Integration of mathematics and computer science within the framework of a specialized session as a factor in improving the preparation of schoolchildren for subject Olympiads

Введение

Концепция развития математического образования и концепция развития дополнительного образования детей в Российской Федерации декларируют необходимость поиска новых технологий и методов обучения школьников.

В Концепции развития математического образования в разделе “Математическое просвещение и популяризация математики, дополнительное образование” указывается необходимость предусматривать: “обеспечение непрерывной поддержки и повышения уровня математических знаний для удовлетворения любознательности человека, его общекультурных потребностей, приобретение знаний и навыков, применяемых в повседневной жизни и профессиональной деятельности” [1].

В дополнительном образовании детей расширяется применение новых образовательных форм (сетевое, электронное обучение и др.) и технологий (антропологических, инженерных, визуальных, сетевых, компьютерно-мультипликационных и др.) [2].

Федеральные государственные образовательные стандарты основного общего и основного среднего образования объединяют в одну предметную область математику и информатику. В результате изучения предметной области «Математика и информатика» обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию. При освоении указанной области развиваются умения применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах [3-4].

Современный период развития общества характеризуется многочисленными интеграционными процессами в экономической, информационной, культурной и других сферах социальной жизни. Активизация этих процессов происходит и в области образования. Интерес к проблемам дифференциации и интеграции образования обусловлен, прежде всего, процессом развития научного знания, в котором дифференциация наук сопряжена с их интеграцией. Эти два процесса неразрывно связаны между собой, хотя и противоположны друг другу. Долгое время ведущей тенденцией развития науки была ее все возрастающая дифференциация, что получило яркое отражение в существующей предметной системе обучения. Сегодня в науке доминирует противоположная закономерность – интеграция, эта тенденция также нашла в образовании свое естественное отражение.

В условиях цифровой экономики выполняется “переход от трансляции учащимся уже имеющихся знаний к усвоению ими новых знаний, полученных наукой и востребованных производством, что может быть реализовано путем формирования навыков самостоятельной аналитической работы с информацией, включения учащихся и студентов в научные исследования и инновационные проекты” [9].

Обзор отечественной и зарубежной литературы

Различные вопросы интеграции образовательных курсов, и не только их, рассматриваются во многих работах российских и зарубежных исследователей.

Л.Н. Васильева рассматривает методику формирования профессионально-математической компетентности студентов технических направлений на основе интеграции математики и информатики [10].

Н.И. Рыжовой, И.И. Трубиной обосновывается своевременность и актуальность развития внеурочной деятельности по информатике и математике в процессе реализации Федеральных государственных образовательных стандартов. Взаимовлияние математики и информатики позволяет в содержании внеурочной деятельности использовать общность понятийных аппаратов и методов этих наук и в результате сформировать у обучающихся системный подход к познанию окружающего нас мира. Особая роль во внеурочной деятельности по математике и информатике отводится обеспечению современных учащихся актуальными знаниями и методами для освоения новых технологий. Определены возможности для гибкой системы реализации индивидуальных творческих задач и создание эмоционально-значимого для учащихся фона при формировании устойчивого интереса к социально важным видам деятельности. [11].

Т.Ф. Сергеева первой построила модель интегрированного курса математики и информатики в начальных классах и теоретически обосновала ее целесообразность. [12].

А.А. Мироновым данный вопрос рассмотрен в культурологическом контексте. В его статье рассматривается проблема эффективного использования современных информационно-коммуникационных технологий для интеграции в обучение математике и информатике с целью развития математической культуры старшеклассников [13].

Layng, T.V.J., Twyman, J.S. рассматривают потенциал интеграции математики и информатики в контексте обучения, в том числе, и анализу больших данных, выстраивая технологию такой интеграции [14].

В рамках исследования Sampaio P.A. было проведено исследование влияния этой государственной политики на повседневную практику учителей с использованием интерактивных досок (IW). Анкета была применена к 453 учителям математики в Португалии. Был сделан вывод, что учителя считают, что у них хороший уровень знаний в области ИКТ, и они часто используют технологические инструменты в классах. Они также считают, что обладают техническими знаниями в области ИВ, но все еще можно увидеть широкое распространение его использования. Учителя испытывают острую потребность в улучшении своей способности использовать инструменты IW, чтобы дать учащимся различные возможности при изучении и практике математики [15].

В статье Murthy S., Iyer S., Warriem J. описывается разработка, внедрение и оценка ET4ET, крупномасштабной программы профессионального развития (1138 участников) по эффективной интеграции образовательных технологий для инженерного факультета в Индии [16].

В статье Jimoyiannis A. рассказывается о разработке и внедрении технологических педагогических научных знаний (TPASK), новой модели профессионального развития учителей естественных наук, построенной на интегрированной структуре, определяемой моделью знаний технологического педагогического содержания (TPACK) и аутентичным подходом к обучению. Параметры учебной программы TPASK и соответствующие занятия курса также разработаны и применяются в контексте программы подготовки преподавателей, направленной на интеграцию ИКТ в практику на уроках естественных наук [17].

Отметим, что предметное содержание двух рассматриваемых курсов зачастую пронизывает друг друга, особенно если мы имеем в виду некоторые соприкасающиеся разделы – дискретную математику, комбинаторику, теорию алгоритмов, теорию чисел, теорию графов. В связи с чем успешность освоения какого-то из данных предметов зачастую коррелирует с хорошей успеваемостью и в другой области. Опыт показывает, что нередко происходит параллельное изучение математики и информатики, одновременное участие в олимпиадах по обоим предметам. При этом отметим, что традиционная система обучения, сложившаяся в некоторых признанных центрах олимпиадной подготовки, зачастую не нацелена на осознанную тесную и продуманную интеграцию этих предметов. Отсутствуют программы совместного изучения смежных тем.

Все вышесказанное подчеркивает актуальность рассматриваемой проблемы интеграции математики и информатики в контексте олимпиадной подготовки обучающихся в условиях профильных смен.

Методологическая база исследования

Целью исследования является построение модели интеграция математики и информатики в рамках профильной смены и описание некоторых элементов реализации предлагаемой модели.

Методологической основой предлагаемой модели компетентностной интегративной подготовки являются: теория системного анализа как направление методологии научного познания и социальной практики, в основе которой лежит рассмотрение объектов как систем, инновационно-интегративного, компетентностного подходов к образованию.

В современной литературе анализируют различные подходы к вовлечению детей в дополнительное образование по математике и информатике и их подготовке к участию в олимпиадах по информатике (программированию). Последние годы много внимания уделяется вопросам интеграции математики и информатики (особенно программирования) в учебной проектной деятельности.

Изучение предметной области «Математика и информатика» должно обеспечить: понимание значения математики и информатики в жизни человека. Представление о формировании математической науки. Представление о формировании информатики, как науке и учебного предмета. В осознании роли информационных процессов в современном мире. В формировании знаний о математики, как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления. Результатом изучения предметной области «Математика и информатика» является развитие таких видов мышления как, логическое, алгоритмическое, математическое.

На первых этапах построения модели компетентностной подготовки
в рамках образовательной программы «Математика. Анализ данных», помимо анализа инновационно-интегративного, компетентностного подходов к образованию, выполнялся анализ результатов работы ранее проводившихся профильных образовательных физико-математических, информационно-экономических и даже металлургических смен. На основе проведённого анализа выделялись объекты формируемой системы. Из выделенных объектов строилась модель. Далее на основе разработанной модель формировалось содержание отдельных модулей и элементов образовательной программы.

В процессе разработки образовательной программы и её реализации предлагаемая модель совершенствовалась.

Результаты исследования

Сфера дополнительного образования создает особые возможности для развития образования в целом, в том числе для опережающего обновления его содержания в соответствии с задачами перспективного развития страны. Оно является инновационной площадкой для отработки образовательных программ, моделей и технологий будущего.

Информационно-математическая направленность является неотъемлемой частью дополнительного образования.

Кампус молодежных инноваций – важный элемент системы развития дополнительного образования, абсолютно уникальный проект, разработанный ФГАУ «Фонд новых форм развития образования». Это площадка, которая предлагает новые форматы коммуникаций, где молодые люди в пространстве летнего лагеря не просто приобретают необходимые им навыки, но и взаимодействуют с компаниями из реального сектора экономики.

14 интенсивных и ярких дней участники смены осваивали образовательную программу «Математика. Анализ данных», ориентированную на подготовку в области дискретной математики и анализа данных, готовились к олимпиадам по математике и информатике, участвовали в многопрофильных развивающих мероприятиях. Модули образовательной смены включали в себя теоретические и практические занятия по математике и информатике, пробные туры олимпиад, лекции и семинары ведущих педагогов, математические игры, общеобразовательные, спортивные и культурно-досуговые мероприятия и мероприятия от партнеров Центра. Особыми гостями Кампуса стали пять учащихся из гимназии «Свети Сава» (Белград, Республика Сербия).

Целевая аудитория – школьники 7-10 классов из регионов РФ, проявляющие мотивацию и успехи в изучении школьных курсов математики и информатики, участвующие в олимпиадах по математике и программированию, ориентированные на высокие результаты муниципального и регионального и заключительного этапов Всероссийской олимпиады школьников, успешно прошедшие отбор. Обучение в школе проходит в 5 параллелях (по уровню сложности). Участники отбираются по результатам контрольной работы и представленного портфолио (часть регистрационной анкеты). В портфолио подтверждаются успехи на олимпиадах, участие в выездных школах, пройденные онлайн-курсы и т.п.

В предлагаемой нами модели организация и методическое сопровождение образовательной программы «Математика. Анализ данных» и программ схожей направленности, реализующих междисциплинарные связи прежде всего математики и информатики, с акцентом на применение полученных компетенций в цифровой экономике реализуется по следующей схеме (рисунок 1).

Рис. 1. Формальная обобщенная модель системы компетентностной подготовки
в рамках образовательной программы «Математика. Анализ данных»

Математическая модель рассматривается в виде автомата, на вход которого на каждом шаге обучения n подается обучающая информация, описываемая множеством

, при ,

где  – номер элемента обучающей информации.

Каждый элемент обучающей информации называют словом. Состояние памяти субъекта на n-м шаге обучения описывается вероятностным вектором:
, где  – вероятность незнания i-го элемента обучающей информации на n-м шаге обучения; вероятность правильного ответа .  определяет правильность ответов,  принимает значения 0 в случае правильного ответа и 1 – если ответ неправильный.

Эти реакции используются для преобразования вектора

,

где γ – вектор параметров участника Кампуса, а правило преобразования является моделью обучения.

Структура образовательной программы «Математика. Анализ данных» включает три модуля.

Модуль «Олимпиадная математика. Прикладное применение». Содержание модуля включается в себя темы по дискретной математике и анализу данных и прикладное применение. Модуль предполагает формирование уверенного навыка доказательства решения задач и их последующей прикладной реализации.

Модуль «Практикум по решению олимпиадных задач». Содержание модуля включает в себя практикумы по решению задач с учителем. Практикумы разделяются на тематические и олимпиадных. Тематические практикумы предполагают отработку навыка решения задач по определенным темам, рассмотренным на лекциях. Олимпиадные практикумы состоят из смешанного набора задач на разные темы и предполагают отработку навыка решения индивидуальной или командной олимпиады по программированию, в том числе и распределения времени на решение задач, умение работать индивидуально или в команде.

Модуль «Специальные курсы по программированию и олимпиадной математике» ориентированы на расширение кругозора школьников, знакомство с промышленным программированием и прикладным применением математики, работой над индивидуальными или групповыми проектами.

Модули реализуются параллельно друг с другом согласно рабочей программе курса и включают в себя основные методы и формы реализации содержания программы: теоретические лекционные занятия, практические занятия по решению олимпиадных задач, выполнение учебного проекта, аналитическая деятельность и поиск информации, семинары по совместному обсуждению доказательств идей решений задач и проверке преподавателем знаний школьников.

Соотношение между различными модулями образовательной программы их взаимодополнение и взаимопроникновение будут проанализировано ниже.

Компетенции участника Кампуса, совершенствуемые в рамках занятий по любому из модулей, проверяются в рамках выполнения индивидуальных заданий и их оценивания преподавателями и тьюторами.

В зависимости от значения вектора параметров участника Кампуса формируется индивидуальная траектория развития его компетенций. С учётом сформированной индивидуальной траектории развития компетенций участника Кампуса возможен его перевод в группу другого уровня, естественно, при согласии самого учащегося. Перевод в другую группу может осуществляться временно (в том числе на отдельную тему), на занятия по одному из предметов или на постоянной основе. В последнем случае при следующих циклах также возможен переход в другую группу.

На следующих этапах рассматриваемый вектор модифицируется.

На основе анализа рассмотренной формальной обобщенной модели можно сделать вывод, что для управления процессом приобретения участником Кампуса соответствующих компетенций, целесообразно в циклах обратной связи использовать различного рода внекурсовую деятельность. В предложенной модели эта деятельность включает следующие основные элементы:

– спецкурсы по вопросам, интересующим участников Кампуса;

– олимпиады, конкурсы;

– доступ к открытым образовательным ресурсам, заявленным при проведении программы в разделе «Электронные ресурсы программы»;

– информационная поддержка учащихся через сайт https://informatics.msk.ru/, социальные сети ВКонтакте (для каждой группы обучения создана своя группа Вк);

– партнерские проекты;

– экскурсии;

– кейс-задания.

В рамках программы закрепляется техника решения математических задач и программирования, систематизируются базовые алгоритмы, осваиваются алгоритмы и структуры данных, необходимые для решения олимпиадных задач. Образовательная программа взаимосвязана со школьным курсом математики и информатики и предполагает углубление имеющихся знаний; является практико-ориентированной программой, нацеленной на приобретение устойчивых практических навыков уверенного программирования и решения олимпиадных задач по математике и информатике.

Основные виды деятельности учащихся в процессе освоения программы: лекционные занятия, практикумы по решению задач с учителем с дальнейшим разбором задач, специальные курсы по изучению актуальных методик и технологий, проектная деятельность школьников в рамках изучаемых специальных курсов.

Востребованность программы обуславливается одной из основных задач цифровой экономики – необходимостью обеспечения ее компетентными кадрами, владеющими навыками программирования, информационной и сетевой культурой, все это невозможно, без углубленных знаний прикладной математики. Основные тренды современного экономического развития: автоматизация и роботизация, необходимость креативной экономической деятельности человека, цифровизация всех сфер жизни и деятельности, развитие интернет-пространства и сетевых коммуникационных технологий, обуславливают востребованность цифровых компетенций на рынке труда.

Целью программы является подготовка учащихся в области дискретной математики и анализа данных, к олимпиадам по математике и информатике, в том числе к муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников по математике и информатике, перечневым олимпиадам.

Задачи программы:

• формирование представлений о приемах и методах решения олимпиадных задач по математике;

• создание условий для выявления, поддержки и развития способных и одаренных детей, их самореализации, профессионального самоопределения в соответствии с их индивидуальными способностями и потребностями;

• развитие интереса к олимпиадной математике и решению олимпиадных задач;

• формирование представлений о приемах и методах решения олимпиадных задач;

• изучение структур данных и алгоритмов, использующихся при решении олимпиадных задач по информатике;

• развитие навыков применения в учебной и олимпиадной деятельности современных языков и сред программирования, навыков отладки программ, дискретной математики, анализа данных;

• формирование понимания сущности и значения информации в развитии современного информационного общества, опасностей и угроз, возникающих в этом процессе, необходимости соблюдения основных требований информационной безопасности;

• формирование представлений о машинном обучении, изучение методов анализа данных;

• овладение навыками работы с информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети Интернет, для решения учебных и проектных задач;

• развитие практико-ориентированного мышления и умения работать в коллективе в процессе выполнения практико-ориентированных задач.

В процессе освоения программы планируется, что каждый ее выпускник:

• обретет устойчивые навыки программирования и решения олимпиадных задач;

• существенно повысит свой уровень готовности к решению задач олимпиад муниципального уровня по математике и информатике;

• на основе анализа учебной проблемы сможет ставить перед собой задачи и самостоятельно их решать;

• сможет выделять межпредметные связи при решении практико-ориентированных задач;

• приобретет начальные знания о машинном обучении и методах анализа данных, сможет понять, сможет решать некоторые простейшие задачи, используя методы машинного обучения;

• приобретет первичные навыки популяризация информатики и математики.

Структура образовательной программы «Математика. Анализ данных», как выше отмечалось, включает три модуля. Одной из основных особенностей программы является то, что модули реализуются параллельно друг с другом и направлены, в большинстве случаев на овладение взаимозависимыми компетенциями.

Упрощенная схема соотношения элементов различных модулей образовательной программы «Математика. Анализ данных» приведена на рисунке 2.

На схеме выделены три модуля: «Олимпиадная математика. Прикладное применение» (на рисунке, “М”), «Практикум по решению олимпиадных задач (информатика)» (“И”), «Специальные курсы по программированию и олимпиадной математике» (“С”), а также проектная деятельность участников Кампуса (“П”).

Рис. 2. Примерная схема соотношения элементов различных модулей образовательной программы «Математика. Анализ данных»

Значительная часть изучаемого материала и осваиваемых компетенций принадлежит различным компонентам схемы рисунка 2.

Например, элементы темы “Основы комбинаторики” (в группах различного уровня содержание темы значительно отличается) рассматриваются во всех трёх модулях. Связанные с этой темы “Элементы теории вероятностей” и “Основы математической статистики” частично находятся на пересечении всех компонентов схемы рисунка 2 (освоенные при изучении этих тем компетенции применяются и на занятиях, затрагивающих “Анализ данных”).

В целом, весь материал модуля «Практикум по решению олимпиадных задач (информатика)» (“И”), за исключением изучения синтаксических языковых конструкций (в том числе, набора модулей, процедур, функций) и некоторых семантических особенностей языков программирования, взаимосвязан с остальными компонентами анализируемой схемы. Теоретический материал, компетенции, привлекаемые при реализации проектной деятельности имеют достаточно широкий спектр и часто индивидуальны. Остальной материал проанализируем в рамках таблицы 1.

Таблица 1. Примерная взаимосвязь тематики занятий и модулей программы

Приведём примеры некоторых задач по олимпиадному программированию, тесно связанные содержательно с отдельными разделами математики.

Задача № 1. Теория чисел и работа с массивами. Загадано некоторые целое число x. Задан список почти всех его делителей. Почти всех означает, что в списке есть все делители кроме 1 и x. Требуется найти целое число x, которое может быть загаданным числом, или сказать, что входные данные противоречивы и невозможно найти такое число.

В случае, когда заданный список делителей является списком “почти всех делителей” какого-то x (другими словами, предположим, что ответ существует), минимальный делитель, умноженный на максимальный делитель, должен быть равен x. Остаётся проверить, что все делители x кроме 1 и x являются перестановкой массива d (проверить, что предложенный список не противоречив). Мы можем найти все делители x за время  , отсортировать их и сравнить с массивом d. Если массивы совпадают, то ответ равен x, иначе ответ – 1.

Задача № 2. Комбинаторика и вложенные циклы. В театральном кружке занимается n юношей и m девушек. Для постановки спектакля «Теория большого взрыва» им надо выбрать группу ровно из t актеров, которая содержит не менее 4 юношей и не менее одной девушки. Сколькими способами возможен выбор группы? Конечно, варианты, отличающиеся только составом труппы, считаются различными.

Для решения задачи перебираем сколько мы будем брать мальчиков (пусть будет х), считаем сколько нужно девочек на оставшиеся места (пусть будет у), если оба параметра удовлетворяют входные данные то к ответу добавим C(N, x) * C(M, y), где C(n, k) – кол-во способов выбора k элементов из n. В данной задаче лучше считать с помощью треугольника паскаля, используя свойство: C(n, k) = C(n – 1, k – 1) + C(n – 1, k); C(n, 0) = 1.

Задача № 3. Графы и массивы. Однажды Игорь К. бросил программирование и стал заниматься математикой. Как-то раз поздним осенним вечером он сидел за своим столом, читал книгу и о чем-то думал. Его внимание привлекло следующее утверждение: “Среди любых шести человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых”.

Игорь К. никак не мог понять, почему же необходимый минимум – 6 человек. “Ну ведь для пятерых то же самое!” – вертелось в его голове. – “Возьмем, например, Макса, Илью, Вову – ну вот же, они все друг друга знают! А теперь к Вове добавим Диму и Олега – и ни один из них не знаком друг с другом! Бред, да и только эта ваша математика!”

Игорь К. взял пятерых своих знакомых и записал, кто из них с кем дружит. Теперь он хочет проверить, верно ли для этих пятерых человек, что среди них есть или трое попарно знакомых, или трое попарно незнакомых.

Для получения решения задачи достаточно построить граф, где вершинами будут люди, а ребрами – отношения между людьми. Обозначим ребра, соответствующие знакомству, красными, а ребра, соответствующие незнакомству – черными. Тогда “трое попарно знакомых” в графе будут представлены циклом длины 3, состоящим только из красных ребер, а “трое попарно незнакомых” – циклом длины 3, состоящим только из черных ребер.

Задача № 4. Целые и дробные числа, рекурсия. В потоке интересных мероприятий обучающийся профильной смены даже забыл номер текущего года. Когда он наконец вспомнил, что идёт уже 2020 год, то подумал, можно ли число 2020 представить, как произведение конечного числа членов множества K (необязательно различных). Где K – множество чисел вида , где n может быть любым натуральным числом. Помогите обучающемуся.

В анализируемой задаче, с точки зрения математики, достаточно увидеть следующее равенство , при составлении же программы проще всего использовать рекурсивные алгоритмы.

 Задача № 5. Неравенство треугольника и оптимизация. Территория летнего лагеря отдыха квадрат 1 км. х 1 км. Будем считать, что три корпуса A, B, С и D расположены в узлах клетчатой сетки, делящей территорию лагеря на квадраты 10 м. х 10 м. В корпусе A работают 90 отдыхающих, в корпусе B – 40, в корпусе C – 30, а в корпусе D – 20. Где нужно построить столовую, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми отдыхающими летнего лагеря, было бы как можно меньше? Для “информатиков” достаточно указать расположение столовой с точностью до 1 м.

Решение.Пусть O – место расположения столовой. Тогда суммарное расстояние, проходимое всеми сотрудниками, равно

S = 90 ∙ OA + 40 ∙ OB + 30 ∙ OC + 20 ∙ OD =

= 40 ∙ (OA + OB) + 30 ∙ (OA + OC) + 20 ∙ (OA + OD).

Согласно неравенству треугольника, OA + OB не меньше AB (причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O лежит на отрезке AB), OA + OC не меньше AC (причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O лежит на отрезке AC), OA + OD не меньше AD (причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O лежит на отрезке AD). Отсюда следует, что S не меньше, чем 40AB + 30AC + 20AD, причем равенство достигается в том и только в том случае, когда O совпадает с точкой A. Оптимальное расположение для столовой – корпус A.

Заключение

В рамках проведённого исследования выявлена существенная необходимость интеграции модулей «Олимпиадная математика. Прикладное применение», «Практикум по решению олимпиадных задач (информатика)», «Специальные курсы по программированию и олимпиадной математике», а также проектной деятельности участников Кампуса, в рамках образовательной программы «Математика. Анализ данных».

Предлагаемая, и уже частично реализованная в рамках образовательной программы «Математика. Анализ данных», модель компетентностной подготовки позволяет интегрировать изучение сопряжённых разделов математики и информатики, в том числе достаточно узких, и связать их освоение с проектной деятельностью.

В перспективе планируется развитие и совершенствование предлагаемой модели, особенно в направлении расширения практической составляющей образовательной программы.