Methods of transforming mathematical tasks as a means of developing students' meta-subject skills in a digital environment

Введение / Introduction

Современная система школьного образования нацелена на формирование у обучающихся не только предметных знаний, но и метапредметных умений (универсальных учебных действий – УУД), необходимых для успешной самореализации в быстро меняющемся мире. Понятие универсальных учебных действий соотносится с понятием soft skills, или мягких навыков, но при этом УУД ориентированы преимущественно на учебный процесс, а мягкие навыки – на профессиональные сферы деятельности. В действующих образовательных стандартах (ФГОС НОО, ФГОС ООО, ФГОС СОО) определены структура и содержание универсальных учебных действий, а в федеральных рабочих программах содержание УУД уточняется с учетом специфики учебных предметов [1]. В условиях цифровизации образования и перехода общества к новой технологической парадигме содержание метапредметных умений дополняется действиями, осуществляемыми с использованием возможностей цифровой образовательной среды: использовать цифровые инструменты (электронные таблицы, онлайн-калькуляторы, программы построения инфографики) для обработки и анализа данных и выдвижения гипотез; взаимодействовать в онлайн-средах (чаты, форумы, образовательные платформы); представлять результаты работы в цифровом формате (презентации, видео, ментальные карты); применять цифровые инструменты для творчества и рефлексии (нейросети, конструкторы интерактивных упражнений, программы для моделирования, виртуальные лаборатории).

Математика как учебный предмет обладает уникальным потенциалом для формирования метапредметных умений благодаря своей логической строгости, универсальности методов и возможности моделирования реальных процессов, при этом основным средством формирования указанных умений являются метапредметные задания с математическим контекстом. Особую значимость приобретает интеграция цифровой среды в процесс формирования указанных умений: цифровые инструменты и платформы открывают новые возможности для визуализации, моделирования, исследования, совместного поиска и персонализации обучения при выполнении обучающимися метапредметных заданий.

Рассматривая метапредметное задание как основное средство формирования УУД и констатируя недостаточное количество таких заданий в практике обучения математике, мы определили целью нашего исследования выявление приемов трансформации математических задач в метапредметное задание с использованием цифровой среды для обогащения содержания УУД и оптимизации процесса их формирования.

Обзор литературы / Literature review

В современных педагогических и методических исследованиях отражены различные особенности метапредметных заданий, используемых в процессе обучения школьников. Так, Н. С. Подходова и К. В. Панова [2] рассматривают метапредметное задание с точки зрения проблемного подхода, отмечая наличие реального контекста, межпредметных связей и возможность создания дискуссионного поля при решении. В работе Л. В. Селькиной и М. А. Худяковой [3] выделена особая группа заданий – математические задания с метапредметным компонентом, процесс решения которых требует от ученика применения универсальных учебных действий. Авторы приводят удачную классификацию таких заданий, выделяя задания с познавательным, регулятивным, коммуникативным компонентами или комплексные задания, требующие применения всех видов УУД; каждый вид задания определяется на трех уровнях в зависимости от контекста (математический, практико-ориентированный, познавательный). В статье О. В. Тумашевой и М. Б. Шашкиной [4] предложена идея универсального конструктора метапредметных заданий, разработанного с учетом специфики цифрового поколения. М. А. Гаврилова [5], уточняя структурно-содержательные характеристики метапредметного задания, отмечает, что такое задание включает серию практико-ориентированных или междисциплинарных задач, выполнение которых основывается на предметных знаниях и метапредметных умениях. В работе М. А. Якунчева, И. Ф. Маркинова, Н. Г. Семеновой и Ю. Д. Акимовой [6] исследуется эффект применения учебных заданий, побуждающих учащихся к поиску необходимой информации предметного содержания и оптимальных способов деятельности для получения нового продукта; установлено, что такие задания не только формируют опыт творческой деятельности, но и позволяют достигать более высоких предметных, метапредметных и личностных образовательных результатов. На открытый характер метапредметного задания указывается в работе Е. В. Поздняковой, А. В. Фоминой [7]: задание содержит неопределенность в условии или требовании; имеется несколько вариантов решения; отсутствует готовый алгоритм решения. Комплексное метапредметное задание рассматривается в контексте проблемы формирования математической грамотности. Например, Е. И. Санина и И. В. Насикан [8] утверждают, что такие задания должны раскрывать содержание математики как науки, ее межпредметные связи и инструментальные возможности для решения реальных проблем. М. В. Егупова и Ю. В. Мошура [9] доказывают, что решение обучающимися практико-ориентированных задач способствует достижению метапредметных образовательных результатов. Резюмируя, отметим, что метапредметное задание формулируется в контексте предметного содержания и предполагает применение универсальных учебных действий (отдельных видов или всего комплекса УУД), может иметь практико-ориентированный, открытый или витагенный характер.

В современных отечественных и зарубежных методических работах исследуется влияние цифровой среды на достижение предметных и метапредметных образовательных результатов в процессе обучения математике. Так, исследования, проведенные Э. З. Галимуллиной [10], подтверждают эффективность развития предметных умений в цифровой образовательной среде, построенной по авторской модели на основе систем управления обучением. В работе О. А. Козлова и Е. В. Бочковой [11] представлен анализ применения цифровых технологий в обучении математике, в частности, авторы сосредоточиваются на использовании предметных цифровых образовательных ресурсов, классифицируя их по целевому назначению в учебном процессе и отмечая их влияние на развитие навыков самоконтроля, мотивации и на эффективность методики обучения. Вопрос о повышении качества обучения математике в школе с использованием цифровых инструментов рассматривается в работе Е. П. Крупнодеровой, Н. Е. Ивановой, Ю. И. Матвеевой [12], при этом подчеркивается необходимость наличия технического обеспечения в соответствии с моделью «один ученик – один компьютер». В статье М. Р. Сысоевой [13] сформулированы методические рекомендации для формирования коммуникативных УУД при обучении математике с использованием цифровых инструментов. В монографии Е. И. Саниной, Л. А. Зенковой, Т. С. Поповой [14] исследуется потенциал цифровой образовательной среды для воспитания мотивационно-ценностного отношения обучающихся основной школы к познавательной деятельности. На примере обучения математике авторы устанавливают эффективность инструментов цифрового образования для развития исследовательской деятельности, обобщения и систематизации знаний. Вопросам проектирования и совершенствования урока математики с помощью инструментов цифровой среды посвящена статья Ю. В. Абраменко и Д. А. Скворцовой [15].  Положительная роль визуализации, и в частности анимационных рисунков в среде GeoGebra, в обучении решению математических задач подчеркивается в работе С. В. Ларина, С. В. Чилбак-оол [16]. М. А. Мозговая [17] также обращает внимание на высокий дидактический потенциал систем динамической математики, предлагая структурно-функциональную модель компьютерного сопровождения уроков геометрии по решению задач с использованием GeoGebra. Влияние динамических сред (GeoGebra, Desmos, Mathway) на улучшение результатов решения задач и развитие пространственного мышления установлено в работе З. И. Исаевой и Д. Х. Манаевой [18]. Исследование среды TeacherDesmos представлено в работе Л. В. Рождественской и О. Ф. Брыксиной [19]. Авторы отмечают возможность проектирования в такой среде заданий открытого типа, позволяющих вовлекать учащихся в дидактические игры, эксперименты, исследование и моделирование.  В зарубежных исследованиях также отмечается влияние среды динамической математики на развитие предметных и метапредметных умений обучающихся; рассматриваются вопросы обучения школьников эффективному применению инструментов такой среды для решения математических задач. Например, Андреас Бэк [20] рассматривает проблему обучения учащихся эффективному использованию цифровых инструментов для математического моделирования в процессе решения алгебраических и геометрических задач, где в качестве цифровых инструментов используется динамическая среда GeoGebra. Серпил Йорганджи и Мурат Субаши [21] доказывают положительное влияние GeoGebra не только на уровень математических знаний, но и на мотивацию к изучению математики.

Интересные результаты изложены в работе К. Ю. Колывановой, Н. В. Гуляевской и А. Н. Дахина [22]: авторы представляют способы мотивации школьников к решению сложных математических задач, реализуемые через диалоговый формат в цифровой среде. Результатом такой учебной деятельности является развитие когнитивных и эмоционально-ценностных способностей обучающихся. Е. В. Соболева и В. А. Суровцева [23] исследуют использование мобильных технологий при решении учащимися практико-ориентированных математических задач и устанавливают положительное влияние таких технологий на развитие познавательной активности и математического мышления школьников.

Р. К. Мифету [24] указывает на эффективность методов активного обучения при решении математических задач. По мнению автора, такие методы, как дискуссия, исследования, эксперименты, создают условия для вовлечения учащихся в процесс решения задачи, способствуя не только эффективному усвоению математических знаний, но и развитию критического мышления и мягких навыков обучающихся.

В работе Эйрини Гераниу, Уффе Томаса Янквиста, Раимундо Элисера, Андреаса Линдэнсков Тамборга, Мортена Мисфельдта [25] рассматривается понятие цифровой математической компетентности учащегося (mathematical digital competence – MDC), которая раскрывается через набор компетенций: способность участвовать в техно-математическом дискурсе (MDC1); знание того, какие цифровые инструменты следует применять в различных математических ситуациях и контекстах, понимание возможностей и ограничений этих инструментов (MDC2); умение рефлексивно использовать цифровые технологии при решении математических задач и изучении математики (MDC3). В статье Озкана Эргене и Бусры Чайлан Эргене [26] изучаются возможности и ограничения различных версий чат-ботов (ChatGPT, MathGPT, Gemini) в решении математических задач. В результате данного исследования было установлено, что самый высокий показатель успешности среди чат-ботов с искусственным интеллектом показал ChatGPT; кроме того, ChatGPT предоставляет подробные пояснения к решению, позволяя учиться без учителя, а также оказывает поддержку в обучении, т. е. может быть полезным цифровым инструментом для индивидуального изучения математики. В работе Са Ян, Ша Чжу, Вэй Цин, Янан Май, Цинь Го, Хуань Ли [27] рассматривается проблемное цифровое обучение (Problem-based digital learning, PBDL) как эффективный метод развития математической грамотности, повышения уровня математических знаний и навыков творческого решения математических задач. Работа Шая Олшера, Ротема Абду и Мохаммеда Шалата [28] посвящена вопросам организации совместного решения математических задач в режиме онлайн; при этом фасилитация диалога учителем осуществлялась через действия четырех категорий: «понимание задачи», «использование цифровых технологий», «математическое содержание», «межличностное взаимодействие».

В ряде исследований отмечается положительное влияние элементов геймификации на процесс решения математических задач. Например, в работе Е. В. Поздняковой [29] установлен положительный эффект тематических веб-квестов по математике, сконструированных на основе разноуровневых метапредметных заданий, для развития метапредметных умений и креативности обучающихся. В статье Мансура Салеха Альабдуллазиза [30] делается вывод о том, что использование цифровых квестов при обучении математике повышает мотивацию, снижает математическую тревожность, развивает самостоятельность и способствует формированию мягких навыков.

Таким образом, на основе анализа отечественных и зарубежных исследований установлено: 1) метапредметное задание является эффективным средством формирования как отдельных структурных элементов метапредметных умений, так и всего их комплекса, позволяя формировать эти умения на разных уровнях; 2) цифровая среда позволяет улучшить процесс формирования метапредметных умений и обогатить содержание таких умений дополнительными действиями; 3) в настоящее время существует большое разнообразие цифровых инструментов, которые могут быть использованы для формирования УУД в процессе обучения математике, что создает определенные сложности для учителя при выборе таких инструментов; 4) определение приемов трансформации математических задач в метапредметные задания с использованием инструментов цифровой среды может быть включено в дидактический инструментарий учителя для формирования УУД школьников в процессе обучения математике. 

Методологическая база исследования / Methodological base of the research

Методологической основой исследования является задачный подход в обучении математике, подразумевающий применение системы задач для реализации содержания образования с целью формирования планируемых образовательных результатов (предметных, метапредметных, личностных). В соответствии с работами Ю. М. Колягина [31] под математической задачей мы понимаем систему, включающую следующие компоненты: начальное состояние (А) – условие задачи: данные элементы и связи между ними; конечное состояние (В) – заключение или цель задачи: неизвестные элементы и связи между ними; решение задачи (R) – способ преобразования условия задачи для нахождения искомого; базис решения задачи (С) – обоснование решения. Математическая задача подразумевает переход от А к В математическими средствами. Говоря о трансформации задачи, будем иметь в виду изменение ее компонентов (одного или нескольких), направленное на применение метапредметных умений в процессе решения задачи. В работе Е. В. Поздняковой, Г. А. Малышенко [32] сформулированы принципы проектирования метапредметных заданий, базирующиеся на проблемном, личностно ориентированном подходах и теории поколений: принцип синергии личностного и игрового контекста, принцип комплексности, принцип креативного развития, принцип визуализации, принцип серийности и тематической направленности, принцип проблемности, принцип интеграции цифровой среды. Опираясь на эти принципы и понятие математической задачи как четырехэлементной структуры, а также результаты сравнительного анализа психолого-педагогической и методической литературы, мы определяем модель трансформации математической задачи в метапредметное задание, включающую указание на трансформируемый элемент задачи, описание сути каждого приема трансформации и планируемых действий в цифровой среде (табл. 1).

Таблица 1

Приемы трансформации математической задачи

Для проверки эффективности авторской методики была организована опытно-экспериментальная работа, включающая применение таких методов эмпирического исследования, как педагогическое моделирование, анкетирование обучающихся, представление данных в графической форме.

Результаты исследования / Research results

Проиллюстрируем особенности выявленных приемов на примере известной задачи, которая была опубликована в приложении к журналу «Квант» в 2003 году [33] и с тех пор неоднократно входила в число «красивых задач» на математических олимпиадах и в исследовательских работах школьников.

Задача. Зигзаг разделил правильный девятиугольник на треугольники, как показано на рисунке (рис. 1). Какая часть больше: закрашенная или незакрашенная?

Данная задача трансформируется в метапредметное задание, состоящее из серии задач, объединенных общим сюжетом и идеей решения.

1. 1.   Прием «Реальный контекст»

Создание клумбы на даче – увлекательный процесс, способный удивительно преобразить окружающий ландшафт и подарить радость от общения с природой. У Марии есть небольшой дачный участок, где она увлеченно занимается цветоводством. Мария так любит геометрию, что даже свои клумбы делает в форме различных красивых геометрических фигур. Этой весной Мария делает клумбу в форме правильного девятиугольника и планирует разделить ее зигзагом на треугольники, как показано на рисунке (см. рис. 2). В клумбе будут петунии двух оттенков: фиолетового и голубого. Выскажи гипотезу: петуний какого цвета окажется больше, если всхожесть семян обоих сортов одинакова?

Методический комментарий. Абстрактная математическая задача трансформируется в знакомую учащимся жизненную ситуацию. Это помогает мотивировать обучающихся, показывая применение математики в реальной жизни. Ученикам необходимо критически проанализировать условие, отделив важные данные от информационного «шума». Задача может быть предложена в рамках изучения темы «Правильные многоугольники».

1. 2.   Прием «Исследование в программе динамической математики»

Проверь свои предположения с помощью программы GeoGebra, вычислив площади треугольников.

Методический комментарий. Ученикам предлагается ссылка на онлайн-сервис с готовым чертежом правильного девятиугольника, разделенного на треугольники. Используя инструменты программы, а также онлайн калькулятор, учащиеся убеждаются, что сумма площадей фиолетовых треугольников больше суммы площадей голубых треугольников (рис. 3).

1. 3.       Прием «Элементы геймификации»

Докажи гипотезу. Если тебе нужна идея доказательства, то выполни небольшой математический квест.

Методический комментарий. Учащимся предлагается ссылка на математический квест, спроектированный учителем в онлайн-сервисе «Квестодел». В случае успешного прохождения квеста ученики получают эвристическое указание: «Начерти диагонали» (см. рис. 4).

Дополнительные построения выполняются в программе GeoGebra; доказательство гипотезы основывается на признаках равенства треугольников и равенстве их площадей (см. рис. 5).

1. 4.   Прием «Открытый финал»

Какая информация необходима Марии, чтобы определить количество семян для оформления клумбы? Приведи пример расчета количества семян по имеющейся информации.

Методический комментарий. Учащиеся осуществляют поиск информации в сети Интернет; на основе ее анализа и систематизации приходят к выводу, что для определения количества семян необходимо знать:

1)   площадь клумбы (или ее отдельных частей);

2)   сорт петуний, что позволит учесть размер куста;

3)   всхожесть семян;

4)   формулу для вычисления количества семян:

количество семян = (количество кустов ´ 100) / % всхожести.

Примерные расчеты оформляются в виде таблицы (табл. 2).

1. 5.   Прием «Соревнование с нейросетью»

Однажды Мария «попросила» нейросеть найти периметр ее клумбы в форме прямоугольного треугольника. Однако «что-то пошло не так!». Внимательно проанализируй условие и решение задачи и исправь ошибки (рис. 6).

Методический комментарий. В условии задачи речь идет о несуществующей фигуре: если равнобедренный прямоугольный треугольник имеет катет, равный 1, то его гипотенуза должна быть равна , а не 3, как в условии задачи. Но нейросеть этого не замечает и, отбрасывая условие о равнобедренности треугольника, находит его второй катет, называя его при этом «третьим катетом». Учащиеся должны обнаружить противоречие в условии, ввести корректные данные и предложить исправленное решение.

1. Прием «Инфографика»

Создай свой эскиз оригинальной клумбы, используя комбинацию геометрических фигур.

Методический комментарий. Обучающиеся создают чертежи, используя инструменты программы GeoGebra. Как отмечает В. В. Пустовалова [34], инфографика – это не только графический способ подачи информации, усиливающий ее доступность, но и одна из форм коммуникации. Требование задачи по созданию инфографики может включать художественную визуализацию сюжета задачи, представление данных в виде диаграммы или схемы, создание узора, чертежа, ментальной карты и т. д.

Такие метапредметные задания предлагаются учащимся в форме кейса для групповой работы на уроке после изучения соответствующей дидактической темы.

Апробация методики осуществлялась в двух девятых классах (52 человека) в процессе опытно-экспериментальной работы. Оценивание эффективности авторского подхода проводилось по трем направлениям: эмоциональная составляющая и мотивация деятельности обучающихся во время выполнения метапредметных заданий; развитие метапредметных умений школьников; развитие и совершенствование УУД в цифровой среде. Для диагностики ученикам предлагалась анкета, составленная из трех блоков. Вопросы анкеты и результаты анкетирования представлены в таблице (см. табл. 3).

Таблица 3

Анкета для обучающихся

В эмоционально-мотивационный блок мы включили высказывания, отражающие как положительные, так и отрицательные эмоции при выполнении заданий. Анализ ответов на вопросы данного блока позволил установить следующие результаты. Все учащиеся высказали мнение, что применение онлайн-сервисов облегчает решение таких задач (100%), при этом не нашлось учеников, для которых онлайн-сервисы усложняли процесс решения. Высокий процент оказался у числа учеников, которым понравилась сюжетная линия задач (94%), возможность решать их в группе (92%), высказывать свое мнение, опираясь на собственный опыт (92%). Почти все учащиеся отметили, что такие задачи могут встретиться в реальной жизни (98%). Более половины школьников удивились (85%) и огорчились (62%) тому, что нейросеть делает ошибки при решении математических задач. К сожалению, для некоторых учеников задачи оказались сложными (6%) и усложняли и «без того трудные уроки математики» (4%). Результаты анкетирования по эмоционально-мотивационному блоку представлены на диаграмме (см. рис. 7).

В блоке «Метапредметные умения» 100% учащихся отметили развитие умений «логически рассуждать, доказывать и формулировать выводы», «выдвигать и обосновывать гипотезы, проводить математические эксперименты», «работать с информацией». Самый низкий процент оказался у умения «составлять план решения задачи» (58%). Результаты анкетирования по второму блоку представлены на диаграмме (рис. 8).

В блоке «Универсальные действия в цифровой среде» 92% учеников отметили «участие в онлайн-дискуссиях». Развитие всех остальных действий зафиксировали 100% учащихся (рис. 9).

Опираясь на результаты анкетирования, мы делаем вывод о повышении мотивации и преобладании позитивной эмоциональной составляющей при решении учащимися метапредметных заданий, составленных на основе выделенных приемов и решаемых с использованием ресурсов цифровой среды. Девятиклассники полагают, что при выполнении таких заданий развиваются метапредметные умения и «цифровые» универсальные действия. 

Заключение / Conclusion

В условиях цифровизации образования метапредметные умения дополняются навыками работы с цифровыми инструментами, а математика, благодаря своей логике и универсальности, является эффективным средством для их развития. Анализ отечественных и зарубежных педагогических исследований по проблемам формирования метапредметных умений с использованием потенциала цифровой среды показал, что метапредметные задания позволяют формировать как отдельные структурные элементы УУД, так и всю их совокупность, а цифровая среда улучшает этот процесс и обогащает содержание метапредметных умений дополнительными действиями. Констатируя недостаточное количество таких заданий в практике обучения математике, мы формулируем приемы трансформации математических задач, позволяющих преобразовывать классические учебные математические задачи в метапредметное задание: «реальный контекст», «элементы геймификации», «открытый финал», «соревнование с нейросетью», «исследование в программе динамической математики», «инфографика». Данные приемы определены с опорой на принципы проектирования метапредметных заданий, базирующиеся на проблемном, личностно ориентированном подходах и теории поколений, а также на понятии математической задачи как системы, представленной четырехэлементной структурой. Авторский подход иллюстрируется на примере известной задачи о площади частей правильного девятиугольника, которая на основе выявленных приемов преобразуется в метапредметное задание, состоящее из серии задач, объединенных общим сюжетом и идеей решения.

Для проверки эффективности методики проводилось анкетирование, позволившее проанализировать эмоционально-мотивационный аспект деятельности учащихся, а также их самооценку по развитию метапредметных умений и универсальных действий в цифровой среде при выполнении метапредметных заданий. Опираясь на полученные результаты, мы делаем вывод о повышении мотивации и преобладании позитивных эмоций учеников. Учащиеся высказали мнение о развитии у них метапредметных умений и «цифровых» действий при выполнении таких заданий.

Дальнейшие исследования проблемы лежат в области расширения приемов трансформации математических задач и диагностики уровней развития метапредметных умений, дополненных действиями в цифровой среде.