Change of variable in tasks with parameters

Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных задач курса элементарной математики и формируют у школьников начальные навыки анализа моделей реальных процессов.

Умение решать задачи с параметрами свидетельствует о достаточно высокой математической культуре, способности обобщать и применять в нестандартной ситуации рассуждения, осуществлять осмысленный, обоснованный и полный перебор возможных вариантов состояния модели, аргументировать полученные выводы.

Достаточно эффективными методами решения большого класса задач с параметрами являются графические методы, позволяющие визуализировать поиск решения задачи и достаточно просто и наглядно интерпретировать результат. Основу указанных методов составляет умение строить графики элементарных функций или множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению, неравенству или их системам, в том числе и зависящим от параметра [1].

Не всегда в исходной формулировке задача решается графически в рамках школьной программы, однако нередко замена переменной позволяет свести такую задачу к виду, позволяющему применить графические методы, строя при этом графики изученных в школе классов функций. Трудность, которая возникает в этом случае, – интерпретация решения в терминах исходной переменной, а не введенной в ходе замены.

Одна из наиболее часто предлагаемых школьникам для исследования проблем в задании № 18 ЕГЭ – определение наличия или количества решений уравнения (системы уравнений, неравенств), зависящих от параметра. Приведем примеры работы с такими задачами, иллюстрируя их решения чертежами.

1. 1.     Задача о наличии решений уравнения или неравенства с параметром

Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется уравнение

или неравенство

где символ обозначает один из знаков неравенства ( , а  некоторая функция, которая каждому значению переменной  ставит в соответствие не более одного значения  Необходимо определить значения параметра , при которых уравнение (1.1) или, соответственно, неравенство (1.2) имеют решения.

В общем виде решение задачи можно описать следующими шагами:

1)     Делается замена переменной

и находится множество  значений функции . Для нахождения множества  рекомендуется построить график функции (1.3).

2)     Анализируется наличие решений уравнения (1.4) или неравенства (1.5)

на множестве  при каждом допустимом значении параметра .

Для иллюстрации рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. При каких значениях параметра р уравнение

имеет решения? [2]

Рассмотрим замену переменной

построим график этой функции (рис 1.1) и найдем множество ее значений .

В результате получим уравнение , равносильное уравнению (1.8)

где .

Сделаем еще одну замену переменной

и построим график функции (1.9) при  (рис. 1.2).

Множество значений этой функции составляет промежуток , а уравнение (1.8) примет вид:

Осталось найти такие значения параметра р, при которых последнее уравнение имеет корни в промежутке , то есть имеет решения система

Эту задачу решим графически в системе «переменная – параметр», для чего из первого уравнения системы (1.10) выразим параметр p

и исследуем на промежутке  функцию .

а)    Найдем значения функции на концах промежутка: , .

б)    Функция  непрерывна на промежутках  и , причем положительна на  и отрицательна на .

в)    Найдем производную , которая не существует при обращается в ноль при  и при , а на промежутках  и  отрицательна. Это означает, что на каждом из промежутков  и  функция  убывает.

г)      При u, стремящемся к единице, значение функции становится бесконечно большим, то есть прямая является вертикальной асимптотой графика исследуемой функции. Построим на промежутке  график функции  (рис. 1.3).

Проанализировав график функции  приходим к выводу, что система (1.11) имеет решения при . Это означает, что и исходное уравнение (1.6) имеет решения только при указанных значениях параметра.

Ответ: .

Замечание. Анализ системы (1.10) можно проводить не графически, а анализируя расположение корней квадратного трехчлена. Однако, как показывает практика, учащиеся этот метод применяют крайне редко и неохотно, не всегда видят все возникающие варианты положения корней относительно заданных точек или числовых множеств. Но самую большую трудность учащиеся испытывают при описании конкретного случая расположения корней на языке уравнений и неравенств через значение квадратичной функции и положение вершины параболы. Исследование произвольной функции и построение ее графика у учащихся, как правило, вызывает меньше затруднений.

Пример 2. При каких значениях параметра p неравенство

имеет решения? [3]

Область допустимых значений для переменной  составляет промежуток . На указанном промежутке знаменатель в левой части последнего неравенства положителен, поэтому неравенство (1.12) равносильно неравенству

Сделаем замену переменной

исследуем функцию (1.14), построим ее график на промежутке  и найдем множество ее значений . Для этого найдем производную

,

которая обращается в ноль при  и при , причем точка  является точкой максимума, а точка  – точкой минимума (рис. 1.4), , .

График функции (1.14) изображен на рис. 1.5.

Заметим, что  

Таким образом, неравенство (1.12) имеет решения, если имеет решения система неравенств:

Сделаем еще одну замену переменной:

Указанная функция строго возрастает на промежутке  и принимает значения  (см. рис. 1.6).

Следовательно, система (1.15) имеет решения тогда и только тогда, когда решения имеет система неравенств:

Рассмотрим квадратичную функцию . Ее дискриминант равен

Дискриминант неотрицателен, если , причем при  и при  дискриминант обращается в ноль. Проверим отдельно эти значения параметра.

При  система (1.17) примет вид

и имеет единственное решение .

При  система (1.17) примет вид

и имеет единственное решение .

Проанализируем систему (1.17) при оставшихся значениях параметра. Графиком функции

является парабола, ветви которой направлены вверх, а абсцисса вершины равна  .

При  дискриминант отрицателен, поэтому функция  принимает только положительные значения и первое неравенство в (1.17), как и вся система, решений не имеет.

При  дискриминант положителен, функция  обращается в ноль в двух различных точках  и  (считаем ), а решением неравенства  является промежуток . Система (1.17) решений не имеет, если промежутки  и (0  не пересекаются. В остальных случаях система имеет решения.

Указанные промежутки не пересекаются (см. рис. 1.7а, 1.7б), если  или , то есть

 или

Заметим, что , , поэтому система (1.17) не имеет решений при , если выполнены условия:

Поскольку обе системы из (1.18) не имеют решений, то при всех  система (1.17) имеет решения. Таким образом, неравенство (1.12) имеет решения при . Ответ:

1. 2.     Задача о количестве корней уравнения с параметром

Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется уравнение

где  некоторая функция  Необходимо определить число корней этого уравнения в зависимости от значений параметра .

В общем виде решение задачи можно описать следующими шагами:

1)     Делается замена переменной

находится множество  значений функции  и анализируется количество решений уравнения (2.2) при каждом значении  из . Во многих случаях для этого удобно построить график функции (2.2).

2)    Анализируется множество различных решений  уравнения (2.3)

на множестве  при каждом допустимом значении параметра  и множество решений каждого из уравнений

Заметим, что если , то множества решений соответствующих уравнений (2.4) не имеют общих корней . Поэтому при фиксированном значении параметра  количество решений уравнения (2.1) равно суммарному количеству решений уравнений (2.4).

Наиболее простым представляется случай, когда функция (2.2) строго монотонна. Тогда каждому решению  уравнения (2.3) на множестве  будет соответствовать ровно одно значение . При этом разным значениям  будут соответствовать разные значения . Это означает, что количество решений уравнения (2.1) равно числу корней уравнения (2.3) на множестве , то есть достаточно проанализировать количество корней уравнения (2.3).

Рассмотрим решение конкретной задачи.

Пример 3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня [4].

Решение. Область допустимых значений для переменной  составляет промежуток .

На этом промежутке уравнение (2.5) равносильно совокупности (2.6):

Введем замену переменной

и построим график функции (2.7) в системе переменных  на промежутке  (рис. 2.1).

При  значения  пробегают промежуток .

Функция (2.7) строго возрастает на промежутке , поэтому число корней рассматриваемого уравнения совпадает с количеством решений совокупности

на промежутке . Сгруппировав попарно крайние и средние слагаемые в левой части второго уравнения из (2.8), получим , то есть совокупность (2.8) равносильна совокупности

при . Построим графики функций из совокупности (2.9) в системе переменных  на промежутке  (рис. 2.2).

Нетрудно найти точку (1,5; 1,5) пересечения первых двух прямых из (2.9).

На рис 2.2 изображены все точки, координаты которых удовлетворяют совокупности (2.8).

Интерпретируя построенный график, получим:

-     при  совокупность (2.8) имеет два различных решения, а значит, и уравнение (2.5) имеет два различных корня;

-     при  совокупность (2.8) имеет три различных решения, а значит, и уравнение (2.5) имеет три различных корня;

-     при  и при  совокупность (2.8) имеет одно решение, а значит, и уравнение (2.5) имеет один корень.

Ответ:

Пример 4. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет ровно четыре различных корня [5].

Решение исходного уравнения состоит из числа  при всех значениях параметра p и решения системы

Сделав замену переменной

из системы (2.11) получим

исследуем функцию (2.12), построим ее график на промежутке  и найдем множество ее значений  на указанном промежутке. Для этого найдем производную

,

которая обращается в ноль при  и при , причем точка  является точкой максимума, а точка точкой минимума (см. рис. 2.3), , .

График функции (2.12) изображен на рис. 2.4.

Заметим, что а . В результате получим область допустимых значений для переменной : . Соответствующее множество значений переменной t имеет вид: .

Таким образом, система (2.11) имеет решения, если имеет решения система

причем значению  соответствует два различных значения ,  соответствует единственное значение , а каждому значению  из промежутка (0;4) соответствуют три различных значения .

Замена  при  является взаимно однозначной на промежуток [0;2]: каждому значению  из промежутка [0;4] соответствует ровно одно значение  из промежутка [0;2], причем различным значениям  соответствуют различные значения .

При при  поэтому

-     значению соответствует два различных значения одно из которых равно 2;

-     значению  соответствует единственное значение , равное нулю;

-     каждому значению  из промежутка (0;2) соответствуют три различных значения все отличные от двух.

После указанной замены переменной система (2.14) примет вид:

Рассматривая первое уравнение (2.15) как квадратное относительно параметра p, получим:

 или

В системе ( ) на промежутке  построим графики функций

  и

учитывая, что они пересекаются в точке  (рис. 2.5).

В результате получим для системы (2.11):

-     при  или  решений нет;

-     значению как и  соответствует единственное значение , которому соответствует единственное решение ;

-     каждому значению параметра  соответствует единственное значение  которому соответствуют ровно три различных решения

-     значению как и  соответствует значение , которому соответствуют два различных решения  (одно из которых равно двум), и одно значение  из промежутка , которому соответствует три различных решения , отличных от первых двух его значений, то есть всего пять различных решений одно из которых равно двум;

-     каждому значению параметра  соответствуют два различных значения  из промежутка , которым соответствует по три различных решений , причем все решения попарно различны, то есть исходное уравнение имеет шесть различных решений ;

-     значению  соответствует единственное значение  которому соответствуют ровно три различных решения

Осталось вспомнить, что  будет решением уравнения (2.10) при всех значения параметра , поэтому для исходного уравнения получим:

-     при  или  одно решение;

-     при  и при два решения;

-     при  четыре решения

-     при  и при  пять решений;

-     при  семь решений;

-     при  четыре решения.

Ответ:

Таким образом, замена переменной в задачах с параметром позволяет решать графически в системе «переменная – параметр» целый класс задач, которые в исходном виде невозможно решить графическим методом. В представленной работе не рассматривались задачи с параметром, замена переменных в которой позволяет применить графический метод решения в системе «переменная – переменная», однако рассмотреть указанный класс задач представляется важным и полезным.

Задачи для самостоятельной работы

1. Найти все значения параметра , при которых уравнение

имеет решения [6].

Ответ:

1. При каких значениях параметра  уравнение

имеет два различных корня? [8]

Ответ:

1. При каких значениях параметра  уравнение

имеет пять различных корней? [9]

Ответ:

1. При каких значениях параметра  уравнение

имеет единственное решение на промежутке ? [10]

Ответ:

1. При каких значениях параметра  уравнение

имеет четыре корня на промежутке ? [11]

Ответ: