Об открытии метода обобщения при исследовании функций на монотонность и выпуклость графика

Получил письмо от своего друга из Гамбурга д.э.н. Нейбауэра В.П. Вот его содержание
Привет!

За сообщение и приглашение спасибо.

Поздравляю с успешными попытками продвижения, на мой взгляд, совершенно бесполезными идеями в систему преподавания математики в современной школе.

Полностью согласен с замечаниями Н.Х. Розова:

………..Сегодня наука и методика продвинулись вперед, и едва ли есть смысл обращаться к громоздким формальным приемам вместо того, чтобы использовать универсальные алгоритмы математики. Тем более, что эти алгоритмы универсальны, а реализация приема для анализа многочлена 5-ой степени весьма сомнительна. ……..

Думаю, на конференции заметят и подвергнут критике несоответствие идеи «…без использования производной…» с фактическим нахождением производной по её определению без использования правил и формул дифференцирования.

Жаль, что в докладе не даны ответы на замечания, сделанные мной в письме к тебе от 06.10.2012 .

Сам доклад, прости, воспринимается мной как образец демагогии и мышиной возни на пустом месте.

Я не в обиде. Но к твоему сведению.

Не к. ф.-м. наук, а доктор экономических наук (Dr.rer.oec.) по специальности "математические методы в экономических исследованиях“.

Всего тебе самого доброго. Успехов во всём и крепкого здоровья.
Мой ответ:
Здравствуй дорогой мой друг! И это правда. Если твое письмо продиктовано идеей "ты мой друг, но истина дороже", то я тебя по-прежнему люблю и уважаю. Но твой тон почему-то мне подсказывает, что это не так. Действительно, на то и конференция, чтобы заметили и подсказали. Критики я не боюсь. А то, что ты говоришь о "попытках продвижения бесполезных идей в школу", то я понимаю, что это нереально. Для меня важно, что есть метод и он работает. Жаль, что ты с этим не можешь согласиться. Извини за не д.э.н. Я просто не знал. Давай дружить. С уважением
Отвечаю на замечания сделанные в письме от 06.10.2012 г.
Гамбург
Поверхностно ознакомился с твоими работами. Отметил аккуратность, подробность и доходчивость изложения обсуждаемого материала. Хорош и язык изложения, что не часто свойственно сухим математикам. Очевидно, объясняется это тем, что ты не просто хороший преподаватель математики, но и опытный методист.
С твоего разрешения отмечу несколько замечаний. Думаю, они не испортят тебе настроения, и ты не обидишься на своего друга. Они могут пойти тебе на пользу, т.к. такие замечания могут в той или иной форме поступить и от других оппонентов, чаще всего недоброжелательных, но ты будешь к ним уже подготовлен. Вот некоторые из них:

1. То, что по знаку A(x`,x“) из равенства f(x“) - f(x`) = (x“- x`)A(x`,x“) можно определить возрастает или убывает f(x) верно не только при x“>x`, но и приx“ x, x“-x`-> 0 и Δx-> 0. Следовательно, при предельном переходе находится lim A(x´,x“).
x`-> x
x“-> x
Т.к. f(x) алгебраическая функция, то A(x`,x“) тоже алгебраическая функция и непрерывна во всех точках её области определения. Предел же непрерывной в точке функции равен значению функции в этой точке. Поэтому lim A(x´,x“) =A(x).
x`-> x
x“-> x
С другой стороны lim A(x`,x“)=lim Δy/Δx = y`= f`(x), где f`(x) производнаяf(x),найденная по её определению.
x`-> x Δ x-> 0
x“-> x

Таким образом, A(x) = f`(x), т.е. A(x) не что иное, как производная от f(x). И это относится ко всем непрерывным функциям (не только алгебраическим)!

Предыдущее является ответом на поставленный тобой в «от автора» вопрос – « Возможно, здесь имеются «подводные камни», о которых я не знаю. Нужны, очевидно, дополнительные исследования, касающиеся замены x` и x“ на x.»

Процедура разложения f(x“) - f(x´) на множители A(x`,x“), (x“-x`) и последующий предельный переход A(x`,x“) в точке x (предельное замещение), и есть процедура нахождения производной функции исходя из её определения. Эта процедура, часто довольно затруднительная, всегда проделывается при выводе формул дифференцирования основных элементарных функций (ниже привожу пример нахождения производной для Sin( x)*, использование которых позволяет не проделывать её каждый раз заново.
То, что в работе предлагается не давать определение производной функции не означает, что производная по предлагаемому подходу в исследованию функций не используется.


Фокус заключается лишь в том , что ты не раскрываешь смысл предельного замещения. Если же раскрыть смысл предельного замещения, как я показал выше, то сразу становится ясно, что А(х) для f(х) и f`(х) одно и то же!
Однако, для этого потребуется ввести понятие предела функции, т.е. опять же начать с элементов математического анализа, чего ты пытаешься избежать при своём, будто бы, новом подходе.
.
Суть работы - использовать при исследовании алгебраических функций производной, не давая ей определения и не используя правил и формул дифференцирования, а находя её всегда лишь исходя из определения. Но правила и формулы дифференцирования как раз и направлены на облегчение этой работы. При этом в работе не раскрыт смысл предельного замещения. Всё сводится к принципу – делай так!

Из сказанного следует, что работу было бы правильнее озаглавить «Исследование алгебраических функций без использования правил и формул дифференцирования»

3. Какая необходимость заниматься исследованием функций, пусть только алгебраических, до изучения элементов математического анализа? Если это вытекает из программы, то такая программа просто составлена неверно, т.к. в ней нарушена последовательность прохождения курса математики (телега запрягается впереди лошади).

4. В работе имеются неточности. Один из примеров - определение разрыва функции в т. x* .

Функция, заданная формулой f(x)=ln(/x/-1) во всех точках области определения (-8;-1)U(1;8) непрерывна. Точек разрыва у неё нет. Во всех точках замкнутого промежутка -1;1 она не определена. Однако эти точки не являются точками разрыва т.к. не являются точками сгущения области определения. По данному же в работе определению они являются таковыми.

Точки разрыва алгебраических функций всегда являются и точками сгущения её области определения. Поэтому данное в работе определение верно для алгебраических функций. И это условие следовало включить в определение.

* Привожу пример для функции f(x) = sin(x)

sin(x`) - sin(x``)=(x`- x``)A(x`,x``) -> A(x`,x``)=(sin(x`) - sin(x``))/(x`- x``) ->

sin`x =A(x)=lim A(x`,x``)=lim ((sin(x`) - sin(x`))/(x`- x``))=lim ((2sin((x`- x``)/2)cos((x`+ x``)/2) )/(x`- x``))=
x` -> x x` - > x x` -> x
x``-> x x``-> x x``-> x
2lim cos((x`+ x``)/2)1/2lim (sin((x`- x``)/2)/(x`- x``)/2)=lim cos((x`+ x``)/2)=cos(x)
x` -> x x` - > x x` -> x
x``-> x x``-> x x``-> x

Из примера совершенно очевидно, что нахождение А(х) для некоторой функции ничем не отличается от нахождения производной этой функции исходя из её определения!
Замечания от
твоего однокурсника и преданного друга
Dr. Viktor Neubauer из Германии
бывшего (1987 – 1992), по приказу министра образования и науки (1985 - 1988) Г.А. Ягодина, члена, руководимой проф. Л.Д. Кудрявцевым, рабочей группы научно-методического Совета по математике под председательством академика А.Н. Тихонова

Мой ответ

Сразу хочу выразить благодарность за высокую оценку моих работ и признания меня как методиста. Это приятно.
Теперь по существу замечаний. Настроения они мне не испортили, даже наоборот – я утвердился в правоте своих взглядов. Замечания написаны со знанием дела, преподавателем, глубоко владеющим элементами матанализа. Но ведь это и я знаю: недаром мы учились в одном вузе и я к тому же имею опыт преподавания матанализа в институте. Теперь краткий комментарий твоих замечаний по пунктам:
1. Учебное пособие пишется для учащихся, поэтому из методических соображений, для конкретности, я намеренно беру x_2-x_1>0. А то, что может быть по-другому, я далее при введении понятия производной в скобках говорю, что ∆x может быть меньше нуля.
2. Очень хорошее обоснование с точки зрения чистого математика. У меня в статье, которую тебе посылаю, это же, но по другому - с точки зрения учителя, а главное студента: присутствует элемент исследования.
3. Твой вопрос закономерен. Но школьный курс математики построен таким образом, что в основной школе (5-9 классы) все основные свойства алгебраических функций изучаются, а в самом начале 10 класса дается схема исследования и предлагаются примеры для исследования функций. Но проблема заключается в том, что, зная определения монотонности функции, сами промежутки монотонности найти по определению нельзя, т.к. нет метода их нахождения: производная изучается во втором полугодии 10 класса. Поэтому учителя этот пункт исследования оставляют до изучения производной. Но этот метод, являясь эффективным, не раскрывает сути понятия монотонности. Вместе с производной улетучиваются ∆x и ∆y и ученики (даже студенты) не понимают почему если f ́(x) > 0 , то функция возрастает.
4. Неточность признаю, хотя по заглавию книги видно, что рассматриваются алгебраические функции.
Твой пример, показатель того, что ты, как говоришь, «поверхностно ознакомился с твоими работами». Это не только твое заблуждение, а заблуждение многих «Чистых математиков». Они ничего не хотят знать, кроме пределов, бесконечно малых, предельных замещений, замечательных пределов, одним из которых воспользовался ты в примере, и т.д. У меня все просто: нет предельных переходов, первой и второй производной, а есть операция обобщения, замена конкретных x_2 и x_1 на х. Да, эта операция совпадает с операцией предельного перехода, но какое дело до этого ученикам, они понимают, что при замене x_2 и x_1 на х переменная х попадает в один из промежутков монотонности, а для того чтобы узнать в какой, надо решить соответствующее неравенство. Вот и все.
Посылаю тебе статью и прошу, чтобы ты ее прочел повнимательнее. Там, кстати, твой пример решенный методом обобщения. Жду твоих критических замечаний. Спасибо за все.

Расширенный ответ оппонентам
О возможности применения метода обобщения при исследовании функций в школьном курсе математики и научной этике
Оппоненты считают бесполезным продвигать идею обобщения в систему преподавания математики в современной школе, не возражая при этом против самого метода обобщения. Еще в 90-е годы, как мне казалось, с появлением метода обобщения было возможно выделить в программе школьного курса математики отдельную тему «Исследование элементарных функций» на заключительном этапе обучения и об этом я робко пишу в письме А.Г.Мордковичу [3].
На самом деле, даже с позиции сегодняшнего дня это имело смысл, потому что:
1. Методической поддержкой учителю, вместе с богатым наследием по изучению функций в школьном курсе математики, являлась убедительная статья [1].
2. Оказывалось возможным в полной мере реализовать схему исследования функций до изучения производной, что имеет смысл с методической точки зрения.
3. В процессе изучения темы естественно повторяются и закрепляются умения учащихся выполнять тождественные преобразования выражений соответствующих исследуемой функции, заданной аналитически, и соответственно решать уравнения и неравенства.
4. Можно удовлетворить запрос ВУЗов об исключении из школьной программы элементов матанализа в урезанной форме повторяющих вузовский курс. При нахождении промежутков монотонности методом обобщения осуществляется эффективная пропедевтика понятия производной функции. Это позволяет осуществить введение производной на наглядно-интуитивном уровне с использованием скорости изменения функции в точке [3].
5. Осуществляется серьезная пропедевтика решения задач с параметрами при исследовании функций в общем виде [4].
6. Появляется возможность изучать в школе свойство выпуклости графика функции [5].
7. И, наконец, наряду с исследованием предполагается построение и чтение графиков функций. Учебный материал темы в полной мере соответствует требованиям развивающего обучения. Это по тем временам имело немаловажное значение.
Позднее я избавился от этих наивных желаний, но метод обобщения при исследовании функций на монотонность и выпуклость графика, на мой взгляд, состоялся, с чем не согласен мой друг Виктор.
В.П.Нейбаур не хочет понять, что метод обобщения никак не связан с производной и его слова, «Думаю, на конференции заметят и подвергнут критике несоответствие идеи «…без использования производной…» с фактическим нахождением производной по её определению без использования правил и формул дифференцирования», подтверждают мое предположение.
Еще раз попытаюсь опровергнуть его утверждение.
На самом деле, пусть ∆(x_1;x_2 )= B(x_1;〖 x〗_2)∙A(x_1;〖 x〗_2), где выражения B(x_1;〖 x〗_2) и A(x_1;〖 x〗_2) такие, что при x_1=x_2 B(x_1;〖 x〗_2) =0 и A(x_1;〖 x〗_2) ≠ 0. В рассуждениях В.П.Нейбаура B(x_1;〖 x〗_2)〖 =x〗_2-x_1= ∆x . В этом случае доктор наук прав, но не захотел опуститься до уровня кандидата, не принимая идею обобщения. Ведь в разложении ∆(x_1;x_2 ) для трансцендентных функций B(x_1;〖 x〗_2) ≠ x_2-x_1, и говорить о производной не приходится.
Что же касается метода обобщения при исследовании функций на монотонность и выпуклость графика, то до сих пор я не слышал о его математической некорректности. Н. Х. Розов отмечает, например, что «практически все содержащиеся в ней идет», имея в виду мою статью о методе обобщения.
Можно ли использовать метод обобщения в школе? В современной школе – проблематично. Возможно на факультативах или элективных курсах, но реальность опровергает желаемое. Меня это теперь уже не сильно печалит.
Открытия бывают гениальные, великие, значимые, мелкие или не имеющие никакого значения. Все зависит от масштаба личности, от глубины проникновения в проблему и вообще от поставленной задачи. Но в любом случае человек сделавший открытие, какое бы оно ни было, не заслуживает высокомерного к себе отношения. Я осознаю степень значимости моего открытия, рад возможности им поделиться, и вполне удовлетворен тем, что имею. Подтверждением являются изданные статьи и книги, да и участие в данной конференции.
То, что о моем докладе В.П.Нейбауэр отозвался как «образце демагогии и мышиной возни на пустом месте» оправдывается, я думаю, масштабом его личности (Dr.rer.oec.). А мой призыв к нему «Давай дружить» относится к дружбе между методистами и чистыми математиками. Ведь как здорово получилось: в статье я обосновал метод обобщения с точки зрения методиста, подключая элементы исследования, а В.П.Нейбауэр подтвердил это математически. Потом Виктор Петрович, поддавшись авторитетному мнению Н.Х.Розова, уничижительно поздравляет меня «с успешными попытками продвижения совершенно бесполезными идеями в систему преподавания математики в современной школе». Уверен, что сам Николай Христович не согласится с этим утверждением не только по этическим соображениям, но и потому, что он превосходно знает эту проблему изнутри [1]. Поэтому-то я попросил Николая Христовича через посредника, если возможно, посмотреть мою статью с надеждой, что она его заинтересует. Я очень благодарен Николаю Христовичу за отзыв и возможность подискутировать.
Я также благодарен моему другу Виктору за его искреннее желание помочь мне разглядеть «подводные камни». Несколько резкий тон его письма оправдывается, очевидно, нашей многолетней дружбой и желанием подготовить меня к возможной критике.
Жаль только, что Виктор не захотел понять, что в случае с монотонностью производная функция и функция обобщения, совпадая, получаются принципиально разными способами. Производная функция получается с использованием теории пределов, а функция обобщения - операцией предельного перехода.
Я бы сказал, что с появлением метода обобщения, без ущерба для школьного курса математики, возможно элегантное отсечение серьезной темы о пределах. Но это всего лишь мое мнение.
Благодарю всех, кто заинтересовался моим докладом, особенно редакционную коллегию журнала «Концепт» и организаторов конференции.
С уважением В.Гилев.