Irina PelevinaМетоды операционного исчисления представляют собой своеобразный способ решения различных математических задач, в первую очередь связанных с решением дифференциальных уравнений. В данной статье мы рассмотрим, какой именно теоретический аппарат, какие методы необходимо применить для решения дифференциальных уравнений и каким образом связаны между собой такие понятия, как оригиналы и изображения. Дадим основные определения и теоремы [1, 2], необходимые для изложения материала.
Определение 1. Преобразованием Лапласа функции действительной переменной называется функция комплексной переменной , определяемая формулой
.
Интеграл в правой части равенства называется интегралом Лапласа, t – действительной переменной, p – комплексной переменной.
Для того чтобы интеграл Лапласа был сходящимся, функция должна удовлетворять нескольким условиям.
Определение 2. Оригиналом (или прообразом) называется комплекснозначная функция действительного аргумента , удовлетворяющая условиям: 1) при ; 2) – кусочно-непрерывная функция; 3) при возрастании аргумента может возрастать, но не быстрее некоторой показательной функции, т. е. , где – постоянные и .
Условию 3 в определении 2 удовлетворяют все ограниченные ( ) и все степенные функции, которые встречаются при изучении физических процессов.
Замечание. В дальнейшем при рассмотрении функций-оригиналов будем подразумевать, что при .
Определение 3. Изображением (или образом) называется функция , определяемая преобразованием Лапласа.
Соответствие между оригиналом и изображением записывается в виде или .
Получение изображения уместно сравнить с процессом фотографирования. Подобно тому как фотокамера позволяет получить из оригинала изображение, так и преобразование Лапласа переводит функцию-оригинал в функцию-изображение .
Рассмотрим теоремы, по которым мы будем находить изображения по оригиналам, и наоборот.
Теорема 1 (о свойстве изображения). Для любого оригинала изображение определено в полуплоскости и является в этой полуплоскости аналитической функцией.
Подчеркнем, что функция аналитическая. Это значит, что ее можно дифференцировать и применять к ней известные методы теории комплексного переменного в области .
Рассмотрим примеры нахождения изображений функций по их оригиналам с помощью определения 3.
Пример 1. Найти для функции .
Решение. Очевидно, что данная функция удовлетворяет условиям определения 2, поскольку для и . Следовательно, она может являться оригиналом. Вычислим изображение:
.
Ответ: .
Пример 2. Найти для функции .
Решение. Запишем нашу функцию в виде , используя основное логарифмическое тождество. Поскольку для и , следовательно, все условия определения 2 выполнены и она может являться оригиналом. Функция-изображение будет определена и аналитична в полуплоскости . Найдем ее.
.
Ответ: .
Весь процесс преобразования Лапласа можно представить себе как перевод с одного языка на другой. При таком переводе каждому слову одного языка соответствует определенное слово другого. Точно так же при преобразовании Лапласа каждой функции пространства оригиналов соответствует определенная функция в пространстве изображений. Роль словаря играет таблица соответствий между оригиналами и изображениями.
Задумаемся: как перевести с одного языка на другой целое предложение? Для этого недостаточно знать перевод отдельных слов, нужно еще знать, как грамматические конструкции одного языка передаются на другом. В нашем случае необходимо знать, что происходит с изображениями, если над функцией в пространстве оригиналов производится какая-либо математическая операция: сложение, умножение, интегрирование, дифференцирование. Таким образом, необходимо знать не только изображения отдельных функций, но и правила получения изображений в этих случаях. Ответы на эти вопросы дают основные теоремы операционного исчисления.
Теорема 2 (свойство линейности). Если и , то при любых постоянных А и В (действительных или комплексных) справедливо соотношение .
Иными словами, линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.
Пример 3. Найти изображение функции и .
Решение. По формуле Эйлера имеем: . Применим к функциям и преобразование Лапласа, найденное в примере 2:
.
Тогда по теореме 2 имеем: .
Аналогичным образом получим изображение для функции . По формуле Эйлера
.
Ответ: , .
Этим же способом можно найти изображения для функций
и .
Теорема 3 (теорема подобия). Если и , то .
Из этой теоремы следует, что умножение аргумента оригинала на положительное число a приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число a.
Например, зная, что , имеем .
Теорема 4 (о дифференцировании оригинала). Если функции являются оригиналами и , то
Таким образом, дифференцирование, которое в пространстве оригиналов представляет собой трансцендентный процесс, в пространстве изображений заменяется умножением изображения на степень аргумента p с одновременным добавлением многочлена, коэффициентами которого являются начальные значения оригинала.
Во многих задачах точка является точкой разрыва оригинала, поэтому принято считать, что (т. е. – правый предел функции-оригинала), и т. д.
Пример 4. Найти изображение функции
Решение. Найдем производную . Ранее в примере 3 было доказано, что . Следовательно . С другой стороны, согласно теореме 4, имеем . Таким образом, для одной и той же функции мы получили два изображения, записанные по-разному. Приравняем их и из полученного алгебраического уравнения найдем .
Ответ: .
Аналогично можно получить .
Теорема 5 (о дифференцировании изображения). Если , то .
Мы видим, что дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на –t.
Последовательное применение этой теоремы дает следующие формулы:
Пример 5. С помощью теоремы о дифференцировании изображения найти изображение функции , зная, что .
Решение: .
Пример 6. Найти изображение функции .
Решение. Используя результаты примеров 2 и 3, получим . Тогда . По теореме 5 имеем:
.
Ответ: .
Теорема 6 (об интегрировании оригинала). Если , то .
Интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.
Пример 7. Найти изображение функции .
Решение. Запишем изображение для функции
.
Применим теорему 6 к полученному изображению:
.
Ответ: .
Теорема 7 (об интегрировании изображения). Пусть . Если сходится, то он служит изображением функции . т. е. .
Необходимо сделать важное замечание к этой теореме: ее можно применять только в том случае, когда сходится. Именно поэтому теорему 7 нельзя применять для нахождения изображения , так как расходится.
Пример 8. Найти изображение функции .
Решение. В предыдущих примерах было найдено . По теореме 7 имеем: .
Ответ: .
В заключение хотелось бы отметить оригинальность методического подхода изложения темы «Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу»: изложив базовые теоремы, описывающие свойства изображений, свойства линейности, подобия, дифференцирования, интегрирования оригинала и изображения, мы тем самым проиллюстрировали тесную взаимосвязь между этими двумя понятиями. Эта связь прослеживается и в формулах нахождения оригинала и изображения, и в разобранных выше примерах, наглядно демонстрирующих работу основных положений теорем. Содержание статьи послужит материалом для подготовки к занятиям второго курса при изучении раздела «Операционное исчисление».