Full text

Обобщенные функции впервые в науку были введены П. Дираком в его квантомеханических исследованиях, в которых систематически использовалась знаменитая -функция. В чем ее смысл? Дельта-функция дает возможность выразить в математической форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, плотность точечного заряда, плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного точечного источника и т. д. Дельта-функцией моделируется распределение точечных масс в классической механике, плотность распределения вероятностей дискретной случайной величины в теории вероятностей, распределение точечных зарядов в теории поля.

В молекулярной физике взаимодействие между частицами идеального газа также описывается дельта-функцией, так как в модели идеального газа частицы считаются точечными. Довольно часто при расчетах некоторых явлений в кристаллах заменяют атомы решетки на периодически расположенные дельта-ямы. В квантовой механике дельта-функции являются собственными функциями оператора импульса, то есть они играют роль базиса в диагональном представлении этого оператора.

Важным применением дельта-функции является ее участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора , действующего на обобщенные функции, уравнение, определяющее функцию Грина  с источником в точке , имеет вид:

.

Особенно часто встречается применение функций Грина к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, теория упругости) и к оператору Даламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля).

Далее, обратное преобразование Фурье единицы является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний.

В математике и инженерных приложениях часто рассматриваются функции, хорошо аппроксимирующие дельта-функцию. В радиосвязи это так называемый единичный импульс, который используют для анализа линейных фильтров и дискретизации сигналов.

Как видно, дельта-функция широко применяется в физике, математической физике, электродинамике, квантовой механике, акустике, волновой оптике, теории колебаний, теории сигналов и цепей и пр. Именно поэтому так необходимо объяснить студентам инженерных специальностей, что такое дельта-функция. А это, вообще говоря, довольно сложно, так как понятие дельта-функции выходит за рамки обычного понятия функции. Дельта-функция – это обобщенная функция.

 

Импульсные функции

Рассмотрим функцию , график которой изображен на рис. 1.

 

 

Рис. 1

 

Она представляет собой величину, которая действует лишь на отрезке , где имеет постоянное значение , суммарный эффект ее действия равен .

Пусть . Введем функцию , такую, что .

Назовем ее импульсной, или -функцией. Импульсная функция  равна нулю всюду, кроме точки , где она равна , и, тем не менее, для нее считается справедливым соотношение ,предельное для такого же соотношения с функцией :

.

Таким образом, -функция представляет собой конструкцию для вполне определенного предельного процесса, который часто рассматривается в физике: бесконечно большая величина действует в бесконечно малый промежуток времени с суммарным эффектом, равным 1. Введение этой функции сильно упрощает вычисления, связанные с таким предельным процессом: вместо того, чтобы производить выкладки до перехода к пределу и перейти к пределу в окончательном результате, переходят к пределу сразу до выкладок. В большинстве физических задач законность такой перестановки вполне оправданна.

Далее для любой непрерывной функции  по теореме о среднем получаем:

.

Переходя к пределу при , получаем:

.

Если  разрывна при , то  означает ее правое предельное значение.

Аналогично можно получить, что .

Импульсные функции получили строгое обоснование в теории обобщенных функций. Главная идея этой теории состоит в переходе от функций к функционалам, заданным на том или ином пространстве функций, которые называются основными функциями.

Основные функции. Обобщенные функции

Наиболее часто используемое пространство основных функций – это множество всех функций  действительного переменного , бесконечно дифференцируемых на всей оси, каждая из которых обращается в нуль вне некоторого конечного отрезка (зависящего от функции). Пространство основных функций обозначается буквой . Последовательность функций  сходится к функции  в , если все  обращаются в нуль вне одного отрезка, а на этом отрезке последовательность  равномерно сходится к  вместе с производными всех порядков.

Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал  на множестве , то есть отображение, которое каждой функции  ставит в соответствие комплексное число  так, что при этом выполняются следующие свойства.

  1. Свойство линейности.  для любых комплексных чисел  и  и любых функций  и .
  2. Свойство непрерывности. Последовательность комплексных чисел  для любой последовательности  в  в смысле принятого выше определения.

В частности, любая обычная функция , определенная на всей оси  и интегрируемая на каждом конечном интервале, определяет обобщенную функцию  по правилу

.                  (1)

Если для двух таких обычных функций  и  функционалы (1) совпадают, т. е.  для всех , то  мало отличается от h(t) (например, значениями в отдельных точках). Поэтому мы можем считать, что функционал  представляет функцию , т. е. обычную функцию можно рассматривать как обобщенную. -функция Дирака является обобщенной функцией, которая строго определяется как функционал, сопоставляющий каждой функции  ее значение в точке : . Аналогично

.                 (2)

Обобщенная функция – это не функция, а функционал, поэтому ее значение в точке смысла не имеет. Однако говорят, что обобщенная функция равна нулю в окрестности точки , если для всех , отличных от нуля лишь в пределах этой окрестности, .

Нулевым множеством  обобщенной функции называется совокупность точек , в окрестностях которых обобщенная функция  равна 0. Носителем обобщенной функции  называется множество . Очевидно, -функция равна 0 в окрестности любой точки  так что ее носитель есть точка .

 

Операции над обобщенными функциями

  1. Сложение и умножение на число определяются естественно:

.            (3)

  1. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию.

Для обычной функции  и бесконечно дифференцируемой  имеем:

(4)

(мы смогли перебросить  к основной функции , так как , в силу бесконечной дифференцируемости ). Свойство (4) принимается в общем случае за определение: произведением обобщенной функции  на бесконечно дифференцируемую функцию  называется функционал , который действует на функции  по правилу:

.             (4)

  1. Дифференцирование обобщенных функций

Преимущества обобщенных функций особенно ярко проявляются при дифференцировании. Нет необходимости говорить о существовании производных – любая обобщенная функция является бесконечно дифференцируемой. Используя формулу интегрирования по частям для обычных непрерывно дифференцируемых функций , получаем:

          (5)

(член без интеграла равен 0, так как  равна нулю вне конечного отрезка). В общем случае примем равенство (5) за определение обобщенной производной: производной обобщенной функции  называется функционал , который на основную функцию  действует по правилу:

.              (5)

Пример 1. Найдем обобщенную производную единичной функции Хевисайда .

,

так как , следовательно .

Пример 2. Пусть  – обычная функция, непрерывно дифференцируемая всюду, кроме точек , в которой она имеет разрыв первого рода, со скачком . Ее обобщенная производная имеет вид:

 

 

.

Таким образом,

.                   (6)

Аналогично, пусть  – обычная, непрерывно дифференцируемая функция всюду, кроме точек , в которых она имеет разрывы первого рода со скачками . Тогда обобщенная производная этой функции имеет вид:

.                    (7)

Пример 3. Пусть дискретная случайная величина принимает значения  с вероятностями  соответственно. Известно, что ее функция распределения  является ступенчатой функцией, имеющей разрывы 1-го рода в точках  со скачками  соответственно (рис. 2).

 

Рис. 2

 

По определению плотность распределения вероятностей  является производной от функции распределения . Следовательно, в силу (7) плотность распределения дискретной случайной величины имеет вид .

Пример 4. Найти обобщенную производную функции  (см. рис. 3).

 

Рис. 3

 

Нетрудно видеть, что функцию, представленную на рис. 3, можно записать следующим образом:

.

Приводя подобные, получаем:

.

Дифференцируя как произведение и учитывая, что , получаем:

.

Нетрудно видеть, что . В самом деле, в силу (4) и (2) имеем:

.

Следовательно,

.

Далее, последовательность обобщенных функций  называется сходящейся к обобщенной функции , если для любой функции  

.             (8)

(8) – это предел числовой последовательности. Ряд из обобщенных функций  называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм  сходится в смысле указанного выше определения.

Пример 5. Последовательность обычных функций , равных  на отрезке , и нулю вне его в классическом смысле расходится. Но по теореме о среднем , где  и, следовательно, . Таким образом,  в смысле обобщенных функций существует и равен -функции Дирака.

В теории обобщенных функций любую сходящуюся последовательность и ряд можно почленно дифференцировать. Это свойство сразу следует из определения: если , то  стремится к  для любой , а это и означает, что . Таким образом, в теории обобщенных функций снимаются все классические предосторожности, связанные с дифференцированием последовательностей и рядов.

 

Преобразование Фурье обобщенных функций

Рассмотрим в качестве пространства  основных функций множество бесконечно дифференцируемых на  функций, которые убывают при  вместе со всеми своими производными быстрее любой степени . Сходимость в  определим следующим образом: последовательность функций  из  сходится к функции , если для всех целых  и  последовательность  стремится к  при  равномерно на .

Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций . Обозначим  множество всех обобщенных функций медленного роста.

Поскольку основные функции из  абсолютно интегрируемы на , то для них определена операция преобразования Фурье:

.              (9)

 

Обратное преобразование Фурье основных функций имеет вид:

.                 (10)

Нетрудно видеть, что

.            (11)

Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста определяется следующим образом:

. (12)

Введем в  еще одну операцию преобразования Фурье, которую обозначим :

.   (13)

Легко проверить, что операция  является обратной к операции преобразования Фурье , то есть .

Пример. Покажем, что

.                        (14)

В самом деле,

.

Полагая в (14) , получаем:

.                    (15)

Откуда . В силу (13)

,

откуда

.

 

Методика, которая положена в основу данной работы, позволяет сформировать правильное представление о таких понятиях, как обобщенные функции, обобщенные производные, преобразование Фурье обобщенных функций. Приведено большое количество примеров вычисления обобщенных производных. Теоретический материал носит справочный характер и помогает преподавателям и студентам в подготовке к практическим занятиям.