Full text
Геометрия является одним из сложнейших предметов для школьников, так как для нахождения верного решения задач требуется знать большое количество определений и теорем. Кроме того, многие дети с трудом воспринимают новые формы пространства и не могут впоследствии применить изученные теоремы на практике. В том числе и из-за увеличения интеллектуальной нагрузки обучающихся на уроках геометрии учителя вынуждены искать новые методики обобщения, систематизации и повторения уже изученного материала. Одним из таких способов является использование уроков решения одной задачи. Многие задачи можно решить несколькими способами и учителя, подбирая задачу на определенную тему, могут показать детям те или иные способы решения данной задачи. При использовании данного метода учащиеся вместо решения нескольких стереотипных задач решают одну задачу несколькими способами, что позволяет ученикам мыслить, рассуждать, развивать гибкость мышления, а также применять все возможные полученные ранее знания по геометрии. Урок одной задачи имеет множество преимуществ. Это может быть повышение эффективности учебной деятельности, мотивации, уровня знаний учащихся, восполнение «пробелов» в ранее изученных темах. Данный вопрос рассматривали такие ученые как В.В. Кутахина, Е.П. Щепилло, А.Е. Захарова, Е.А. Яровая и другие. Так, В.В. Кутахина показала возможность подготовки учащихся к ЕГЭ и ОГЭ с помощью уроков решения одной задачи. Она отметила эффективность уроков одной задачи и проанализировала несколько вариантов решения задачи из ЕГЭ. Е.П. Щепилло отметил, что урок одной задачи для одних – это самооценка для спасения в трудном мире математики, которая все же помогает найти свой, понятный путь решения задачи, для других – это открытие красоты и изящества любимого предмета, для третьих – это путь к пониманию в общении с одноклассниками и учителем. Также он представил систему задач для уроков одной задачи, причем были приведены задачи с 5 по 11 классы. Приведем пример использования данного метода на уроке геометрии в школе. Задача: Найдите площадь трапеции, если известно, что основания равны 2 и 18 см, а диагонали 7 и 15 см. Дано: ABCD – трапеция; BC= 2 см, AD=18 см; AC=7 см, BD= 15 см. Найти: SABCD - ? Первый способ. Решение: 1) Так как ABCD – трапеция, то BC||AD, то AC – секущая, следовательно, ∠BCA=∠CAD, ∠CBD=∠BDA (как накрест лежащие), а ∠BOC=∠AOD (как вертикальные). Из этого следует, что ∆BOC∼∆DOA (по первому признаку подобия треугольников). Тогда: BO/OD=CO/OA=BC/AD=k. BO/(BD-BO)=CO/(AC-CO)=2/18 BO/(15-BO)=1/9,BO=1,5 (см),DO=13,5 (см); CO/(7-CO)=1/9,CO=0,7 (см),OA=6,3 (см); 2) Найдем площадь ∆BOC по формуле Герона: S_BOC=√(P(P-OB)(P-OC)(P-BC),) где P=(OB+OC+BC)/2; S_BOC=0,42 (〖см〗^2) С другой стороны S_BOC=1/2 BC∙〖OH〗_1,где 〖OH〗_1-высота. Тогда, приравнивая оба выражения получим, что 〖OH〗_1=0,42 (см). 3) Аналогично п.2 находим площадь ∆AOD, а затем приравниваем оба выражения и получаем, что 〖OH〗_2=3,78 (см). Тогда H_1 H_2=〖OH〗_1+〖OH〗_2=4,2 (см). 4) S_ABCD=(BC+AD)/2 ∙H_1 H_2=(2+18)/2∙4,2=42 (〖см〗^2 ). Ответ: S_ABCD=42 〖см〗^2. Второй способ. Решение: 1) Опустим высоты BB^' и CC' из точек B и C соответственно (рис.2). Рис.2. Пусть AB^'=x,тогда B^' D=18-x. BB^'=CC^', поскольку BC||AD (так как ABCD – трапеция). 2) ∆B'BD и ∆ACC' – прямоугольные, так как BB^'=CC^' - высоты. По теореме Пифагора: 〖BB^'〗^2=〖BD〗^2-〖B^' D〗^2=225-(18-x)^2; 〖CC'〗^2=〖AC〗^2-〖AC^'〗^2=49-(x+2)^2; Приравнивая оба выражения, получаем, что x=3,6 (см). Тогда BB^'=CC^'=4,2 (см). 3) S_ABCD=(BC+AD)/2 ∙CC'=(2+18)/2∙4,2=42 (〖см〗^2 ). Ответ: S_ABCD=42 〖см〗^2. Третий способ. Решение: 1) Построим CD', причем CD^' ||BD (рис.3). Рис.3 Так как CD^' ||BD (из построения), а BC||AD^' (как основания трапеции), то DBCD' - параллелограмм, а следовательно CD^'=BD,BD=CD'. 2) По теореме косинусов: 〖AD'〗^2=〖AC〗^2+〖CD'〗^2-2AC∙CD'∙cos∠ACD'. Отсюда получаем, что cos∠ACD^'=-3/5; Используя основное тригонометрическое тождество, получаем, что sin∠ACD^'=4/5; 3) S_(ACD^' )=1/2 AC∙CD^'∙sin∠ACD^', откуда S_(ACD^' )=42 (см2); С другой же стороны: S_(ACD^' )=1/2 AD'∙CH, где CH-высота. Приравнивая оба выражения, находим высоту: CH=4,2 (см2); 3) S_ABCD=(BC+AD)/2 ∙CH=(2+18)/2∙4,2=42 (〖см〗^2 ). Ответ: S_ABCD=42 〖см〗^2. Таким образом, мы решили одну и ту же задачу разными способами, убедились в правильности решения задачи. Метод урока решения одной задачи будет очень полезен в процессе обучения на уроках геометрии, так как данный метод позволяет организовать творческое решение задачи, а также найти наиболее рациональные, простые, изящные варианты ее решения.