Ludmila KvashkoВведение
Актуальность исследования обусловлена тем, что в системах образования разных стран наблюдается тенденция к взаимообмену студентами [1]. Россия в этом процессе находится в пятёрке лучших по количеству иностранных студентов, обучающихся в вузах страны [2]. В таком взаимообмене важна преемственность в обучении, особенно в дисциплинах естественнонаучного цикла. Математика лежит в основе многих направлений подготовки специалистов высшего образования. Она необходима для освоения математических, физических, информационно-технологических, инженерно-технических и даже психологических специальностей.
Обзор отечественной и зарубежной литературы
Указом Президента РФ от 07.05.2012 N 599 "О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки" предусматривалось развитие математического образования в России. Проектом «5-100» [3] ставилась задача вхождения университетов нашей страны в международную образовательную среду [4]. Одной из целей Проекта являлось взаимодействие с зарубежными странами и обмен опытом в сфере высшего образования [5]. Проект «5-100» положил начало развитию отечественной системы высшего образования [6], которая продолжит и дальше развиваться [7] и получать поддержку Правительства РФ в рамках Национального проекта «Образование».
В Китайской Народной Республике (далее – КНР) существуют подобные проекты. Проект 985 и проект 211 - это проекты, которые ставили своей целью развитие системы высшего образования в Китае, и при сотрудничестве с местными правительствами поддерживали и улучшали высшие учебные заведения страны. В рамках этих проектов расширялась связь с зарубежными странами в области обучения студентов в вузах этих стран. При этом надо отметить, что за последние 10 лет наибольшее количество китайских студентов обучается в англоязычных станах [8, с. 153]. Чтобы привлечь абитуриентов из Китая в Россию и наоборот, необходима их заинтересованность в этом. Одним из аспектов привлекательности должна стать дидактическая и методическая идентичность учебного процесса, отражённого в учебниках и учебных пособиях, а также наличие преемственности обучения в связке школа-вуз.
В Китае, также как и в России, педагогическое сообщество нацелено на повышение математической подготовки молодёжи и их профессионального становления [9, с. 49-50]. По замечаниям отдельных исследователей, проводивших предвузовскую подготовку в Санкт-Петербурге [10, 11], китайские студенты хорошо адаптируются в наших вузах и непрерывно наращивают свою математическую подготовку [12]. Однако есть факты, которые говорят о том, что не всегда иностранные студенты успешно обучаются в российских вузах [13]. Поэтому очень важно выявлять причины, как успешного, так и не успешного обучения иностранных студентов в вузах России.
Ежегодно, начиная с 2000 года, в мире проводится изучение уровня математического образования. В рамках «Program for International Student Assessment (PISA)» устанавливаются рейтинги среди ведущих стран мира. Как правило, первые строчки рейтинга занимают страны Азиатско-тихоокеанского региона (далее - АТР), в том числе и Китай. Министерство образования Китая финансирует специальную программу «Excellent Engineer Plan», которая поддерживает и стимулирует к дальнейшему развитию лучших представителей китайской молодёжи [14]. Причиной такого высокого рейтинга, по мнению одних, является то, что Китай возвращается к своим национальным традициям [15], а по мнению других, высокие результаты математического образования в Китае зависят от методики преподавания и качественной профессиональной деятельности преподавателей [16].
Для китайских преподавателей наиболее приемлемым является применение эвристических методов обучения [17], которые затрагивают эмоциональную сферу обучаемых, что ведёт к глубокому пониманию математики [18]. Особенности обучения математики в отдельных странах АТР [19] можно экстраполировать на другие страны этого региона, в том числе и на Китай. Эти особенности связаны с ориентацией методики обучения на образовательные потребности учеников.
Методологическая база исследования
Впечатляющие результаты китайского математического образования приводят к пониманию необходимости устанавливать тесное сотрудничество России и Китая в области математического образования и изучения особенностей математического образования в Китае [20]. В рамках изучения этого опыта, нами поставлены следующие исследовательские вопросы: 1) насколько дидактическая составляющая математической подготовки абитуриентов высших учебных заведений китайских и российских учебников и учебных пособий совпадает? 2) на основании установленного сходства и различия возможно ли осуществлять успешное сотрудничество с китайскими коллегами в области методики преподавания? Отсюда цель исследования – установить сходство и различие в содержании математической подготовки абитуриентов вузов России и Китая.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: 1) отобрана необходимая литература для проведения сравнения; 2) выбраны разделы (темы), которые изучаются и в Китае и в России; 3) проведён сравнительный анализ содержания математического образования, представленного в этих разделах; 4) сделаны выводы о возможности эффективного сотрудничества китайских и российских преподавателей для осуществления преемственности обучения.
Основным методом исследования стал сравнительный и контент-анализ содержания математического учебного материала китайского учебника [21] для подготовки абитуриентов к поступлению в вузы и ряда российских учебников и учебных пособий, предназначенных для изучения математики школьниками и студентами отечественных вузов [22, 23, 24, 25, 26]. Структура и содержание образовательного контента, стали критериями сравнения.
Теоретическая значимость проведённой работы состоит в том, что данным исследованием обозначена область возможного тесного взаимодействия преподавателей вузов. Этой областью является дидактика и методика обучения российских и китайских студентов по дисциплине «Математика».
Практическая значимость данного исследования заключается в том, что при сравнении китайского и российского математического образовательного контента выяснилось, что в нём больше общего, чем различного. Это говорит о хороших перспективах сотрудничества с китайскими коллегами в области математического образования.
Рассмотрим детально содержание указанных учебников по темам: теория множеств; функции, их свойства и графики; тригонометрические функции. Ограниченные рамками журнальной статьи, были выделены только три темы. При анализе использовался многолетний опыт автора по обучению математике школьников и студентов вузов.
1. Теория множеств и её основные понятия
Это первый раздел курса математики, отражённый в учебнике [21]. Он также является традиционным в российских школах. Ученики встречаются с понятиями теории множеств в пятом классе, а потом, на протяжении следующих трёх лет обучения, до 8 класса включительно, их знания пополняются и обобщаются. Проследим логику изучения этой темы в китайском учебнике [21].
Глава начинается с представления числовых множеств: натуральных N, целых Z, дробно-рациональных Q и действительных чисел R. В китайском учебнике используются те же обозначения и показываются те же отношения между числами разных числовых систем [21, с.3-4], что и у нас. Определения числовых систем расширяются понятием операций над числами. Раскрываются понятия объединения и пересечения числовых множеств ( , используются знаки принадлежности элемента множеству ( ), даётся представление о пустом множестве . Эти понятия сопровождаются примерами, достаточными для того, чтобы вчерашние школьники систематизировали свои знания в этой области. Параграф заканчивается примерами, предназначенным для отработки навыков действий над множествами.
Далее теория множеств представляется через изучение числовых промежутков, открытых и закрытых, уточняются понятия «больше» и «меньше», используются знаки > и <, рассматриваются свойства неравенств [21, с. 9].
Решение квадратных неравенств [21, с.12] гармонично вписывается в логику последовательного изложения учебного материала. Решение квадратных неравенств вида: показывается на основании свойств квадратичной функции с использованием её графика. Рассматриваются случаи, когда дискриминант больше нуля, равен нулю и меньше нуля. Разница между китайской и российской математической терминологией в том, что дискриминант, обозначаемый у нас буквой D, там заменяется знаком (буквой) .
Далее приводятся примеры решения неравенств без геометрической интерпретации, что, несомненно, усложнит самостоятельную подготовку абитуриентов по этому учебнику, но даст возможность преподавателю организовать поиск правильного решения в аудитории, используя числовую прямую.
Задания №2 8 [21, с.13-18] позволяют понять способы решения квадратных, дробно-рациональных, иррациональных уравнений, способы решения уравнений с модулем, где применяется метод интервалов, приводятся примеры решения систем линейных неравенств. Параллельно с практикой решения уравнений и неравенств предлагается набор свойств, которые отражаются в приведённых в конце главы примерах.
Порядок изложения учебного материала и подбор примеров закладывает успех усвоения учащимися указанной темы. Однако отсутствие подробных решений и обоснований смысловых шагов решения в учебниках и учебных пособий требует от преподавателей определённых методических усилий по доведению способов решения до учащихся. Возьмём учебное пособие [27] и сравним, как в нём представлены способы решения алгебраических уравнений и неравенств [27, с.12-24]. В этом пособии подробно обоснованы способы решения всех видов уравнений и неравенств, включая применение теоремы Безу, показаны приёмы разложения многочлена на множители «уголком» и метод замены переменной.
Вторая глава учебника [21] раскрывает основы математической логики с демонстрацией примеров и применения кванторов теории множеств с использованием знаков: Изложение учебного материала аналогично тому, как это делается в специальных разделах дискретной математики, которая изучается в школах и вузах Белоруссии [28], а также в вузах РФ [29].
2. Функции, их свойства и графики
Одной из основных методических линий изучения математики в российских школах является функциональная линия. Функция изучается на протяжении всего периода обучения с 7 по 11 классы. Начинается изучение функций с введения понятия зависимости между величинами и их графического изображения [22, с.40-50], а заканчивается изучением тригонометрических [23, с.23-87], показательных и логарифмических функций [22, с.232-256]. В вузе никакие функции более не изучаются.
Одним из основных вопросов обозначенной темы является вопрос об области определения функции, который отражён в учебнике [21]. В нём приводятся примеры, которые позволят абитуриентам вспомнить область определения дробно-рациональных функций, иррациональных функций с чётным показателем корня. Уровень трудности отыскания области определения функции соответствует 9 классу основной российской школы [24, с.7] и не охватывает область существования логарифмической функции, область значения показательной функции, область определения функции и , а также и . Эти вопросы отнесены к моменту изучения указанных функций и рассматриваются в главе 4.
Второй параграф главы посвящён краткому изложению свойств и графиков степенной функции вида и , а также степенной функции с отрицательным показателем вида . Причём графики показаны только для первых двух функций. В следующих параграфах будет расширен круг изучаемых функций и их графиков.
В российской методической традиции обобщённое изучение степенной функции выпадает на начало 11-го класса, где рассматриваются степенные функции с дробным показателем [22, с.200]. В данном китайском учебнике этот учебный материал рассматривается в параграфе 3.5, что вполне оправдано.
Такое свойство функции как монотонность рассматривается в учебнике [21] на примере одной функции, чтобы напомнить абитуриенту об определении возрастающей (убывающей) функции: большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. Однако в учебнике не строятся графики возрастающей и убывающей функции, что обедняет учебный материал и ведёт к его низкой усвояемости учащимися.
Российские школьники впервые знакомятся со свойством монотонности функции на интуитивном уровне ещё в 9 классе при изучении свойств квадратичной функции [22, с.31]. Дальнейшее изучение функций по учебному плану выпадает на начало 10 класса средней школы [22, с.11], где уже даётся строгое определение монотонности функции так, как это мы видим в учебнике [21].
Следующее свойство функций, рассмотренное в параграфе 3.3 учебника [21] – чётность и нечётность функции. Нашим школьникам известно это понятие именно так, как оно излагается в данном параграфе китайского учебника, и поэтому никаких трудностей в понимании этого вопроса не вызывает. Однако вызывает удивление тот факт, что для иллюстрации чётной функции приводится её график в схематическом виде (см.: рисунок 1), а для нечётной – нет.
Рис. 1. График чётной функции в учебнике [21].
Это наверняка вызовет вопрос у ученика, и преподавателю необходимо будет рисовать график нечётной функции с указанием особенностей построения симметрии относительно точки. В конце параграфа даны посильные и разнообразные упражнения, что, несомненно, поможет преподавателю организовать практические занятия.
Четвёртый параграф третьей главы посвящён изложению функции, обратной данной, способу её получения, области определения и области значений взаимно обратных функций. Этот вопрос в учебнике [21] излагается так, как это принято в вузах нашей страны [25, с.159]. Это изложение для наших школьников новое, поэтому полезно данное изложение сопроводить графическими иллюстрациями и примерами. Особенно важно показать, что, следуя строгому определению, функция, обратная данной, не всегда является функцией.
Замечательной особенностью такого изложения обратной функции является использование определения функции с отрицательным показателей [21, с. 38-39] так, как это сделано в учебнике [21] (см.: рисунок 2).
Рис. 2. Введение понятия обратной функции в учебнике [21].
Дальнейшее изложение учебного материала связано с расширением понятия степенной функции в зависимости от знака коэффициента a, стоящего перед степенью. Приводятся схематические графики функций [21, с. 42], где указаны взаимно обратные функции.
Для показан рисунок 3, а для – рисунок 4.
Рис. 3. Графики взаимно обратных функций с положительным показателем
в учебнике [21].
Рис. 4. Графики взаимно обратных степенных функций с отрицательным показателем в учебнике [21].
Далее приводятся упражнения на умение сравнивать значения степени с рациональным показателем, что является весьма трудным для школьников. Но при этом можно заметить, что предложенный уровень не выходит за рамки школьной программы в России.
Логичным и оправданным является дальнейшее изложение, связанное со свойствами степени с рациональным показателем [21, с. 45] и дальнейшее изучение свойств и графиков показательной и логарифмической функции. При этом можно утверждать, что рисунки графиков показательной и логарифмической функции в китайском учебнике [21] и российском школьном учебнике [22] похожи друг на друга, что говорит о схожести методических подходов к данному вопросу (см.: рисунки 5 и 6).
Рис. 5. Графики показательной функции в учебнике [21].
Рис.6. Графики показательной функции в учебнике [22].
Изложение понятия логарифма и связанного с ним логарифмической функции аналогично со школьными учебниками в России. Наряду с этим, есть и отличия. Логарифмические равенства, указанные на странице 49 анализируемого учебника [21], весьма полезны будут даже для выпускника школы, потому что при выполнении задания 15 ЕГЭ могут требоваться эти формулы (см.: рисунок 7).
Рис.7. Свойства логарифма в учебнике [21].
Задания, которые приводятся после изучения указанной темы, пригодны не только для тематического, но и для итогового контроля. Некоторые из них предлагаются в тестовой форме.
3. Тригонометрические функции
Этот раздел математики впервые для российских учащихся появляется в курсе геометрии 8 класса [26, гл. VII, § 4] и продолжается изучение в 10 классе [22, гл.2]. В китайском учебнике [21, с. 54] изложение начинается с введения понятия положительного и отрицательного угла (угла, отложенного по часовой или против часовой стрелки). Разбирается способ перевода градусной меры угла в радианную и наоборот, даются определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секонса и косеконса острого угла.
Методика обучения российских школьников предполагает эти определения связывать с прямоугольным треугольником, поэтому в данном изложении не хватает наглядного образа для наших школьников. Таблица основных значений тригонометрических функций вполне привычна и востребована в период обучения российскими школьниками. Не привычны обозначения тригонометрических функций. Если синус и косинус угла обозначается также как и у нас, то тангенс и котангенс иначе - и . Из опыта обучения российских школьников по китайскому учебнику [21] можно констатировать, что это не затрудняет наших школьников и они быстро привыкают к новым обозначениям.
В анализируемом учебнике, также как и в российских учебниках, рассматривается вопрос о знаках тригонометрических функций по четвертям в прямоугольной системе координат и связанной с ней единичной окружностью. Если схематический образ наши учителя представляют в виде единичной окружности, где указаны знаки тригонометрических функций (см.: рисунок 8), то в учебнике [21] эти знаки представлены в виде таблицы (см.: рисунок 9).
Рис.8. Знаки тригонометрических функций, представлены в российской методической традиции.
Рис. 9. Знаки тригонометрических функций, представлены
в китайской методической традиции
Тригонометрические формулы, отражённые в учебнике [21], включают в себя основное тригонометрическое тождество, формулу для тангенса острого угла и произведения тангенса и котангенса одного и того же угла (см.: рисунок 10).
Далее приводятся ещё две формулы:
Рис. 10. Формулы тригонометрии в учебнике [21].
И на их основе предлагается решать задачи, которые решают и наши дети: если известна одна тригонометрическая функция, то надо найти все другие на заданном интервале или без его указания.
Авторы учебника не обошли стороной формулы приведения, представленные в параграфе 4.3. Изложение данного учебного материала и упражнения к нему изложены в тех же методических традициях, что и в России.
Графики тригонометрических функций предъявляются в готовом виде с описанием их основных свойств: области определения, области значений функции, периодичности, чётности-нечётности, промежутков знакопостоянства и монотонности. Изложение аналогично российским методическим традициям.
В параграфах 4.6-4.7 рассматривается вопрос построения графиков функций вида: с подробным описанием пошаговой процедуры построения на конкретных примерах. Конечно, такие сложные задания необходимо сопровождать рисунками, которые, по всей видимости, должны осуществляться в аудитории во время занятий.
Следующие параграфы 4.8 и 4.9 обозначены знаком (*) и рассматриваются нами как не обязательные для изучения всем абитуриентам. Эти параграфы посвящены обратным тригонометрическим функциям с освещением следующих вопросов: определение arc-функций, их свойств, графиков и применения. В России в программе 10 класса arc-функции являются материалом, обязательным для изучения всеми учениками. Это связано с тем, что дальнейшее изучение тригонометрии переходит к изучению тригонометрических уравнений и неравенств, где обязательным являются знания arc-функций и их свойств.
Заключение
В данной работе был проведён сравнительный анализ фактического содержания учебника по математике, предназначенного для подготовки абитуриентов к поступлению в вузы КНР. Были проанализированы четыре главы, которые включают вопросы теории множеств, функций и их графиков и тригонометрии. Это было сделано с целью получения фактического материала, по которому можно судить сходствах и различиях математического содержания двух соседних стран – Китая и России. Такая картина нужна для того, чтобы установить степень возможности и реализуемости проектов по обмену студентами, преподавателями, учебниками и учебными пособиями, которые требуются в реализации проектов обеих стран по развитию высшего образования.
Анализ учебников России и Китая показывает, что содержание учебного материала, методические особенности его изложения, уровень сложности заданий, терминология во многом идентичны. В анализируемом материале было найдено несколько различий, которые существенно не влияют на успешную подготовку российских абитуриентов к поступлению в вузы КНР, ровно, как и китайских абитуриентов в российские вузы.
Следовательно, в нашем Дальневосточном регионе есть благоприятные методические и дидактические условия в предметной области «Математика» для успешного продолжения обучения в вузах КНР бывших школьников и молодёжи России, а китайской молодёжи – в России. Также содержание математического образования и методика его преподавания не является препятствием для совместной работы преподавателей вузов и их взаимообмена.