Среди задач, определенных Концепцией развития математического образования в Российской Федерации, принятой в конце 2013 года, особое место занимают модернизация содержания учебных программ; создание и реализация учителями математики собственных подходов и авторских курсов; обеспечение обучающимся, проявляющим способности, условий для развития; популяризация математических знаний и образования [1]. Не обращаясь здесь подробно ко всем возможным направлениям совершенствования школьного математического образования вообще (см. [2]) и дополнительного в частности (см. [3]), отвечающим решению поставленных задач, остановимся лишь на вопросе модернизации дополнительных образовательных программ в 3–6-х классах, направленных на усиление базовой и профильной подготовки учеников и расширение представлений о математике как общечеловеческой ценности, популяризацию знаний и обеспечение ученикам, проявляющим способности, условий для всестороннего качественного их развития с поддержкой непрерывного формирования творческой личности школьника.
Предпосылкой создания представляемой модели стала сложившаяся к настоящему времени структура образовательного процесса в лицее № 21 г. Кирова, где проходит ее апробация. Образовательный процесс строится в нескольких направлениях профилизации: со 2-го года обучения вводятся классы с углубленным изучением иностранного языка, математики и естественных наук; в 5-ом классе дополнительно организуется углубленное изучение информатики, а в 10-ом – обществознания. К тому же, основное образование в лицее имеет мощную поддержку со стороны дополнительного, реализуемого за счет компонента образовательного учреждения учебного плана, кружков и спецкурсов, летних профильных лагерей и во внеурочной деятельности учащихся [4]. Таким образом складывается взаимосвязанная организационная система основного и дополнительного математического образования, позволяющая реализовывать поставленные задачи как на углубленном, так и базовом уровнях.
Осуществляя в связи с переходом на стандарты нового поколения концептуальную линию непрерывного дополнительного математического образования учащихся 3–6-х классов через реализацию единых программ и подходов к организации познавательной деятельности школьников, в лицее предлагаются курсы дополнительного образования, рассчитанные на один недельный час: «Развивающая математика» – для учеников, изучающих математику на базовом уровне, и «Олимпиадные задачи по математике» – для классов с углубленным изучением предмета [5, 6]. Оба курса имеют модульную структуру; каждый модуль содержит разнообразные формы занятий по решению нестандартных задач, изучению тем, расширяющих основной курс, и решению творчески ориентированных задач: это практические работы, соревнования, фронтальная и индивидуальная работа, внеклассное чтение по предмету. Различием дополнительных образовательных программ общеразвивающего типа является уровень освоения материала и разница в тематике так называемой «олимпиадной» математики. Курсы прежде всего направлены на поддержание интереса учащихся к математике, создания им условий для творческой самореализации на материале математического характера.
Здесь мы подробнее остановимся на программе курса «Олимпиадные задачи по математике» для учащихся 3–6-х классов углубленного изучения математики.
В целом программа курса предполагает прохождение учащимися 16 образовательных модулей, каждый из которых имеет единую структуру. Общее содержание модулей представлено ниже (при подготовке к занятиям используются в основном книги [7–11]).
3 класс
Модуль 3.1
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Коварные точки»
- Комбинаторные задачи
- Комбинаторные задачи. Серия нестандартных задач
- Логические задачи (и, или, не)
- Логические задачи. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Подсчёт геометрических фигур»
- Занятие в форме соревнования «Математическая карусель»
- 9. Внеклассное чтение «Время и его измерение»
Модуль 3.2
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Всемогущий квадрат»
- Маршруты (комбинаторные задачи)
- Маршруты. Серия нестандартных задач
- Множества и элементы
- Множества и элементы. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Магические квадраты»
- Занятие в форме соревнования «Математический биатлон»
Модуль 3.3
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Застрявшие пуговицы»
- Арифметические ребусы
- Арифметические ребусы. Серия нестандартных задач
- Логическое домино
- Логическое домино. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Не отрывая карандаша от бумаги»
- Занятие в форме соревнования «Математическая абака»
- 26. Внеклассное чтение «Как люди научились считать»
Модуль 3.4
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Забавный квадрат»
- Дерево перебора
- Дерево перебора. Серия нестандартных задач
- Задачи на переливание
- Задачи на переливание. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Задачи с палочками»
- Занятие в форме соревнования «Математический аукцион»
4 класс
Модуль 4.1
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Непослушные буквы»
- Арифметические ребусы
- Арифметические ребусы. Серия нестандартных задач
- Логические квадраты
- Логические квадраты. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Шифровальная решетка»
- Занятие в форме соревнования «Математическая регата»
- 9. Внеклассное чтение «Как измеряли в древности»
Модуль 4.2
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Упрямый рак»
- Решение задач с помощью линейных диаграмм
- Решение задач с помощью линейных диаграмм. Серия нестандартных задач
- Переправы и разъезды
- Переправы и разъезды. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Площади клетчатых фигур»
- Занятие в форме соревнования «Математическая перестрелка»
Модуль 4.3
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Неразлучные подковы»
- Чётность (чередование)
- Чётность. Серия нестандартных задач
- Анализ задачи с конца
- Анализ задачи с конца. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Как найди выход из лабиринта»
- Занятие в форме соревнования «Математическая драка»
- 26. Внеклассное чтение «Оптические иллюзии»
Модуль 4.4
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Объёмный кристалл»
- Правила комбинаторики
- Правила комбинаторики. Серия нестандартных задач
- Задачи на взвешивания
- Задачи на взвешивания. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Прямоугольник из квадратов»
- Занятие в форме соревнования «Математическое домино»
5 класс
Модуль 5.1
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Многоликий воздушный шарик»
- Разберем все варианты (метод перебора)
- Разберем все варианты. Серия нестандартных задач
- Табличная логика
- Табличная логика. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Конструирование из одинаковых фигур»
- Занятие в форме соревнования «Математическая карусель»
- 9. Внеклассное чтение «Считайте в уме как компьютер»
Модуль 5.2
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Весёлые пуговицы»
- Эффект плюс-минус один
- Эффект плюс-минус один. Серия нестандартных задач
- Запутанные истории
- Запутанные истории. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Математическое оригами»
- Занятие в форме соревнования «Математический биатлон»
Модуль 5.3
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Несуразная буквопутаница»
- Чётность
- Чётность. Серия нестандартных задач
- Переливания
- Переливания. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Орнаменты» (перенос и поворот)
- Занятие в форме соревнования «Математическая абака»
- 26. Внеклассное чтение «Системы счисления»
Модуль 5.4
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Необычный круг»
- Игровые ситуации
- Игровые ситуации. Серия нестандартных задач
- Круги Эйлера (включения и исключения)
- Круги Эйлера. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Эксперименты с полоской бумаги»
- Занятие в форме соревнования «Математическая перестрелка»
6 класс
Модуль 6.1
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Неразрывная цепочка»
- Разумный перебор
- Разумный перебор. Серия нестандартных задач
- Метод «от противного»
- Метод «от противного». Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Шифры и расшифровки»
- Занятие в форме соревнования «Математическая регата»
- 9. Внеклассное чтение «Необычные числа и последовательности»
Модуль 6.2
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Заколдованное кольцо»
- Игровые ситуации
- Игровые ситуации. Серия нестандартных задач
- Принцип Дирихле
- Принцип Дирихле. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Симметрия» (осевая и центральная)
- Занятие в форме соревнования «Математическая драка»
Модуль 6.3
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Волшебные кубики»
- Подсчёт двумя способами
- Подсчёт двумя способами. Серия нестандартных задач
- Остров рыцарей и лжецов
- Остров рыцарей и лжецов. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Кривые дракона»
- Занятие в форме соревнования «Математический аукцион»
- 26. Внеклассное чтение «Как появилась геометрия»
Модуль 6.4
- Серия нестандартных задач. Головоломка «Неподдающиеся колючки»
- Оценка плюс пример
- Оценка плюс пример. Серия нестандартных задач
- Чашечные весы
- Чашечные весы. Серия нестандартных задач
- Серия творчески ориентированных задач
- Практическая работа «Голодная коза» (пересечение и объединение множеств)
- Занятие в форме соревнования «Математический хоккей»
Рассмотрим для примера один из модулей материала 5-го класса (5.1).
На трех из 8 занятий модуля используется одна из серий нестандартных задач, подобранных таким образом, что дети получают возможность развиваться в различных направлениях проявления математических способностей. Каждая такая серия состоит из 6 задач, среди которых находят место задачи арифметического, логического, комбинаторного характера, задача с геометрическим содержанием и задача на смекалку. Тридцать подборок таких задач представлены в книге [12].
Первое занятие начинается именно с такой серии задач, большинство из них решается практически устно, а ответы записываются в специальный столбик тетради с печатной основой. Важным при такой работе является акцент на вопрос «Почему именно так решили задачу?» В частности, в этом занятии ученикам может быть предложена такая серия задач.
- Отец старше сына в 4 раза. Через 20 лет он будет старше сына в 2 раза. Сколько сейчас лет отцу?
- Учитель задал на уроке сложную задачу. Число мальчиков, решивших её, оказалось равным числу девочек, её не решивших. Кого в классе больше: учеников, решивших задачу, или девочек?
- Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 50?
- Винтик и Шпунтик сложили параллелепипед из двух одинаковых кубиков. Площадь поверхности параллелепипеда равна 90 см2. Чему равен объём этого параллелепипеда?
- Лошадь съедает копну сена за двое суток, корова – за трое, овца – за 6 суток. За какое время съедят копну сена лошадь, корова и овца вместе?
- Встретились три охотника и сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй – одну, а у третьего крупы не было. Но зато он дал товарищам 5 патронов в качестве платы за кашу. Все ели поровну. Как следует разделить патроны между первым и вторым охотниками?
Далее ребятам предлагается головоломка. На занятиях они могут собирать готовую головоломку, самостоятельно изготавливать головоломки комбинаторного (танграм) или топологического характера (веревочные головоломки). Определяя необходимость работы с головоломками, Джером Сеймур Брунер, американский психолог и педагог, крупнейший исследователь в области когнитивных процессов, изучавший память, внимание, чувства, представление информации, логическое мышление, воображение, способность к принятию решения, сделал неслучайный вывод, что головоломка – именно тот инструмент, наиболее подходящий для развития креативности. В данном занятии ученикам предлагается головоломка «Многоликий воздушный шарик» [13].
На втором занятии ребята знакомятся с методом перебора (см [14, 15]). Необходимо обсудить со школьниками задания для работы в классе, показав, как осуществляется и систематизируется перебор возможных вариантов. На домашнее задание можно предложить 1–2 задачи на метод перебора.
На третьем занятии проверяется решение домашних задач и рассматриваются еще 1–2 задачи, решаемые методом перебора, а закончить его можно новой серией нестандартных задач, о которых речь шла выше.
На четвертом занятии по теме «Табличная логика» дети знакомятся с несложными задачами и способом оформления решения таблицей (см. [16]). Главная цель занятия – научить вести логическую цепочку при решении этих задач, домой предлагается 1–2 задачи на «табличную» логику.
Пятое занятие начинается с проверки домашнего задания и рассмотрения более сложных задач, а заканчивается занятие вновь серией нестандартных задач.
Две темы, рассматриваемые в каждом модуле, подбираются так, что одна из них наиболее приближена к «олимпиадным» задачам комбинаторного характера, а вторая – логического. Делается это для планомерного приобщения учащихся к развитию двух системообразующих направлений развития математического мышления.
Следующее, шестое, занятие направлено на знакомство учащихся с основными идеями и методами научного творчества, и посвящено задачам открытого типа [17]. На нем нужно поговорить с учениками об особенностях теории решения изобретательских задач. Здесь нет однозначно верных ответов, есть только ответы, которые удовлетворяют или не удовлетворяют заданным условиям. Можно разобрать в форме мозгового штурма одну любую задачу. На остальных задачах лишь акцентируется внимание и предлагается их выполнить дома. На решение одной задачи рекомендуется отводить до одной недели.
Седьмое занятие – это практическая работа, цель которой – научить детей самостоятельно по предложенной инструкции конструировать те или иные объекты и работать с ними. Здесь мы предлагаем пример из книги [18] «Конструирование из Т».
Восьмое занятие – этоигра-соревнование, которое может быть как индивидуальным, так и командным. В данном случае предлагается командная игра «Математическая карусель». В играх предлагаются разобранные в модуле задачи и подобные им. Целью таких занятий является закрепить и актуализировать изученный во время модуля материал, вызвать дополнительный интерес к предмету.
Отдельные модули заканчиваются семинаром по внеклассному чтению, что в большой степени предполагает активизацию самостоятельной работы учащихся. Частично материал подбирается учителем. Но должен быть расширен и дополнен учеником самостоятельно при использовании списка литературы или материалов сети Интернет. Доклад учащихся заслушивается, дополняются другими учениками и резюмируются учителем. Основная цель этих занятий – знакомство учащихся с историей математики.
Таким образом, предлагаемая система работы в 3–6-х классах направлена не только на развитие непрерывного дополнительного математического образования, мягкий переход со ступени начального образования на ступень основного, но и всесторонне способствует поддержанию стойкого интереса учеников к занятиям математикой, обеспечивая при этом развитие мышления и креативности учеников.