Specific features of using the LibreOffice Calc tabular processor in algebra classes

Введение / Introduction

Указом Президента Российской Федерации от 7 мая 2024 г. № 309 «О национальных целях развития Российской Федерации на период до 2030 года и на перспективу до 2036 года» [1] определены национальные цели развития нашей страны: технологическое лидерство, профессиональное и личностное развитие молодежи, достижение «цифровой зрелости» в сфере образования, формирование современной системы профессионального развития педагогических работников. Достижение поставленных целей требует новых подходов к преподаванию математики и информатики, подготовки учителей к новым условиям.

В Федеральной рабочей программе (далее ФРП) для 5–9-х классов сформулированы метапредметные результаты освоения математики на уровне основного общего образования, среди которых выделены знания, умения и навыки работы с информацией: «выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для решения задачи; выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм представления; выбирать форму представления информации и иллюстрировать решаемые задачи схемами, диаграммами, иной графикой и их комбинациями» [2]. Выпускник 9-го класса должен понимать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), уметь определять значение функции по значению аргумента, строить графики элементарных функций, описывать свойства функции по ее графику.

Согласно ФРП для 10–11-х классов [3] выпускник 11-го класса общеобразовательной школы (или колледжа среднего профессионального образования) должен владеть навыками построения графиков и исследования показательной, логарифмической и тригонометрической функций, использовать их для решения систем уравнений и неравенств, применять их при решении прикладных задач из других учебных дисциплин.

При этом ФРП по информатике на уровне основного общего образования [4] ограничивает изучение электронных таблиц вычислениями в электронных таблицах, сортировкой, поиском и построением диаграмм (гистограмма, круговая диаграмма, точечная диаграмма). Учащиеся 11-го класса общеобразовательной школы, согласно ФРП среднего общего образования по информатике [5], используют табличные процессоры уже для интеллектуального анализа данных, вычисления суммы, среднего арифметического, наибольшего и наименьшего значений диапазона, определения коэффициента корреляции двух статистических рядов и подбора линии тренда (прогнозирования).

Таким образом, широкие возможности современных электронных таблиц не используются как доступное и наглядное образовательное средство для исследования функций, решения уравнений и других математических задач. По мнению А. А. Сотник [6] средства наглядности должны применяться на каждом этапе процесса обучения: при объяснении нового материала, формировании умений и навыков, закреплении знаний, выполнении домашней работы, в качестве проверки усвоения учебного материала.

В связи с масштабным переходом образовательных учреждений на российские операционные системы «Альт Образование» и «МОС12» табличный процессор Microsoft Excel заменен на аналогичные: «Р7-Офис Профессиональный», «МойОфис Стандартный», LibreOffice, что закреплено законодательством на федеральном и региональном уровнях, например, приказом Министерства образования Владимирской области от 20 ноября 2025 г. № 1446 [7].

В представленной статье предлагается интегрировать занятия по математике, посвященные вычислениям и графическим интерпретациям функций, и компьютерный практикум с применением электронных таблиц LibreOffice Calc.

Обзор литературы / Literature review

И. В. Попова [8] из Военно-воздушной академии имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина наглядно показала, как развитие автоматизации и цифровизации сделало возможным применение информационных технологий во всех сферах общества, что привело к цифровой трансформации процессов и изменению методов управления, в том числе и в педагогике.

Более четверти века электронные таблицы широко применяются в учебном процессе на всех уровнях образования – от основного общего до аспирантуры. В начале XXI в. в средней школе табличный процессор Microsoft Excel использовался в основном для автоматизации текущего контроля усвоения школьниками учебного материала. Например, в Московском государственном областном гуманитарном институте Н. Б. Ерастова [9] использовала средства процессора для тестирования учащихся: выполнения контрольных заданий (решение вычислительных задач, разгадывание кроссвордов, выбор правильного ответа из списка, вставка пропущенных букв и знаков препинания и т. п.) и автоматизированной проверки результатов их выполнения. От преподавателя требовались следующие знания и умения: 1) подбор вопросов, формирование эталонов ответов, определение методов сравнения ответов с эталонами; 2) разработка бланка (формы) теста; 3) определение методов вычисления оценки и разработка программы формирования итогов теста.

И. В. Есаулова сделала вывод о том, что «использование приложения MS EXCEL как инструмента для решения прикладных математических задач повышает познавательную активность студентов, формирует положительную мотивацию к изучению математических дисциплин, способствует развитию у студентов алгоритмического мышления, освобождает студентов от проведения громоздких, рутинных вычислений, позволяет сосредоточиться на изучаемом материале» [10].

В исследовании И. А. Вятченниковой, А. С. Кайгородовой, В. Ю. Бодрякова и И. Н. Семеновой [11] приведена иллюстрация обоснованного включения табличного процессора в процесс организации деятельности обучающихся по решению задач, развивающих комбинаторно-логическое мышление. Результаты изучения предметной области «Математика и информатика» должны отражать: развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; развитие умений применять изученные понятия и методы для решения задач с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера; формирование умений формализации и структурирования информации; умения выбирать способ представления данных в соответствии с поставленной задачей (таблица, схема, график, диаграмма) с использованием соответствующих программных средств обработки данных.

Наибольшую популярность электронные таблицы приобрели в учреждениях высшего и среднего профессионального образования при подготовке студентов экономических специальностей. Например, в Сибирском институте финансов и банковского дела с целью обеспечения дисциплины «Информатика» составлены методические указания по теме «Построение графиков функций и решение систем уравнений в приложении MS Excel 2000» [12], которые могут быть использованы преподавателями при планировании аудиторных занятий, домашней работы, проведении текущего и итогового контроля.

В статье Т. Табарова [13] продемонстрированы методы обучения построению диаграмм в средних общеобразовательных заведениях. Автор описывает преимущества совместного изучения при этом таких предметов, как математика, геометрия, география, информатика, логика, управление и менеджмент.

Опыт компьютерного моделирования на уроках физики с использованием электронных таблиц изложен Р. Н. Асылбаевым, Т. А. Боднарчуком и А. Н. Дахиным [14] на примере решения задачи о движении тела, брошенного под углом к горизонту. Ими представлено руководство по использованию электронных таблиц для формирования математической модели физического процесса и моделирования движения тела с течением времени. Авторы подчеркивают преимущества использования компьютерного моделирования в физике, такие как наглядность, интерактивность обучения, «возможность проведения более точных расчетов и симуляций, а также подготовка учащихся к будущей карьере в области науки и техники». Обучающемуся становится легче понять физические процессы, которые описаны в виде систем уравнений.

А. Н. Крюков [15] из Рязанского государственного радиотехнического университета им. В. Ф. Уткина составил для студентов специальностей «Радиотехника» и «Радиоэлектронные системы и комплексы» методические указания по построению графиков в табличном процессоре LibreOffice Calc. Обучающиеся фиксируют результаты экспериментов в электронных таблицах, обрабатывают их с помощью встроенных математических функций и строят диаграммы и графики, которые облегчают выводы и поиск погрешностей эксперимента.

И. А. Хахаев и В. Ф. Кучинский [16] опубликовали учебное пособие для студентов Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики, обучающихся по специальностям направления подготовки «Таможенное дело». В работе продемонстрированы возможности интеграции графических обьектов в текстовые документы процессора LibreOffice.

О. В. Козлова и Д. О. Аршинский [17] из Комсомольского-на-Амуре государственного университета дополнили обычное построение графика функции в табличном процессоре возможностью математического моделирования поведения касательной и нормали к этому графику, что «позволяет наглядно исследовать поведение и свойства функции, ее физический и геометрический смысл». Авторы отметили, что прикладные математические задачи часто требуют вычисления производной первого порядка и ее геометрическую интерпретацию. При этом важно не только построить статическую модель, но и рассчитать динамику ее поведения.

В статье Ж. Мамырова, А. Б. Байзакова и М. С. Курбанкуловой [18] описано, как средствами электронных таблиц студенты учатся решать системы линейных алгебраических уравнений: выполняют операции с матрицами, находят определитель, вычисляют обратную матрицу. Приобретают навыки пользования встроенными функциями, например, МОПРЕД, МОБР, МУМНОЖ и др.

К. М. Мырзакулова [19] описала технологию построения графика окружности с помощью программирования уравнения x²+y²=r². В ячейках электронной таблицы записываются значения х из области определения и вычисляются значения функции y=± √(r²-x²).

С. М. Бердиева и Ш. М. Имомова [20] продемонстрировали возможности Excel по вычислению и построению графика арифметической прогрессии. В качестве примера рассмотрена функция y = x sin² (π x).

Т. А. Титова [21] разработала электронный лабораторный практикум для студентов бакалавриата кафедры «Прикладная математика» Арзамасского политехнического института (филиала) ФГБОУ ВО «НГТУ им. Р. Е. Алексеева». На базе табличного процессора создано современное электронное средство обучения (ЭСО), для чего были реализованы следующие этапы: 1) разработан теоретический блок, в котором подробно рассматриваются решения прикладных математических задач и использующиеся функции программного обеспечения; 2) составлены лабораторные работы по каждой из тем; 3) подготовлен итоговый тест с авторизацией и случайной выборкой вопросов из базы данных. Апробация ЭСО выявила такие преимущества перед «бумажными» вычислениями: снижение затрат на приобретение материалов; размещение гораздо большего объема информации; удобный поиск и использование; легкий способ получения знаний; унификация учебных пособий вуза.

Изучен зарубежный опыт. Ученые П. Н. Х. Нгу, Н. Д. Нам, Л. М. Куонг и Т. Т. П. Тао [22] методом библиометрического анализа исследовали научные публикации из базы данных Scopus за период с 1980 по 2023 гг. и сделали вывод о том, что за последние пять лет резко выросло количество опубликованных работ, посвященных преподаванию математики в высших учебных заведениях с помощью программных средств компьютерного моделирования. Лидерами в разработке инновационных методов преподавания математического моделирования с применением информационных технологий стали США и КНР. Нет сомнений, что аналогичные теоретические и научно-практические исследования актуальны и для России.

В Университете Клемсона (США) Д. Уэзерс и С. Д. Суэйн [23] использовали табличный процессор Microsoft Excel в процессе исследования прикладных задач по математике в маркетинге: ценообразование, разработка продукта, реклама и социальные сети. Упражнения были построены по принципу «строительных лесов», освоенный навык работы с электронной таблицей на одном занятии становился шагом к изучению нового метода работы на следующем занятии. Таким образом, повышая свой профессионализм работы за компьютером, студент приобретал способность к решению более сложных вычислительных задач.

Такие новые подходы в обучении математике требуют соответствующей подготовки педагогов. Эта проблема рассмотрена в статье Ф. Диллинга, И. Витцке, К. Хернбергера [24] из Зигенского университета (Германия). В ней предлагается трехуровневая методика повышения квалификации преподавателя с привлечением наставника («помощника по цифровизации»). На первом уровне до начала нового курса наставник предоставляет информацию об использовании новых технологий в конкретной предметной области, разрабатывает элементы цифровых уроков, обучает средствам технической поддержки преподавателей и студентов во время занятий. На втором уровне педагог уже самостоятельно готовит и проводит урок, используя цифровые технологии, пользуясь дистанционной поддержкой со стороны наставника. На третьем уровне поддержка со стороны помощника постепенно сокращается.

В. Л. Криттенден [25] при обучении работе в Excel обратила внимание, что «не совсем понятно, как преподавателям следует улучшать не только навыки студентов в выполнении таких задач, но и их собственные навыки преподавания». Она предложила студентам заполнить анкеты: 1) для оценки их удовлетворенности различными аспектами курса; 2) для определения их субъективной оценки степени усвоения материала; 3) для оценки уровня комфорта при организации учебного процесса.

Х. Чавус и С. Дениз [26] из университета в городе Ван (Турция) исследовали влияние на результативность преподавания алгебры и геометрии таких средств, как интерактивная доска, калькулятор, компьютер, программное обеспечение и веб-поддержка. Самый высокий вклад в повышение академической успеваемости вносит программное обеспечение: 56% для алгебры и 80% для геометрии. Общий вывод ученых следующий: «методы, которые в большей степени повышают успеваемость учащихся, – это компьютерные приложения и программное обеспечение».

Обобщая изложенное, можно сделать вывод о том, что современный урок алгебры должен объединить классическую теоретическую базу этого предмета и широкие возможности информационных технологий, основанных на применении табличных процессоров.

Материалы и методы / Materials and methods

Цель исследования ‒ предложить подход к составлению компьютерного практикума, который должен стать неотъемлемой частью современного урока алгебры. Он необходим для повышения качества и скорости освоения разделов дисциплины, посвященных исследованию функций, решению уравнений и неравенств. Для ее достижения автором применены методы сбора, анализа и обобщения литературы: документация отечественных операционных систем; учебные пособия по применению российских и свободно-распространяемых электронных таблиц; федеральные государственные образовательные стандарты; рабочие программы основного общего, среднего общего и среднего профессионального образования; учебники по математике и информатике; пособия по преподаванию, проведению теоретических и практических занятий.

Выполнена фильтрация тем программ по математике, содержащих вычисления и графические интерпретации функций. Затем произведена их группировка по годам обучения. В табл. представлена полученная выборка элементов программы по математике на уровне основного общего образования. Аналогично были составлены таблицы для более высоких уровней.

Элементы программы по математике на уровне
основного общего образования, содержащие вычисления
и графические интерпретации функций

Педагогический эксперимент проводился в естественных условиях без нарушения учебно-воспитательного процесса. В первой группе учащихся освоение выбранных тем выполнялось без дополнительных занятий на компьютере, во второй группе – с закреплением материала с помощью электронных таблиц.

Используя рекомендации О. В. Блейхер, В. И. Снегуровой, А. С. Рвановой, преподавание проводилось по календарно-тематическим планам учебного заведения по «линейной модели сценарной организации, соответствующей классическим дидактическим подходам, предполагающим поступательное движение от простого к сложному. Такой подход обеспечивал упорядоченное изложение материала, но существенно ограничивал возможности адаптации под индивидуальные потребности обучающихся» [27]. Дополнительные часы для работы на компьютере были взяты из фонда дисциплины «Практикум по математике».

По итогам обучения выполнено тестирование знаний, результаты которого должны были подтвердить или опровергнуть вывод об эффективности использования предлагаемого автором метода.

В «Результатах исследования» показаны подходы к решению следующих задач: из учебника «Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень» № 270, 271 [28]; из учебника «Математика. Алгебра: 8-й класс: базовый уровень» № 705а [29], «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: базовый и углубленный уровни» № 11.8а [30].

Результаты исследования / Research results

Результатом исследования является разработанный автором новый подход к изучению математических функций, решению уравнений, неравенств и их систем, основанный на интеграции традиционных занятий по математике и компьютерного практикума, составленного с применением свободно-распространяемого программного обеспечения LibreOffice Calc. Учащиеся сначала знакомятся с темами, решают задачи из учебника, а затем закрепляют полученные знания на компьютере.

Приведем примеры практических занятий. Ученики 7-го класса на уроках алгебры познакомились с темами «Вычисление значений функции по формуле» и «График функции», после чего им предлагается выполнить упражнение № 270 (см. рис. 1) с помощью электронной таблицы.

Рис. 1. Задание по алгебре по теме «Вычисление значений функции по формуле»

Автор предлагает следующий алгоритм выполнения задания:

1)       в строке 1 вводятся значения аргумента в указанном диапазоне с помощью автоматического заполнения ячеек (чем меньше рутинных операций, тем выше мотивация учеников);

2)       в ячейку В2 вводится формула «=В1*В1-9» для вычисления значения функции и выполняется автоматическое тиражирование этой формулы в остальные ячейки указанного диапазона (от С2 до М2);

3)       выравниваются ширины столбцов, добавляется обрамление ячеек;

4)       выделяются цветом ячейки, соответствующие точкам пересечения графика с осью Х: (­–3;0), (3;0);

5)       с помощью сервиса «Вставить диаграмму» создается график. Параметры графического объекта: тип диаграммы «ХУ разброс. Только линии»; диапазон данных «Ряды данных в строках»; элементы диаграммы «Отображать сетки. Ось Х», «Показывать легенду справа».

Результат выполнения упражнения № 270 изображен на рис. 2.

Рис. 2. Выполнение задания № 270

При выполнении упражнения № 271 (см. рис. 1) учащиеся знакомятся с вводом диапазона десятичных дробей с шагом 0,5. Результаты вычисления также представляют собой десятичные дроби (см. рис. 3).

Рис. 3. Выполнение задания № 271

Ученики 8-го класса после знакомства с темами «Алгебраический способ решения системы уравнений» и «Графический способ решения системы уравнений» выполняют упражнение № 705а (см. рис. 4) с помощью электронной таблицы.

Рис. 4 Задание «Решите систему уравнений»

Автор предлагает следующий алгоритм выполнения задания:

1)       в строке 1 вводятся значения аргумента в диапазоне от –10 до 11 включительно;

2)       оба уравнения приводятся к виду y = f(x): y = 8–x и y = –20/x;

3)       в строке 2 вводятся формулы для вычисления первой функции;

4)       в строке 3 вводятся формулы для вычисления второй функции;

5)       выравниваются ширины столбцов, добавляется обрамление ячеек;

6)       выделяются красным цветом ячейки, соответствующие точке, исключенной из области определения второй функции (деление на нуль);

7)       выделяются зеленым цветом ячейки, соответствующие точкам решения системы уравнений (–2;10) и (10;–2);

8)       с помощью сервиса «Вставить диаграмму» создаются графики в двух допустимых диапазонах.

Результат выполнения упражнения № 705а изображен на рис. 5.

Рис. 5. Выполнение задания №705а

Математическое обеспечение LibreOffice Calc содержит программную реализацию функций, изучаемых в рамках основного общего, среднего общего и среднего профессионального образования, например:

КОРЕНЬ – вычисление квадратного корня;

СТЕПЕНЬ – возведение числа в степень;

COS – вычисление косинуса числа;

SIN – вычисление синуса числа;

TAN – вычисление тангенса числа;

EXP – экспоненциальная функция;

LOG – логарифмическая функция.

С помощью тригонометрической функции SIN ученики 10-го класса после знакомства с темой «Простейшие тригонометрические уравнения» выполняют упражнение № 11.8а (см. рис. 6), применяя электронную таблицу.

Рис. 6. Задание по алгебре по теме «Простейшие тригонометрические уравнения»

Автор предлагает следующий алгоритм выполнения задания:

1)       в строке 1 вводятся значения аргумента в радианах в диапазоне от 0 до 2π включительно;

2)       в строке 2 вводятся формулы пересчета радиан в числовые значения с помощью функции «ПИ»;

3)       в строке 3 вводятся формулы для вычисления функции y=sin(x);

4)       в строке 4 вводятся формулы для вычисления заданной функции

y=sin(x)(sin(x)+1);

5)       выравниваются ширины столбцов, добавляется обрамление ячеек;

6)       выделяются зеленым цветом ячейки, соответствующие точкам решения уравнения;

7)       с помощью сервиса «Вставить диаграмму» создаются графики.

Однако, по таблице вычислений можно найти только один корень уравнения (см. рис. 7). Это связано с погрешностью вычисления чисел с плавающей запятой в функции «SIN» в LibreOffice Calc.

Рис. 7. Таблица вычисления тригонометрических функций без округления

Применим в пунктах 3 и 4 функцию округления «ОКРУГЛ» до четвертого знака после запятой. В результате выполнения упражнения № 11.8а (см. рис. 8) на участке от 0 до 2π найдены четыре корня: 0; π; 3/2 π; 2π.

Рис. 8. Выполнение задания №11.8а

Педагогический эксперимент проводился в 2024 и 2025 гг. в ГБПОУ г. Москвы «Академия джаза» с учениками 7–9-го классов в процессе изучения дисциплины «Алгебра» и студентами первых курсов при изучении «Математики и информатики». В группе № 1 (63 человека) исследования функций и решения уравнений выполнялись без закрепления материала на компьютере, в группе № 2 (68 человек) данный материал преподавался с применением практикума на LibreOffice Calc (см. рис. 9). Группы были сформированы таким образом, чтобы среднее арифметическое четвертных оценок учеников по математике (средний балл) не отличался более, чем на 0,2. Таким образом, до начала эксперимента обе группы имели одинаковую математическую подготовку.

Рис. 9. Пилотная апробация методики в ГБПОУ г. Москвы «Академия джаза»

Рис. 10. Сравнение оценок учеников и студентов до и после внедрения методики

По завершении каждой темы обучающиеся решали тестовые задания, которые оценивались по пятибалльной шкале. Среднее арифметическое результатов всех тестов стало итоговой оценкой учащегося. Сравнение числовых характеристик качества освоения образовательной программы показало увеличение доли оценок «отлично» более чем в два раза (см. рис. 10). Таким образом, по мнению автора, разработанная методика доказала свою эффективность.

Заключение / Conclusion

Современные подходы к реализации федеральных государственных образовательных стандартов не достигли еще высокого уровня цифровизации. Применение табличного процессора в качестве электронного образовательного средства повысит качество обучения математике и естественно-научным предметам.

Интеграция электронных таблиц в процесс преподавания алгебры, по убеждению автора, должна носить не разовый, а системный характер. На всех ступенях обучения можно сгруппировать фундаментальные и прикладные задачи, которые требуют вычислений и графических интерпретаций функций. Внедрение предложенного компьютерного практикума позволит в более доступной и наглядной форме разбирать их решения. Таким образом, рабочие программы по математике обеспечат более высокие показатели успеваемости при адаптации их к совместному использованию с информационными образовательными технологиями.

Осуществление представленной разработки соответствует национальным целям развития образования. Она может быть использована при формировании новой системы профессионального развития педагогических работников.

Эксперимент показал, что кроме определенных в образовательных стандартах показателей качества изучения математики были достигнуты следующие: повышение интереса обучающихся к предметам «Алгебра», «Информатика», закрепление знаний по математике, развитие творческого потенциала и способности личности к научно-исследовательской деятельности.