Обобщенные функции впервые в науку были введены П. Дираком в его квантомеханических исследованиях, в которых систематически использовалась знаменитая -функция. В чем ее смысл? Дельта-функция дает возможность выразить в математической форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, плотность точечного заряда, плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного точечного источника и т. д. Дельта-функцией моделируется распределение точечных масс в классической механике, плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины в теории вероятностей, распределение точечных зарядов в теории поля.
В молекулярной физике взаимодействие между частицами идеального газа также описывается дельта-функцией, так как в модели идеального газа частицы считаются точечными. Довольно часто при расчетах некоторых явлений в кристаллах заменяют атомы решетки на периодически расположенные дельта-ямы. В квантовой механике дельта-функции являются собственными функциями оператора импульса, то есть они играют роль базиса в диагональном представлении этого оператора.
Важным применением дельта-функции является ее участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора , действующего на обобщенные функции, уравнение, определяющее функцию Грина с источником в точке , имеет вид:
.
Особенно часто встречается применение функций Грина к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, теория упругости) и к оператору Даламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля).
Далее, обратное преобразование Фурье единицы является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний.
В математике и инженерных приложениях часто рассматриваются функции, хорошо аппроксимирующие дельта-функцию. В радиосвязи это так называемый единичный импульс, который используют для анализа линейных фильтров и дискретизации сигналов.
Как видно, дельта-функция широко применяется в физике, математической физике, электродинамике, квантовой механике, акустике, волновой оптике, теории колебаний, теории сигналов и цепей и пр. Именно поэтому так необходимо объяснить студентам инженерных специальностей, что такое дельта-функция. А это, вообще говоря, довольно сложно, так как понятие дельта-функции выходит за рамки обычного понятия функции. Дельта-функция – это обобщенная функция.
Импульсные функции
Рассмотрим функцию , график которой изображен на рис. 1.
Рис. 1
Она представляет собой величину, которая действует лишь на отрезке , где имеет постоянное значение , суммарный эффект ее действия равен .
Пусть . Введем функцию , такую, что .
Назовем ее импульсной, или -функцией. Импульсная функция равна нулю всюду, кроме точки , где она равна , и, тем не менее, для нее считается справедливым соотношение ,предельное для такого же соотношения с функцией :
.
Таким образом, -функция представляет собой конструкцию для вполне определенного предельного процесса, который часто рассматривается в физике: бесконечно большая величина действует в бесконечно малый промежуток времени с суммарным эффектом, равным 1. Введение этой функции сильно упрощает вычисления, связанные с таким предельным процессом: вместо того, чтобы производить выкладки до перехода к пределу и перейти к пределу в окончательном результате, переходят к пределу сразу до выкладок. В большинстве физических задач законность такой перестановки вполне оправданна.
Далее для любой непрерывной функции по теореме о среднем получаем:
.
Переходя к пределу при , получаем:
.
Если разрывна при , то означает ее правое предельное значение.
Аналогично можно получить, что .
Импульсные функции получили строгое обоснование в теории обобщенных функций. Главная идея этой теории состоит в переходе от функций к функционалам, заданным на том или ином пространстве функций, которые называются основными функциями.
Основные функции. Обобщенные функции
Наиболее часто используемое пространство основных функций – это множество всех функций действительного переменного , бесконечно дифференцируемых на всей оси, каждая из которых обращается в нуль вне некоторого конечного отрезка (зависящего от функции). Пространство основных функций обозначается буквой . Последовательность функций сходится к функции в , если все обращаются в нуль вне одного отрезка, а на этом отрезке последовательность равномерно сходится к вместе с производными всех порядков.
Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал на множестве , то есть отображение, которое каждой функции ставит в соответствие комплексное число так, что при этом выполняются следующие свойства.
- Свойство линейности. для любых комплексных чисел и и любых функций и .
- Свойство непрерывности. Последовательность комплексных чисел для любой последовательности в в смысле принятого выше определения.
В частности, любая обычная функция , определенная на всей оси и интегрируемая на каждом конечном интервале, определяет обобщенную функцию по правилу
. (1)
Если для двух таких обычных функций и функционалы (1) совпадают, т. е. для всех , то мало отличается от h(t) (например, значениями в отдельных точках). Поэтому мы можем считать, что функционал представляет функцию , т. е. обычную функцию можно рассматривать как обобщенную. -функция Дирака является обобщенной функцией, которая строго определяется как функционал, сопоставляющий каждой функции ее значение в точке : . Аналогично
. (2)
Обобщенная функция – это не функция, а функционал, поэтому ее значение в точке смысла не имеет. Однако говорят, что обобщенная функция равна нулю в окрестности точки , если для всех , отличных от нуля лишь в пределах этой окрестности, .
Нулевым множеством обобщенной функции называется совокупность точек , в окрестностях которых обобщенная функция равна 0. Носителем обобщенной функции называется множество . Очевидно, -функция равна 0 в окрестности любой точки так что ее носитель есть точка .
Операции над обобщенными функциями
- Сложение и умножение на число определяются естественно:
. (3)
- Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию.
Для обычной функции и бесконечно дифференцируемой имеем:
(4)
(мы смогли перебросить к основной функции , так как , в силу бесконечной дифференцируемости ). Свойство (4) принимается в общем случае за определение: произведением обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию называется функционал , который действует на функции по правилу:
. (4)
- Дифференцирование обобщенных функций
Преимущества обобщенных функций особенно ярко проявляются при дифференцировании. Нет необходимости говорить о существовании производных – любая обобщенная функция является бесконечно дифференцируемой. Используя формулу интегрирования по частям для обычных непрерывно дифференцируемых функций , получаем:
(5)
(член без интеграла равен 0, так как равна нулю вне конечного отрезка). В общем случае примем равенство (5) за определение обобщенной производной: производной обобщенной функции называется функционал , который на основную функцию действует по правилу:
. (5)
Пример 1. Найдем обобщенную производную единичной функции Хевисайда .
,
так как , следовательно .
Пример 2. Пусть – обычная функция, непрерывно дифференцируемая всюду, кроме точек , в которой она имеет разрыв первого рода, со скачком . Ее обобщенная производная имеет вид:
.
Таким образом,
. (6)
Аналогично, пусть – обычная, непрерывно дифференцируемая функция всюду, кроме точек , в которых она имеет разрывы первого рода со скачками . Тогда обобщенная производная этой функции имеет вид:
. (7)
Пример 3. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Известно, что ее функция распределения является ступенчатой функцией, имеющей разрывы 1-го рода в точках со скачками соответственно (рис. 2).
Рис. 2
По определению плотность распределения вероятностей является производной от функции распределения . Следовательно, в силу (7) плотность распределения дискретной случайной величины имеет вид .
Пример 4. Найти обобщенную производную функции (см. рис. 3).
Рис. 3
Нетрудно видеть, что функцию, представленную на рис. 3, можно записать следующим образом:
.
Приводя подобные, получаем:
.
Дифференцируя как произведение и учитывая, что , получаем:
.
Нетрудно видеть, что . В самом деле, в силу (4) и (2) имеем:
.
Следовательно,
.
Далее, последовательность обобщенных функций называется сходящейся к обобщенной функции , если для любой функции
. (8)
(8) – это предел числовой последовательности. Ряд из обобщенных функций называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится в смысле указанного выше определения.
Пример 5. Последовательность обычных функций , равных на отрезке , и нулю вне его в классическом смысле расходится. Но по теореме о среднем , где и, следовательно, . Таким образом, в смысле обобщенных функций существует и равен -функции Дирака.
В теории обобщенных функций любую сходящуюся последовательность и ряд можно почленно дифференцировать. Это свойство сразу следует из определения: если , то стремится к для любой , а это и означает, что . Таким образом, в теории обобщенных функций снимаются все классические предосторожности, связанные с дифференцированием последовательностей и рядов.
Преобразование Фурье обобщенных функций
Рассмотрим в качестве пространства основных функций множество бесконечно дифференцируемых на функций, которые убывают при вместе со всеми своими производными быстрее любой степени . Сходимость в определим следующим образом: последовательность функций из сходится к функции , если для всех целых и последовательность стремится к при равномерно на .
Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций . Обозначим множество всех обобщенных функций медленного роста.
Поскольку основные функции из абсолютно интегрируемы на , то для них определена операция преобразования Фурье:
. (9)
Обратное преобразование Фурье основных функций имеет вид:
. (10)
Нетрудно видеть, что
. (11)
Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста определяется следующим образом:
. (12)
Введем в еще одну операцию преобразования Фурье, которую обозначим :
. (13)
Легко проверить, что операция является обратной к операции преобразования Фурье , то есть .
Пример. Покажем, что
. (14)
В самом деле,
.
Полагая в (14) , получаем:
. (15)
Откуда . В силу (13)
,
откуда
.
Методика, которая положена в основу данной работы, позволяет сформировать правильное представление о таких понятиях, как обобщенные функции, обобщенные производные, преобразование Фурье обобщенных функций. Приведено большое количество примеров вычисления обобщенных производных. Теоретический материал носит справочный характер и помогает преподавателям и студентам в подготовке к практическим занятиям.