Igor V. KiselnikovВведение / Introduction
Сюжетные (текстовые) задачи – важный инструмент развития математического мышления, они являются значимой частью обучения математике в основной школе, что отмечает В. А. Далингер [1]. Такие задачи учат применять абстрактные знания в реальных ситуациях, что, в частности, отмечает Т. И. Трунтаева [2]. Однако многие ученики сталкиваются с трудностями при выполнении решений сюжетных задач, что приводит к возникновению устойчивых ошибок. Эти ошибки могут касаться как понимания условий задачи, так и применения правильных методов решения.
В современных условиях внедрения объективных форм оценивания результатов обучающихся, таких как основной государственный экзамен, единый государственный экзамен, появляется обширный эмпирический материал данных, анализ которых позволяет выявить основные тенденции в усвоении учебного материала учащихся, что отмечено И. В. Кисельниковым [3]. В научно-методической литературе, в частности Г. А. Аласгаровой, отмечаются типичные погрешности при выполнении решений различных типов задач [4], пути выполнения предупреждающих и корректирующих действий по итогам контрольно-оценочной деятельности. На основе выводов из анализа погрешностей может реализовываться процессный подход к обучению математике, предложенный И. В. Кисельниковым [5]. В данной статье мы рассмотрим наиболее распространенные типы ошибок, встречающихся у учащихся основной школы, а также предложим методы для их устранения. Для выявления погрешностей учащихся использовался весь массив результатов оценивания решений задач основного государственного экзамена на уровне региона Алтайский край.
Успешное решение сюжетных задач способствует развитию аналитического мышления учащихся, что отмечено в исследовании А. О. Келдибековой [6]. Аналитическое мышление – это ключевой навык, необходимый для успешной учебы, работы и повседневной жизни. Оно помогает принимать обоснованные решения, решать сложные задачи и видеть ситуацию в целом. К способам развития аналитического мышления можно отнести: решение математических задач, в том числе головоломок; чтение научной литературы, участие в дискуссиях; критический анализ информации и пр. Проанализированное И. В. Птицыной [7] содержание сюжетных задач в школьных учебниках по математике предоставляет возможности развития аналитического мышления учащихся. Регулярная практика и постоянное стремление к самосовершенствованию помогают развить аналитическое мышление и достичь высоких результатов в любой сфере деятельности.
Основная цель настоящего исследования – выявление устойчивых ошибок учащихся при решении сюжетных математических задач в основной школе с учетом анализа эмпирического материала основного государственного экзамена. Достижению основной цели исследование способствует решение следующих его частных задач.
- Теоретический анализ современной научной психолого-педагогической и методической литературы по проблеме обучения решению сюжетных задач в основной школе.
- Выявление основных видов устойчивых ошибок при решении учащимися сюжетных математических задач в основном общем образовании.
- Разработка методических подходов для преодоления устойчивых ошибок при решении учащимися сюжетных математических задач в основном общем образовании.
Обзор литературы / Literature review
В современной научно-педагогической литературе применяются различные подходы к понятиям «сюжетная задача», «текстовая задача». Выберем за основу следующее определение: текстовой задачей называется задача, в которой зависимость между условием и требованием сформулирована словами. Вслед за Н. С. Подходовой и В. И. Снегуровой [8] под сюжетной задачей будем понимать текстовую задачу, в которой описаны некоторые реальные или вымышленные неабстрактные объекты, отношения между ними и их количественные характеристики с целью установления новых отношений между объектами, вида этих отношений и их количественных характеристик, или доказательства отсутствия таких отношений, или нахождения последовательности требуемых действий.
В педагогических исследованиях отдельных авторов, в частности Н. С. Подходовой и В. И. Снегуровой [9], рассматриваются отдельные функции сюжетных задач в школьном курсе математики:
‒ приобретение и закрепление умений и навыков обучающихся;
‒ улучшение качества познавательных процессов: ощущения и восприятия, внимания, памяти, воображения и мышления.
Формирование мировоззрения учащихся как функция сюжетных задач в обучении указано в работе Л. В. Шелеховой [10]. Реализация такой функции представляет особое значение в условиях реализации современных образовательных стандартов. Представленные выводы имеют особое значение в контексте гуманитаризации математического образования.
Различные типологии и классификации сюжетных задач отражены в работе В. А. Далингера [11]. Специфические особенности методики обучения решению сюжетных текстовых задач в основной школе в своей работе приводит В. А. Далингер [12]. О. П. Шарова [13] рассматривает целесообразно подобранные сюжетные задачи в обучении математике. Специфику обучения сюжетных задач в начальной школе подмечает Л. В. Шелехова [14]. Поскольку сюжетные задачи начинают изучаться в начальных классах, уже на этом этапе образования сюжетные задачи являются объектом изучения в исследовании Л. В. Шелехова [15]. Рассматриваемые в литературе типологии и классификации сюжетных задач учитывают различные этапы обучения таким задачам в школьном курсе математики.
С. И. Дяченко разработала основные методы решения сюжетных задач и их взаимосвязь в школьном курсе математики [16]. Интеграции алгебраического и геометрического методов в процессе обучения математике в школе посвящены работы Л. С. Капкаевой [17]. Методы решения сюжетных задач тесно связаны с развитием представлений о применении математических методов при исследовании различных закономерностей не только в математике, но и в смежных дисциплинах.
Внедрение современных федеральных государственных образовательных стандартов и генезис требования общества к результатам образования привели к повышению актуальности методической проблемы достижения метапредметных результатов обучения, указанных В. А. Тестовым [18]. Т. Л. Блинова приводит примеры заданий к сюжетным задачам по математике на формирование регулятивных универсальных учебных действий у обучающихся [19]. Интерес вызывают представленные О. В. Акуловой возможности конструирования ситуационных задач для оценки компетентности учащихся [20]. Такой подход может активно применяться в процессе итоговой аттестации школьников по предмету.
С позиций педагогической психологии оценку сформированности познавательных и регулятивных метапредметных компетенций выпускников начальной школы при решении сюжетно-логических задач рассматривает А. З. Зак [21]. Учет индивидуальных возрастных психологических особенностей школьника приобретает особую значимость в исследовании причин появления ошибок в деятельности учащихся.
Проблема обучения решению математических сюжетных задач актуальна не только в российских, но и в зарубежных образовательных организациях. С психологических позиций рассматривает сюжетные задачи Л. М. Фридман [22]. Гуманитаризация и гуманизация школьного математического образования способствует развитию методики обучения решению сюжетных задач, что подмечено в работе Е. Ф. Фефиловой [23].
Интересны разработки методических особенностей обучения в условиях развертывания линии сюжетных задач в основной школе, представленные Е. Ф. Фефиловой [24]. О. Н. Новикова провела исследования по формированию математической грамотности при обучении школьников 5–6-х классов решению сюжетных задач на занятиях внеурочной деятельности [25]. Т. И. Трунтаева в своих работах проводит изучение методических подходов к развитию дедуктивного мышления с помощью сюжетных логических задач [26]. Указанные исследования подчеркивают особую значимость формируемых умений решать сюжетные задачи для развития грамотности учащихся.
Тренд расширения сферы использования информационных и коммуникационных технологий затронул методику обучения решению математических задач. Потенциал сюжетных задач в активизации внимания обучающихся, умственной деятельности при обучении учащихся успешно может реализоваться путем использования специальных средств обучения. Так, Ю. Н. Кашицына предлагает методику использования сюжетов из известных советских и российских мультипликационных фильмов для привлечения внимания учащихся и делает вывод о том, что «мультфильмы – действенное средство мотивационной составляющей для успешного достижения поставленной цели в обучении математике, которая развивает творческий потенциал учащихся разноуровневой степени подготовленности» [27]. Возможности представления математического содержания в различных формах способствуют развитию понимания учебного материала учащимися.
За рубежом современные исследования в области теории и методики обучения решению сюжетных задач фокусируются по отдельным направлениям: выявление особенностей восприятия и решения задач отдельными группами учащихся либо в зависимости от условий осуществления образовательного процесса; применение современных информационно-коммуникационных и образовательных технологий в процессе обучения решению задач; развитие учебных навыков в процессе решения задач.
В зарубежной литературе изучение развития и различий в навыках решения математических проблем у учащихся в зависимости от их классов, пола и местоположения школы проводится в работе Иджтихади Камилия Амалины и Т. Видаковича [28]. Навыки решения задач являются наиболее применимым когнитивным инструментом в математике, и улучшение навыков решения задач, в частности сюжетных, у учащихся – основная цель образования. Однако учителям необходимо знать лучший период развития и различия между учениками, чтобы определить наилучшие методы преподавания и обучения.
А. Аркави [29] на основе исследования приходит к выводу о том, что образ мышления играет решающую роль, влияя на математическую социальную идентичность учащегося, что, в свою очередь, влияет на успеваемость учащихся по математике.
Исследуя навыки решения математических задач, Дж. Джозеп и соавт. [30] приходят к выводу о том, что эти навыки представляют собой сложный набор когнитивных, поведенческих и установочных компонентов, которые являются ситуативными и зависят от глубоких знаний и опыта.
Й. В. Пурномо и соавт. в своей работе [31] подчеркивают важность родительского участия и математической самооценки учащихся начальной школы в онлайн-обучении математике, что играет позитивную роль в реализации методики обучения решению сюжетных математических задач.
Химматул Уля и коллеги [32] отмечают, что решение математических задач важно для изучения математики и необходимо в XXI веке. В XXI веке образовательные технологии дополняют каждую учебную деятельность. Количество исследований по улучшению решения математических задач учащихся существенно возросло за последние несколько десятилетий.
Как в отечественной, так и в зарубежной образовательной практике решение математических задач выделяется в отдельную содержательно-методическую линию, сюжетные задачи в которой играют существенную роль в силу особенностей математического содержания и возможностей применения математики на практике.
Трендом мировой образовательной практики является широкое внедрение современных информационных технологий, в частности, при обучении решению задач, что отражено в работе Дж. Суратно и И. К. Валиянти [33].
Анализ содержания итоговой аттестации по математике в школах различных стран показывает, что сюжетные задачи включаются в контрольно-измерительные материалы как в основной, так и в старшей школе. Изучение продуктов деятельности участников итоговой аттестации позволяет выявлять существенные погрешности в усвоении учебного материала.
Определенная трансформация методики обучения решению математических задач происходит в условиях гуманитаризации и гуманизации школьного математического образования, охарактеризованных Г. И. Саранцевым [34].
Изучение научной литературы показывает недостаточную разработанность подходов к анализу погрешностей учащихся при решении сюжетных задач, типичных ошибок и путей их устранения и предотвращения. Однако опыт показывает возможность исследования накопленного в ходе итоговой государственной аттестации богатого эмпирического материала для выделения устойчивых ошибок участников экзамена при решении таких задач и совершенствования методики осуществления предупреждающих и корректирующих действий по результатам экзамена.
Методологическая база исследования / Methodological base of the research
В процессе исследования предстояло изучить данные количественного и качественного характера о предметных результатах обучения школьников одному из разделов учебного материала – текстовым сюжетным задачам. Для этого были проанализированы результаты основного государственного экзамена по математике на уровне региона Алтайский край. Объем выборки составил около 10 000 работ участников экзамена по математике. Для этого использованы теоретические и эмпирические методы: анализ, синтез, обобщение.
На втором этапе с помощью экспертных оценок выявлялись погрешности в предметных результатах обучения этому разделу, возможные причины появления ошибок и пути их предотвращения. Исследование проводилось с использованием материалов региональной предметной комиссии по проверке задач с развернутым ответом государственной итоговой аттестации по математике в Алтайском крае.
Аналогичный подход ранее использовался для анализа результатов Алтайского регионального мониторинга математической подготовки учащихся 6-х классов, отраженного в исследовании И. В. Кисельникова [35].
Выявление ошибок учащихся способствует совершенствованию подготовки учащихся к решению сюжетных математических задач при прохождении государственной итоговой аттестации, что анализируется в работе М. Г. Кныш [36].
Основной методологической базой исследования выступают представленные участниками основного государственного экзамена по математике в Алтайском крае решения задач, содержащие отдельные погрешности. Анализ таких погрешностей позволяет выявить устойчивые ошибки при решении сюжетных математических задач в основной школе.
Результаты исследования / Research results
В условиях основного государственного экзамена сюжетные задачи включены в контрольно-измерительные материалы. Речь идет о задании № 21 (основной государственный экзамен по математике в 2024 году), проверяемыми элементами содержания/умениями являются «Текстовые задачи / Уметь строить и исследовать простейшие математические модели». Эта задача по типу относится к задачам с кратким ответом.
Выводы о погрешностях участников экзамена при выполнении заданий с кратким ответом носят вероятностный характер и основываются на анализе так называемого «веера ответов». «Веер ответов» участников основного государственного экзамена по математике представляет собой статистический инструмент, позволяющий проанализировать распределение ответов участников экзамена на различные типы задач. Он используется для выявления тенденций, определения уровня подготовки учащихся и разработки рекомендаций по улучшению качества преподавания математики в исследовании И. В. Кисельникова [37]. Рассмотрим подробнее, что такое «веер ответов» и как он применяется в анализе результатов основного государственного экзамена.
«Веер ответов» – это график, показывающий количество участников ЕГЭ, выбравших каждый из предложенных вариантов ответа на конкретное задание. Обычно он строится в виде столбчатой диаграммы, где каждая колонка соответствует одному варианту ответа, а высота колонки отражает число участников, выбравших данный вариант.
К функциям «веера ответов» можно отнести следующие:
1. Выявление популярных ошибок. «Веер ответов» позволяет определить, какие варианты ответов выбираются чаще всего. Если большая часть участников выбирает неправильный ответ, это может указывать на наличие распространенной ошибки или недоразумения, связанного с формулировкой вопроса или недостатком знаний по определенной теме.
2. Оценка уровня подготовки. Сравнивая «веера ответов» разных групп участников (например, городских и сельских школ), можно оценить различия в уровне подготовки и выявить регионы или образовательные учреждения, нуждающиеся в дополнительной поддержке.
3. Оптимизация заданий. Анализируя «веера ответов», разработчики экзаменационных материалов могут вносить изменения в задания, делая их более сбалансированными и соответствующими целям экзамена.
4. Определение зон роста. «Веер ответов» помогает выявить темы и разделы математики, вызывающие наибольшие затруднения у учащихся, что позволяет сосредоточиться на улучшении преподавания именно этих тем.
Этапы построения «веера ответов»:
1. Сбор данных. После завершения экзамена собираются ответы всех участников на каждое задание.
2. Классификация ответов. Ответы классифицируются по вариантам: правильный ответ, неправильные ответы и пропуски (если участник не выбрал ни одного варианта).
3. Построение графика. Строится столбчатая диаграмма, где каждая колонка соответствует количеству участников, выбравших определенный вариант ответа.
4. Анализ данных. Проводится анализ полученного графика, выявляются популярные ошибки, и определяются направления для дальнейшей работы.
Пример использования «веера ответов» на одну из сюжетных задач, предложенных участникам основного государственного экзамена по математике в Алтайском крае в 2024 году.
Условие задачи: «Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч».
Ответ: 18 км/ч.
Предложенная текстовая задача является типичной для учащихся, но при этом к ее решению приступили только 17,39% экзаменующихся, работающих с данным вариантом, и лишь 9,48% из них смогли получить 2 балла. На основании данных проверки можно констатировать: фактический результат этого задания пока существенно не доходит до нижней границы ожидаемого процента его выполнения (15%).
Текстовая задача требовала составления математической модели в виде дробно-рационального уравнения. Задачи на составление математической модели традиционно вызывают трудности у обучающихся. Статистические данные выполнимости данного задания показывают, что многие выпускники вообще не приступают к решению текстовых задач. Те, кто решал, в большинстве случаев не понимали условие задачи, неверно определяли искомую величину, неправильно составляли математическую модель, с ошибкой решали дробно-рациональное уравнение, допускали ошибки вычислительного характера, не выполняли логическую проверку полученного ответа, не предлагали пояснения к действиям, отвечали на другой вопрос задачи. Кроме того, ошибки зачастую были не единичными, а носили комплексный характер, т. е. при решении проявлялось несколько ошибок.
Использование «вееров ответов» по математике позволяет выявить устойчивые ошибки при решении сюжетных задач.
Основные виды ошибок
- 1. Неправильное понимание условия задачи
Одной из самых распространенных ошибок является неправильное понимание текста задачи. Ученики часто пропускают важные детали или неверно интерпретируют информацию. Например, они могут неправильно определить количество участников события, перепутать единицы измерения или не учесть все данные, приведенные в условии.
Пример: задача о двух поездах, движущихся навстречу друг другу со скоростью 60 км/ч и 80 км/ч соответственно. Расстояние между ними составляет 140 км. Через сколько часов они встретятся?
Многие школьники забывают учитывать тот факт, что скорости поездов складываются, поскольку они движутся навстречу друг другу.
Пути преодоления: для того чтобы избежать подобных ошибок, необходимо уделять особое внимание анализу текста задачи. Учитель может предложить ученикам разбивать задачу на отдельные части и выделять ключевые моменты. Также полезно использовать метод чтения задачи вслух и обсуждения ее содержания с одноклассниками.
- 2. Неверный выбор метода решения
Даже если ученик правильно понял условие задачи, он может выбрать неправильный метод для ее решения. Это особенно актуально для сложных задач, где существует несколько возможных подходов.
Пример: задача о покупке яблок и груш. Если купить 10 яблок и 8 груш, то стоимость составит 120 рублей. Если же купить 6 яблок и 12 груш, то стоимость будет равна 132 рублям. Сколько стоит одно яблоко и одна груша?
Некоторые ученики пытаются решить эту задачу методом подбора, хотя гораздо эффективнее было бы составить систему уравнений и решить ее алгебраически.
Пути преодоления: важно научить учеников различать типы задач и выбирать подходящий метод решения. Регулярная практика и разбор различных типов задач помогут развить навыки анализа и выбора оптимального подхода.
- 3. Ошибки в вычислениях
Ошибки в арифметике являются еще одной распространенной проблемой. Они могут возникать из-за невнимательности, недостаточного владения базовыми операциями или отсутствия уверенности в своих навыках.
Пример: задача о нахождении площади прямоугольника. Длина прямоугольника равна 15 м, ширина – 7 м.
Площадь прямоугольника находится умножением длины на ширину. При этом некоторые ученики допускают ошибку в расчете, получая результат 102 кв. м вместо правильного ответа 105 кв. м.
Пути преодоления: постоянная тренировка базовых вычислительных навыков поможет снизить вероятность таких ошибок. Учителя должны регулярно проверять выполнение учениками простых операций и давать обратную связь. Использование калькуляторов и других вспомогательных средств также может быть полезным, но важно помнить, что основное внимание должно уделяться пониманию процесса расчета.
- 4. Неумение проверить правильность решения
Многие ученики завершают решение задачи без проверки правильности полученного результата. Это может привести к тому, что даже правильно решенная задача окажется ошибочной из-за незначительной неточности.
Пример: задача о делении числа на дробь. Ученик решает задачу корректно, но забывает, что деление на дробь эквивалентно умножению на обратную величину этой дроби. В результате получается неверный ответ.
Пути преодоления: необходимо привить ученикам привычку проверять свои ответы. Это может включать проверку промежуточных результатов, использование обратной операции или просто оценку разумности полученного ответа. Например, если задача связана с реальными величинами, такими как длина, масса или время, то ответ должен соответствовать здравому смыслу.
Опыт показывает, что прикидка при решении сюжетных задач – важный этап для успешного решения, который значительная часть школьников упускает. Прикидка – это предварительная оценка результата или промежуточных вычислений, которая помогает проверить их разумность и избежать грубых ошибок. В сюжетных задачах прикидка играет особую роль, так как позволяет соотнести математические расчеты с реальной жизнью и убедиться в адекватности полученного ответа.
Рассмотрим, как использовать прикидку эффективно.
1. Зачем нужна прикидка?
‒ Проверка адекватности ответа. Например, если в задаче о скорости пешехода получается 200 км/ч, это явно нереально.
‒ Экономия времени. Прикидка помогает быстро отбросить заведомо неверные варианты.
‒ Развитие интуиции. Ученик учится оценивать порядок чисел и их соотношение.
2. Как выполнять прикидку?
Шаг 1: оценка порядка чисел. Округление числа до удобных значений. Например, в задаче «Магазин продал 48 кг яблок по 123 рубля за килограмм» можно округлить 48 до 50, а 123 до 100. Прикидка: 50×100 = 5000 рублей.
Шаг 2: проверка единиц измерения. Проверка того, что единицы согласованы. Пример: если скорость дана в км/ч, а время в минутах, необходимо перевести минуты в часы.
Шаг 3: сравнение с реальностью. Оценка того, насколько ответ соответствует жизненному опыту. Пример: если в задаче о возрасте человека получается 150 лет, это явная ошибка.
Примеры использования прикидки
Пример 1: задача на пропорции.
Условие: 5 кг картошки стоят 200 рублей. Сколько стоит 12 кг? Прикидка:
‒ 5 кг → 200 рублей, значит, 10 кг → 400 рублей.
‒ 12 кг чуть больше 10 кг, значит, ответ должен быть чуть больше 400 рублей.
Решение: рублей.
Проверка: 480 рублей близко к прикидке, ответ разумен.
Пример 2: задача на скорость.
Условие: автомобиль едет 2 часа со скоростью 85 км/ч. Какое расстояние он проедет?
Прикидка:
‒ Скорость 85 км/ч ≈ 90 км/ч.
‒ За 2 часа он проедет км.
Решение: км.
Проверка: 170 км близко к прикидке, ответ корректен.
Типичные ошибки при прикидке:
1. Игнорирование прикидки: ученик сразу приступает к вычислениям, не оценивая разумность результата.
2. Некорректное округление: например, округление 123 до 200 вместо 100.
3. Несоответствие единиц измерения, например смешение метров и километров.
Как научить школьников прикидке?
1. Практика с простыми числами: начинать целесообразно с задач, где числа легко округляются (10, 100, 1000).
2. Использование жизненных примеров: осуществлять подбор задач, связанных с повседневной жизнью (цена, время, расстояние).
3. Обсуждение нереальных ответов: рекомендуется анализировать, почему ответ 150 лет или скорость 200 км/ч невозможны.
4. Поощрение самостоятельной проверки: научение школьников всегда задавать вопрос: «Этот ответ имеет смысл?»
В целом прикидка – это не просто вспомогательный инструмент, а важный этап решения сюжетных задач. Она помогает избежать грубых ошибок, развивает математическую интуицию и учит критически оценивать результаты. Регулярное использование прикидки делает процесс решения задач более осознанным и уверенным.
Для преодоления ошибок в понимании условия задачи существуют специальные эффективные способы, которые раскрываются в следующих положениях.
Анализ и структурирование информации. Осуществляется путем разбиения задачи на отдельные части и выделение ключевых моментов решения. Такие действия помогают увидеть всю картину целиком и не упускать важных деталей. Можно использовать схемы, таблицы или диаграммы для визуализации данных.
Чтение задачи вслух. Чтение задачи вслух позволяет лучше воспринять текст и заметить пропущенные или неправильно понятые моменты. Особенно полезно обсуждать задачу с одноклассниками или учителем, задавая вопросы и уточняя непонятные места.
Запись ключевых данных. Осуществляется запись всех числовых значений, единиц измерения и другие важных параметров задачи. Такое действие помогает упорядочить информацию и уменьшить риск пропуска каких-то элементов.
Использование примеров и аналогий. Сравнение текущей задачи с уже решенными ранее задачами подобного типа помогает понять структуру задачи и выявить общие закономерности.
Пошаговый план решения. Составление пошагового плана действий перед началом решения позволяет определить, какие данные нужны для решения сюжетной задачи, какие операции следует выполнять и в каком порядке.
Практика и повторение. Решение большого количества разнообразных задач помогает развивать навыки анализа текстов и интерпретации условий. Чем больше задач решается, тем легче становится понимать новые задания.
Обратная связь от учителя. Получение обратной связи от преподавателя после выполнения каждой задачи позволяет своевременно выявлять и исправлять ошибки в понимании условий.
Рассмотренные методы способствуют развитию внимательности и критического мышления, что в результате ведет к улучшению навыков решения сюжетных задач.
Ошибки в вычислениях – одна из самых распространенных проблем при решении сюжетных математических задач. Чтобы минимизировать ошибки в вычислениях, можно следовать нескольким простым правилам и стратегиям.
1. Правильная организация вычислений
Четкое оформление записей: пишите вычисления аккуратно и последовательно. Использование достаточного пространства, чтобы не перепутать цифры и знаки, выполнение вычислений поэтапно, запись каждого шага отдельно. Это поможет избежать путаницы и упростит поиск ошибок. Использование скобок: правильное расставление скобки помогает избежать недоразумений с порядком операций.
2. Проверка промежуточных результатов. Перепроверка каждого шага: после выполнения каждого этапа вычислений проверьте результат. Такое действие поможет вовремя обнаружить и исправить ошибки. Использование калькулятора: если есть возможность, проверяйте промежуточные результаты с помощью калькулятора. Проверка особенно полезна для длинных и сложных вычислений.
3. Двойная проверка окончательного результата. Проверка общего хода решения: чтение задачи и убеждение в том, что ответ соответствует условиям задачи.
Логическая оценка результата: проверка того, выглядит ли полученный ответ разумным. Например, если задача связана с физическими величинами, проверка, соответствуют ли единицы измерения и порядок величин ответу.
4. Использование обратных операций
Проверка через обратные операции: проведение обратных операций, чтобы убедиться в правильности результата. Например, если вы решили уравнение, подставьте найденное значение обратно в уравнение и посмотрите, выполняется ли равенство.
5. Практика и тренировка
Регулярные упражнения: решение как можно большего числа задач, чтобы улучшить вычислительные навыки. Выполнение регулярных упражнений поможет учащемуся стать более уверенным и точным. Фокус на слабых местах: обращение особого внимания на те области, в которых чаще всего допускаются ошибки. Например, если ученик испытывает трудности с дробями, необходимо больше времени потратить на практику именно такого аспекта.
6. Концентрация и внимание
Сосредоточенность: стремление не отвлекаться во время выполнения вычислений. Музыка, разговоры или другие раздражители могут негативно сказываться на концентрации. Организация перерывов: если ученик чувствует усталость или напряжение, нужен короткий перерыв. Такое действие поможет восстановить концентрацию и избежать ошибок.
7. Использование технологий
Калькуляторы и компьютерные программы: современные технологии предлагают множество инструментов для помощи в вычислениях. Целесообразно использовать такие действия, но с пониманием, что основная цель – понять процесс, а не просто получить ответ.
8. Обучение и консультации
Изучение учебных материалов: если у ученика возникают постоянные ошибки в определенных областях, необходимо пересмотреть соответствующие главы учебников или найти дополнительные ресурсы для изучения. Обращение за помощью: учащийся не должен стесняться обращаться за помощью к преподавателям или коллегам. Совместное обсуждение задач и методов решения может быть очень полезным.
Следуя этим методическим положениям, возможно значительно сократить количество ошибок в вычислениях и повысить свою уверенность в решении математических задач.
Заключение / Conclusion
Устойчивые ошибки при решении сюжетных математических задач могут значительно затруднить обучение и привести к снижению успеваемости. Однако правильное понимание причин этих ошибок и применение соответствующих методов их преодоления позволит существенно улучшить результаты учащихся. Важными аспектами работы над устранением ошибок являются развитие аналитического мышления, регулярная практика и контроль за выполнением заданий.
Быстрое нахождение оптимальных методов решения задач требует сочетания различных подходов и стратегий. Вот несколько выделенных в опыте ключевых моментов (1–15), которые помогут в отыскании оптимальных методов решения сюжетных задач.
1. Понимание структуры задачи. Каждый тип задачи имеет свою специфическую структуру. Например, задачи на движение, задачи на проценты, задачи на работу и производительность и т. д. Понимание структуры задачи позволяет быстрее выбрать подходящий метод решения.
2. Анализ условий задачи. Внимательно необходимо изучить условия задачи. Определить, какие данные есть, какие величины нужно найти и какие зависимости между ними существуют. Выполнение таких операций позволяет сузить круг возможных методов решения.
3. Классификация задач. Определение, к какому классу относится ваша задача: линейная задача, квадратичная задача, задача на комбинаторику и т. д. Знание классов задач и связанных с ними методов решения ускорит процесс поиска оптимального метода.
4. Поиск аналогов среди уже решенных задач. Если учащиеся сталкивались с подобной задачей ранее, скорее всего, аналогичный метод подойдет и сейчас. Это сэкономит время на поиск нового метода.
5. Методы проб и ошибок. Если задача кажется сложной или нестандартной, проба разных методов решения. Такая работа может занять больше времени, но позволит найти оптимальный путь. Постепенно школьники учатся интуитивно чувствовать, какой метод лучше подходит для определенной задачи.
6. Алгоритмический подход. Разработка алгоритма решения задачи. Четко следует определить последовательность шагов, которые нужно предпринять для получения ответа. Такое действие поможет структурировать ваши мысли и избежать хаоса.
7. Применение общих принципов. Использование общих принципов решения задач, таких как принцип суперпозиции (разделение задачи на более простые подзадачи), принцип симметрии (использование симметричных свойств задачи) и принцип минимизации (поиск кратчайшего пути).
8. Тренировки и практика. Чем больше задач учащиеся решают в процессе обучения, тем лучше разбираются в выборе методов решения. Регулярные тренировки и решение разнообразных задач развивают интуицию и способность быстро определять, какой метод подойдет лучше всего.
9. Оценка сложности задачи. Перед выбором метода осуществляется оценка сложности задачи. Простые задачи обычно требуют стандартных методов, тогда как сложные задачи могут потребовать комбинирования нескольких подходов или использования специальных техник.
10. Рефлексия и самоанализ. После завершения задачи необходимо продумывание, был ли выбранный учащимся метод оптимальным, оценка того, насколько легко и быстро был получен правильный ответ. Самоанализ и рефлексия способствуют совершенствованию навыков решения и предотвращению ошибок в будущем.
11. Использование наглядных материалов. Создание схем, диаграмм или таблиц, которые помогут визуализировать задачу и выбрать подходящий метод решения, облегчает восприятие информации и помогает лучше понять структуру задачи.
12. Работа с учебником и дополнительными источниками. Изучение учебников и дополнительных источников, посвященных решению математических задач, позволяет рассмотреть множество примеров и рекомендаций по выбору методов решения.
13. Консультации с преподавателем или коллегами. Совместное обсуждение может открыть новые перспективы и помочь выбрать лучший метод решения. Иногда свежий взгляд со стороны может оказаться очень полезным.
14. Использование современных технологий. Современные технологии предлагают множество инструментов для помощи в решении задач. Например, онлайн-калькуляторы, симуляторы и специализированные программы могут ускорить процесс нахождения оптимального метода решения.
15. Развитие критического мышления. Критическое мышление помогает анализировать задачу с разных точек зрения и находить нестандартные подходы к ее решению. Развитие указанного навыка позволит учащемуся быстрее находить оптимальные методы решения.