The problem of theory and practice connection principle implementation as a motivating factor for learning by the example of studying the discipline "Ordinary differential equations" for " Economics” area of training

Введение

Дисциплина «Обыкновенные дифференциальные уравнения», очевидно, обладает широкими возможностями для реализации одного из принципов педагогики – связи теории с практикой. Однако то, что является убедительным для студентов физико-математического отделения, не всегда способно заинтересовать и убедить в своей значимости других студентов. Например, для студентов, выбравших направление подготовки или профиль, связанный с математикой или физикой, вполне интересными окажутся задачи естественно-научного содержания, приводящие к понятию «дифференциальные уравнения», и даже задачи чисто математические. Например, можно предложить следующий перечень задач.

Задача 1. Найти уравнение кривых, таких, что в каждой их точке отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам точкой касания.

Задача 2. Тело температурой T ⁰С > 0 помещено в среду с температурой 0 ⁰С. Тело начинает остывать. Найти формулу, определяющую температуру тела в каждый момент времени.

Задача 3. Сосуд, имеющий форму параболоида вращения , имеет отверстие в самом основании площадью s. Считая скорость истечения жидкости пропорциональной корню высоты столба жидкости , где k = 0,6 и g = 9,8 м/с², найти зависимость высоты столба жидкости в сосуде от времени .

Задача 4. Математическая точка массой m движется под действием единственной силы . Найти закон движения этой точки, считая, что в начальный момент времени t₀ = 0 точка имела координату x₀ и скорость v₀.

Все вышеперечисленные задачи, разумеется, можно предложить и студентам нематематических специальностей, направление подготовки которых далеко от предметов естественно-научного цикла. Однако в процессе изучения данной дисциплины рано или поздно встанет вопрос мотивации к обучению студентов, что потребует рассмотрения прикладных задач, непосредственно связанных с выбранным студентами направлением подготовки. Для студентов экономических факультетов вполне подходящим завершением изучения данного раздела математики могут служить задачи практического содержания, которые не требуют применения достаточно сложных типов дифференциальных уравнений, например линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Обзор отечественной и зарубежной литературы

В современной отечественной и зарубежной литературе проблемы связи теории с практикой, а также проблемы применения дифференциальных уравнений для решения практических и теоретических задач в экономической теории являются актуальными и рассматриваются с самых разнообразных сторон многие десятилетия.

Общими вопросами педагогики и психологии, касающимися формирования интереса учащихся в процессе обучения, занимались многие отечественные ученые. Например, в своей работе И. П. Подласый [1] затрагивает проблему мотивации к обучению школьников, говорит о том, что вскрытие противоречий в некотором изучаемом материале пробуждает интерес у учащихся. В своей докторской диссертации А. Г. Мордкович [2] ставил вопросы совершенствования практической составляющей в обучении на примере подготовки педагогов. Подобные идеи высказывает Г. И. Щукина [3], утверждая, что проблемы интереса в обучении диктуются современным состоянием практики. В своей работе А. В. Абрамов [4] в том числе изучал вопрос усвоения специальных математических дисциплин, а также рассматривал личностно-деятельностный подход к построению системы методических заданий. В статье Н. С. Кошевой [5] поднимался вопрос о психологических основах математической подготовки будущих экономистов. Также ею были перечислены и охарактеризованы составляющие коммуникативной компетентности на базе математической подготовки.

Проблеме математического образования студентов-экономистов посвящено много работ, написано достаточно много специализированных учебников. В частности, в учебниках С. А. Минюка [6] и О. А. Кастрицы [7] содержание основных разделов математики было переработано с учетом потребностей именно будущих экономистов. Методические разработки Е. С. Беляевой [8] касаются непосредственно изучения математических моделей в экономике, что является одной из базовых составляющих в подготовке экономистов. Формированию общей математической культуры будущих экономистов посвящена работа Е. И. Семушиной [9], в которой предлагается для этих целей использовать спецкурсы, позволяющие детально осветить конкретную проблему как с точки зрения экономической теории, так и с точки зрения математической науки. Для тех же целей П. Г. Апанасов в своей кандидатской диссертации [10] предлагает использовать задачи с экономическим содержанием. Его работа посвящена вопросам построения соответствующей системы упражнений.

Проблемами применения математического аппарата в экономике, в частности аппарата дифференциальных уравнений, занимались многие видные математики. В зарубежной литературе достаточно много работ, в которых говорится о математическом моделировании в экономике. Монография Ж.-П. Обена [11] посвящена применению нелинейного анализа в экономике. В частности, приведены основные положения и результаты в области решения нелинейных уравнений и включений, в теории экономического равновесия, обсуждается модель роста фон Неймана, рассматривается понятие о кооперативных играх и о нечетких кооперативных играх. Французский математик И. Экланд [12] посвятил свою книгу элементам математической экономики, однако в основу своей работы он положил принцип наглядности с опорой на геометрическую интерпретацию и иллюстрацию рассматриваемых вопросов. В своей книге, посвященной управлению инвестиции, Ф. Дж. Фабоцци [13] делает попытку максимально приблизить изложение теоретического материала к практическим нуждам. Принцип связи теории с практикой реализован в учебнике У. Ф. Шарпа, Г. Дж. Александера и Дж. В. Бэйли [14], где авторы предлагают излагать материал по экономике через призму конкретных примеров его применения на практике реальными людьми, что должно вызывать у студентов дополнительную мотивацию к учению.

В отечественной литературе также достаточно много научных работ и учебных пособий, посвященных применению математических методов к экономическим задачам. Отличительной чертой учебника О. О. Замкова, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных [15] является то, что он соединяет изучение математических методов с содержательным рассмотрением разделов экономики. В. А. Колемаев [16] в своем учебнике дает системное представление об экономике, рассматривая применение математических моделей как в макро- и в микроэкономике, так и в производственной и в финансово-кредитной подсистемах экономики. А. Ф. Терпугов [17] в своем учебнике ставит вопрос не только о содержании курса экономики, но и о проблеме его распределения по годам обучения с учетом изменяющегося уровня математических знаний студентов. Автор предлагает периодически возвращаться к изученному на первых курсах материалу и переосмысливать его, применяя более серьезный математический аппарат и решая более серьезные с точки зрения математики задачи. С. А. Жданов [18] изучает проблемы управления и принятия решений в экономике на основе математического моделирования, показывает на конкретных примерах, как можно прогнозировать изменение состояния предприятия, как стабилизировать его работу и многие другие конкретные практические приложения теоретических основ. В своем учебном пособии К. А. Багриновский и В. М. Матюшок [19] также делают акцент на необходимости практического применения имеющихся у студентов-экономистов знаний. Они особенно подчеркивают, что известные в экономической теории модели нельзя слепо копировать, но лишь понимание сути и особенностей практического применения этих моделей дает возможность использовать их при решении реальных задач в области экономики. Проблему доступности изложения математического материала для студентов-экономистов, а также для практических работников и специалистов финансовых институтов В. В. Капитоненко [20] решает с помощью большого количества разъясняющих примеров с использованием рисунков и графических иллюстраций, то есть осуществляет попытку объяснять теоретические положения с опорой на практический опыт читателя.

Многие зарубежные авторы рассматривают применение именно дифференциальных уравнений для описания и моделирования экономических процессов. Один из крупнейших специалистов по теории дифференциальных уравнений Ф. Хартман [21] в своей книге особую роль отводит упражнениям, которые частично приводятся с решением. Именно такой подход и дифференциализация задач по уровню сложности помогают читателю проверить, насколько качественно усвоен теоретический материал. Наиболее полно изученной является теория обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и их систем, однако её ценность заключается ещё и в том, что данный математический аппарат находит широкое применение в экономике. Во многом по этой причине к данным темам сохраняется неослабевающий интерес и многие математики обращают свой взор на их изучение (например, И. Маценис [22] и др.). Особенно востребовано изложение сложного математического материала в научно-популярном стиле, который, с одной стороны, не снижает уровня самого материала, а с другой стороны, способствует развитию интереса у читателя к изложенным вопросам и мотивирует их на дальнейшее его изучение (например, В. Босс [23]).

Очевидно, что интерес к применению математических методов существует не только в экономике, но и в других науках, например в педагогике и в психологии. В своей диссертационной работе В. А. Стукалов [24] изучал вопросы, связанные с применением математического моделирования в процессе обучения математики вне зависимости от профиля подготовки будущего специалиста, рассматривая владение математическим аппаратом для решения конкретных задач как неотъемлемый компонент не только математической, но и профессиональной культуры. Подобными вопросами, но применительно к педагогике и психологии занимались Г. Н. Александров и А. Ю. Белогуров [25].

Стоит отметить, что в современной системе образования непосредственно встает вопрос овладения бакалаврами определенными компетенциями в соответствии с ФГОС, например, по направлению подготовки «Экономика» [26]. С одной стороны, очевиден запрос ученых на развитие математических методов в самых разнообразных областях знаний, в том числе и в экономике, в частности применение аппарата дифференциальных уравнений, а с другой стороны, остро встает вопрос непосредственного математического развития соответствующих направлений и, что не менее важно, возникает проблема выработки грамотного методического подхода к формированию содержания математического образования студентов. Без умения применять полученные знания для решения практических задач профессионального характера невозможно говорить о полноценном освоении всех компетенций, а следовательно, возникает необходимость в освоении дисциплин математического цикла. В частности, написано много пособий (например, С. А. Агафонов [27]) и учебников для студентов по курсу «Дифференциальные уравнения», которые с разных позиций подходят к изложению материала. В частности, В. В. Амелькин [28] осуществляет попытку рассматривать теорию дифференциальных уравнений с точки зрения её прикладного значения. А учебник М. Л. Краснова, А. И. Киселева и Г. И. Макаренко [29] направлен на освоение данного раздела математики посредством разработанной системы упражнений, которые заключают в себе одновременно и теоретический смысл. В последние годы всё чаще публикуются научные работы, касающиеся непосредственно применения дифференциальных уравнений в экономике (например, монография А. М. Ахтямова [30] и многие другие), в том числе и студенческие работы (в частности, Е. В. Чикризова, М. Э. Черская, С. А. Зотова, Д. К. Агишева, В. Б. Светличная [31]).

Методологическая база исследования

Основу методологической базы исследования составили:

1) научно-теоретический подход, заключающийся в изучении и анализе литературы по данной проблематике (как психолого-педагогической, так и математической);

2) интегративный подход к обучению. Данный подход основан на работах, например, З. Ш. Каримова [32], который отмечал, в частности, что в современном мире образование становится все более полифункциональным, что непосредственно отражает идею многостороннего образования, дающего возможность человеку не только проявлять себя в разных областях, но и использовать методы и достижения смежных наук в своей непосредственной деятельности. Этот подход изучался в работах и многих других ученых. Его значимость в том числе состоит и в том, что он обеспечивает целостность и преемственность содержания образовательной программы и методических систем, а также обеспечивает установление прочных межпредметных связей. Интегративный подход к обучению изучался также в работах И. Я. Зимней [33], которая подчеркивает, что «в современном мире подготовка специалиста любого профиля должна способствовать его быстрой адаптации к динамично изменяющимся условиям международной конкуренции, свободному владению своей профессией, развитию способности к эффективной работе по специальности, готовности к постоянному профессиональному росту, социальной и профессиональной мобильности», что, в свою очередь, сближает его с компетентностным подходом;

3) компетентностный подход (на основе работ, например, Е. Я. Когана [34]; И. А. Зимней [35]), который раскрывает механизмы овладения теми или иными компетенциями в рамках данного направления подготовки и профиля. Е. Я. Коган в своих работах отстаивает мнение, что компетентностный подход является новым и прогрессивным, соответствующим духу времени. Переход к компетентностному подходу подразумевает переход от «информирования» обучаемого к его умению решать проблемы, возникающие в различных жизненных ситуациях, например во взаимоотношениях с людьми, при выполнении социальных ролей гражданина, при познании и объяснении явлений действительности. В работах И. А. Зимней компетенции представляют некие скрытые потенциальные новообразования (знания, алгоритмы, представления и др.), которые впоследствии отображаются в виде реальных деятельностных проявлений человека.

Результаты исследования

На основе опыта преподавания дисциплины «Математический анализ» и изучения темы «Обыкновенные дифференциальные уравнения» со студентами направления подготовки 080100 «Экономика» было сделано наблюдение о слабой мотивации студентов к овладению данными дисциплинами без использования достаточного количества практических задач с содержанием, соответствующим профилю подготовки.

Особенно сложно студентам даются математические дисциплины, практическую применимость которых в рамках своего направления подготовки они не сразу могут разглядеть. Во многом главную роль здесь играет мотивация к обучению, причем эта мотивация тем слабее, чем более сложные задачи приходится решать.

Однако существует много экономических задач, которые позволяют применить аппарат дифференциальных уравнений. Это дает возможность, с одной стороны, реализовать принцип связи теории с практикой, а с другой стороны, установить прочные межпредметные связи, которые помогут в формировании необходимых компетенций студентам-экономистам. Одной из таких задач является задача о нахождении объема производства с учетом выбывания ресурсов. Ряд теоретических утверждений, рассмотренных и доказанных в монографии А. М. Ахтямова [36], мы предлагаем представить в виде последовательной серии практических задач и немного дополнить эту серию для создания более полной картины. При этом решение данных задач будет помогать не только усвоить математический материал, но и расширить знания студентов о механизмах инвестирования, а сделанные на основе решений этих задач выводы помогут критически оценить некоторые ранее полученные студентами знания и мотивировать их в дальнейшем активно применять математические методы в профессиональной деятельности.

Но для начала опишем математическую модель соответствующего процесса, после чего можно переходить к решению практических задач, имеющих в то же время важное теоретическое значение.

Достаточно часто в экономике наблюдается ситуация, когда увеличение объема инвестирования не приводит к пропорциональному росту объема производства. Этот период стагнации иногда может длиться довольно долго. Причину этого некоторые экономисты видят в существовании некой лаговой переменной, которая не поддается количественному анализу, а ее действие определяется целым рядом факторов. По сути, такая лаговая переменная – это некий «черный ящик», существованием которого пытаются объяснить все то, что наблюдается в реальной ситуации и не получается объяснить теоретически. Такое объяснение не может являться сколь-нибудь удовлетворительным, так как не объясняет природу рассматриваемой переменной и механизмы ее воздействия на производство. В то же время такие «парадоксы инвестирования» можно объяснить, используя даже самые простые экономические модели, описывающие изменение объема производства в зависимости от объема инвестирования, без всяких вспомогательных и искусственно введенных переменных. Для этого достаточно применить простейшие приемы анализа решений соответствующих дифференциальных уравнений.

Рассмотрим простейшую модель, описывающую рост количества продукции y(t) на некотором предприятии в стоимостном выражении, произведенной в момент времени t.

,

где  – коэффициент выбытия фондов (знак «минус» в формуле свидетельствует о выбывании фондов);

 – размер внешних инвестиций в стоимостном выражении.

Будем считать, что функции  и зависят лишь от времени, то есть  и , тогда рассматриваемое уравнение станет линейным дифференциальным уравнением первого порядка и будет иметь вид

.

Будем рассматривать наше дифференциальное уравнение с начальным условием .

Данная математическая модель является идеализированной, так как, например, она предполагает, что деньги мгновенно начинают работать, а также что нет ограничений на восстановление и расширение фондов. Далее будем предполагать, что объем инвестирования U в предприятие определен заранее и рассчитан на период времени Т, что вполне естественно для планирования в долгосрочном периоде. При этом пусть планируется одна из двух линейных схем инвестирования

,

где  и

Заметим, что  и  неотрицательны при всех t.

В качестве предварительного упражнения полезно будет доказать следующее

Утверждение. Если при указанных условиях  и , то объем продукции, произведенной по первому плану инвестирования за указанный период, будет больше объема продукции, произведенной по второму плану, т. е. .

Доказательство

При  решениями уравнения являются функции

, .

Объем  продукции, выпущенной за период времени [0; T], представляет собой определенный интеграл .

Так как , т. е. , тогда .

Подставив  в выражение для , получим

Числа  и  отличаются только слагаемыми

.

Нам достаточно доказать, что множитель   положителен при любых значениях  и . Тогда чем больше , тем больше будет .

Заметим, что  и , следовательно,  для всех .

После доказательства данного утверждения студенты должны самостоятельно сделать вывод о том, что, даже если два линейных плана инвестирования имеют одинаковый объем инвестирования (то есть имеется равенство затраченных средств в обоих случаях), итоговый объем продукции может отличаться. При этом больший объем продукции будет соответствовать тому плану, у которого начальное значение больше.

Вышеуказанное утверждение должно привести студентов-экономистов к важной мысли о том, что важны не только объемы финансирования, но и план, по которому это финансирование осуществляется.

После того как данное утверждение будет понято и усвоено, уместно предложить серию задач, которая позволяет лучше осознать механизмы отдачи от инвестиций, а именно разобрать решения задач, в которых будут приведены конкретные примеры линейных или кусочно-линейных планов инвестирования, причем таких, которые показывают существенное влияние на результат производства в зависимости от выбора плана. Это должно привести к мысли о том, что указанную зависимость в общем случае нельзя игнорировать, полагая её несущественной.

Если мы представим ситуацию, при которой сначала поток инвестиций линейно убывает, а затем симметрично возрастает (т. е. объемы инвестиций по убывающему плану и по возрастающему плану совпадают), то из-за того, что у возрастающего плана начальное значение меньше, объем производства будет ниже, чем даже при снижающемся инвестировании.

Первая задача раскрывает один из парадоксов инвестирования, когда значительные инвестиции не вызывают быстрой отдачи и не приводят к ожидаемому росту производства.

Задача 1. Пусть Т = 55, k = 0,1, у₀ = 10 000.

До момента t₀ = 2 инвестиции снижаются, а затем начинают расти с той же скоростью, с которой до этого снижались. 

Решение

Обозначим  ежегодный выпуск продукции.

Таким образом, спад производства продолжался по инерции еще 52 года (со 2‑го по 54-й) после начала роста инвестиций.

Данная задача помогает убедить будущих экономистов в том, насколько могут быть плачевными последствия от неверно принятых решений при выборе плана финансирования без опоры на составленную математическую модель.

Однако не менее важной задачей является не только осознание рассмотренной зависимости, но и понимание механизмов управления результатом. Анализируя модель, студенты после совместного обсуждения должны прийти к мысли, что существенными параметрами в данной модели являются общий объем инвестиций, а также скорость их вливания и быстрота выбывания ресурсов. Основной вывод, который должен быть получен, заключается в том, что уменьшить длительность инерции можно увеличивая объем инвестиций и скорость их вливания и/или уменьшая коэффициент выбытия ресурсов.

В том, какой фактор играет главную роль, помогут разобраться следующие две задачи.

Задача 2. Пусть Т = 55, k = 0,1, у₀ = 10 000.

До момента t₀ = 2 инвестиции снижаются, но, в отличие от первой задачи, затем инвестиции начинают расти со скоростью вдвое большей той, с которой до этого снижались.

Решение

Ежегодные объемы выпуска будут следующими:

Рост объема производства начался спустя 45 лет (со 2-го по 47-й год), то есть спад производства удалось сократить на 7 лет.

Задача 3. Пусть Т = 55, k = 0,05, у₀ = 10 000.

В отличие от первой задачи, в данном случае коэффициент выбытия ресурсов уменьшен в два раза, а скорости уменьшения и увеличения объемов инвестирования сохранены.

Решение

Ежегодные объемы выпуска будут следующими:

В данном случае инерция падения длилась 33 года (со 2-го по 35-й), что на 19 лет меньше первоначального примера и на 12 лет меньше примера с увеличенной скоростью и объёмом инвестирования.

Таким образом, нужно сделать вывод, что более существенным фактором является все же не скорость вливания средств, а снижение коэффициента выбытия ресурсов. А это означает, что делать большие вливания в производство эффективно, только если эффективность самого производства предварительно повышена, например увеличена производительность, уменьшены затраты на производство, установлено современное износостойкое и надежное оборудование, снижающее амортизационные издержки, и так далее. Без такой предварительной работы даже значительные затраты могут оказаться почти бесполезными и не принести желаемой отдачи.

Полезно дополнить эту серию задач ещё одной, в которой общий объем инвестиций  совпадает с аналогичной величиной в исходной задаче, но инвестиции планируется увеличивать линейно, начиная с нуля.

Задача 4. Найти ежегодные объёмы выпуска при условии, что инвестиции планируется увеличивать линейно, при этом их суммарный объем за T = 55 лет будут такими же, как при планировании , при этом остальные условия сохранены k = 0,1, у₀ = 10 000.

Решение

.

Тогда новое линейное планирование инвестиций будет иметь вид .

Нетрудно получить решение, удовлетворяющее начальному условию

у0= 10 000:

.

Ежегодные объемы выпуска будут следующими:

Эта задача иллюстрирует то, что, даже определившись с общим объемом инвестиций и продолжая постоянные финансовые вливания, можно в итоге получить результат немногим лучше, чем при некотором снижении финансирования, если отложить достаточное финансирование «до лучших времен», а начав с малых вливаний и линейно их увеличивая.

Таким образом, можно сделать выводы о том, что, начав экономить средства и снижая инвестирование (или начать инвестирование с недостаточно высоких объемов), можно на долгое время получить спад производства даже при серьезном увеличении финансирования впоследствии. А если небрежно относиться к производственным силам и ресурсам, допустив их серьезное выбытие, то даже серьезными денежными вливаниями в будущем можно не получить желаемый рост многие годы.

Заключение

Рассмотренные примеры показывают, что данные «парадоксы инвестирования» связаны лишь с качеством планирования инвестирования и числовыми коэффициентами дифференциального уравнения, описывающего построенную экономическую модель. Эти коэффициенты можно рассматривать как показатели реальной эффективности производства. Чем меньше период стагнации, чем выше отдача от инвестиций, тем выше эффективность производства. В этих коэффициентах заложена информация о способах производства, об используемых технологиях и о качестве работы управляющего персонала. Использование таких показателей эффективности требует добротной математической подготовки. К сожалению, в настоящее время зачастую эффективность оценивают исключительно с помощью статистических параметров, которые могут интерпретироваться по-разному, в зависимости от потребности тех, кто эту эффективность оценивает. Понимание этого факта должно положительно сказаться на подготовке будущих специалистов в области экономики.

Применение в процессе преподавания приведенной серии задач показывает, что это помогает не только заинтересовать студентов-экономистов дисциплиной «Дифференциальные уравнения», но и развить интерес к выбранной специальности и мотивировать использовать математический аппарат в профессиональной деятельности, что является одной из важнейших профессиональных компетенций в современном образовании.