:
Чтобы решить неравенство, находим корни квадратного трёхчлена: . Методом интервалов получаем решение неравенства и область определения функции:
Построим график заданной функции с использованием среды MathCAD (рис. 1).
Из графика видно, что область определения функции найдена верно. Таким образом, аналитический и графический методы показали одинаковый результат.
В следующих задачах необходимо исследовать функции на четность, нечетность. Прежде чем перейти к рассмотрению функции, дадим необходимые определения.
Определение 1. Функция , , называется четной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента верно равенство: .
График любой четной функции симметричен относительно оси ординат
Определение 2. Функция , , называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента верно равенство: .
График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Заметим, что не всякая функция является четной или нечетной. В тех случаях, когда функция не является ни четной, ни нечетной, то её называют функцией общего вида. График такой функции не обладает симметрией. Рассмотрим три примера на все перечисленные случаи.
Пример 2. Исследовать функцию на четность, нечетность:
.
Для того чтобы вычислить , нужно открыть «Панель вычислений» и нажать стрелку <→>, которая выполняет символьные вычисления заданной функции.
Вычислим . Так как , то функция будет четной.
Построим график функции в среде MathCAD и проверим выполнение свойства четной функции (рис. 2).
Как видим, график симметричен относительно оси , то есть функция действительно четная.
Пример 3. Исследовать функцию на четность, нечетность:
.
Вычислим . Так как , то функция нечетная.
Построим график функции в среде MathCAD и проверим выполнение свойства нечетной функции (см. рис. 3).
Видим, что график симметричен относительно начала координат, то есть функция нечетная.
Пример 4. Исследовать функцию на четность, нечетность:
.
Вычислим .
Построим график функции в MathCAD (рис. 4) и проанализируем результаты.
Из свойств функции арккосинус мы знаем, что . Учитывая это, имеем:
График не симметричен относительно оси OY. Значит, функция не является четной. Кроме того, имеем: .
График не обладает центральной симметрией относительно начала координат. Значит, функция не является нечетной. Делаем вывод, что – функция общего вида.
На примерах задач мы показали два способа решения: аналитический и графический – с применением среды MathCAD. Оба метода имеют место.
- 1. Применение элементарных преобразований и возможности
их отображения на графике с помощью средств MathCAD
В следующих задачах необходимо применить элементарные преобразования к графикам функций, описать этапы построения и изобразить эти графики с применением среды MathCAD.
Обратим внимание, что реализация этого задания требует от студентов школьных знаний об элементарных преобразованиях графиков функций. Опираясь на них, они должны составить последовательность функций: от элементарной к данной функции. При построении графиков требуется указать, какое именно преобразование было применено. Заметим, что благодаря использованию программного средства MathCAD студенты избавятся от необходимости «поточечного» построения графиков.
Напомним, что, как правило, различают три вида элементарных преобразований графиков функций в декартовой системе координат:
- первый вид – масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат;
- второй вид – симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей;
- третий вид – параллельный перенос (сдвиг) вдоль координатных осей.
В полярной системе координат применяется поворот на угол α, растяжение (сжатие) относительно начала координат (этот случай будет рассмотрен в примере 8).
Итак, рассмотрим задачи, к функциям которых применены элементарные преобразования.
Пример 5. Построить график функции .
К функции прибавляется . В этом случае происходит параллельный перенос, график смещается вверх на . Вместе с графиком смещаются и асимптоты. Горизонтальными асимптотами графика функции являются прямые и .
Пример 6. Построить график функции .
Когда аргумент функции умножается на , то происходит сжатие графика вдоль оси OХ в раз. Область определения функции также сжимается в раз. Если функция определена на отрезке , то для функции областью определения является отрезок .
Пример 7. Построить график функции .
Обратим внимание, во избежание ошибки рассуждений, что сложение двух функций и не является элементарным преобразованием графиков функций. Поэтому сначала преобразуем функцию, выделив полный квадрат:
.
Теперь при помощи элементарных преобразований построим последовательно графики функций (рис. 8):
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Если у графика функции есть асимптоты (горизонтальные, наклонные, вертикальные), они также должны быть изображены как неотъемлемая часть графика.
Поскольку на первых занятиях первокурсники еще не знают классификацию точек разрыва, то мы решили подробно не освещать этот вопрос. Но нельзя не отметить, что при построении графиков в MathCAD существуют особенности их представления при наличии точек разрыва функции. Если читателю будет интересен этот вопрос, то он подробно освещен в [4].
Отметим, что построение графиков с использованием пакета прикладных программ MathCAD является несколько непривычным для студентов с точки зрения метода. Однако если инструмент усвоен, то решение задач сводится к построению графиков известных элементарных функций, результат получается весьма быстро и без необходимости «поточечного» построения графика. Чрезвычайная простота интерфейса MathCAD сделала эту систему одной из самых популярных среди систем поддержки математики и, безусловно, самой распространенной в студенческой среде. В работах [5–12] наглядно показано использование пакета MathCAD при дифференцировании, при построении графиков в различных системах координат и так далее. Таким образом, MathCAD – прекрасный инструмент для помощи студентам в их самостоятельной работе.
Наш опыт работы с первокурсниками показывает, что студенты с интересом воспринимают этот материал, их привлекает новизна использования программной среды MathCAD и скорость решения задач. Это существенно влияет на качество подготовки, приобретение определенного опыта и формирование необходимых профессиональных компетенций.