Problems with the practical content of the course mathematics in a technical universities

Изучение математики является важнейшей составной частью профессиональной подготовки будущего инженера [1]. Математические идеи и методы лежат в основе большинства исследований технического характера и необходимы для решения задач, возникающих в физике, механике, электротехнике, термодинамике, теории механизмов и машин и ряде других дисциплин.

Как отмечает В. В. Фирсов, уровни математического развития, достигаемые при обучении будущего математика и будущего инженера или техника, не могут и не должны совпадать. При этом объем математической культуры, усваиваемой будущим инженером, должен в первую очередь включать компоненты, значимые в инженерно-технической практике. В связи с этим, по мнению В. В. Фирсова, при обучении математике будущих инженеров следует придерживаться следующих методических рекомендаций [2]:

1)     делать больший акцент на количественные выводы, чем на качественные;

2)     уделять большее внимание этапам формализации и интерпретации при создании и изучении математических моделей реальных ситуаций;

3)     использовать в процессе объяснения материала рассуждения, основанные на здравом смысле, более относящиеся к интуитивному уровню восприятия.

Знакомство будущих инженеров с прикладной стороной математики следует осуществлять как при изложении теории, иллюстрируя основные математические понятия примерами прикладного характера, так и на практике, предлагая студентам задачи с практическим содержанием.

Существует несколько подходов к классификации задач. Если в основу классификации положить отношение задач к практике, то типы задач будут следующие [3, 4]:

1)     теоретические (это могут быть задачи, в которых требуется вывести ту или иную формулу, построить доказательство, сконструировать определенный математический объект и др.);

2)     практические (к этому типу могут быть отнесены задачи экспериментального и исследовательского характера, требующие для своего решения проведения реального опыта, организации лабораторной работы, а также задачи, в которых необходимо построить математическую модель реальной ситуации и др.).

По мнению И. М. Шапиро, математическая задача с практическим содержанием (задача прикладного характера) – это задача, «фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций» [5].

Задачи с практическим содержанием могут применяться для различных целей. Они могут быть использованы в качестве средства мотивации при введении новых математических понятий; иллюстрации изучаемого материала; закрепления и углубления знаний.

Основные требования, предъявляемые к задачам с практическим содержанием, по мнению И. М. Шапиро, должны быть следующими [6]:

1)     ценность задачи с точки зрения ее познавательной и воспитательной функции;

2)     материал, взятый вне математики и используемый при решении поставленной задачи, должен быть доступен учащимся;

3)     ситуация, описываемая в условии задачи, числовые значения ее данных, постановка вопроса и результат полученного решения должны быть реальными или максимально приближенными к реальности.

Остановимся более подробно на некоторых особенностях составления и включения в процесс обучения математике на инженерных специальностях вузов задач и примеров прикладного характера.

-    Для решения задач с практическим содержанием часто требуются некоторые дополнительные справочные данные. Иногда при составлении подобного рода задач авторы сознательно не включают их в условие задачи, предоставляя студентам возможность самостоятельно почувствовать то, что данных в условии задачи не хватает, и понять, что нужно сделать для их появления: можно ли получить их из уже имеющейся справочной литературы или надо провести реальный эксперимент и получить их в ходе самостоятельных измерений.

-    Важную роль при решении технических задач имеет чертеж. Однако большинство задач прикладного характера решаются не по готовому чертежу, на котором можно было бы увидеть некоторый геометрический образ, соответствующий рассматриваемому в условии задачи объекту. Чаще всего речь идет об оригинале или его модели (например, детали разного рода конструкций и машин, макеты зданий и сооружений). Студенты выполняют все необходимые измерения, оценивают их точность, выбирают нужный масштаб для изображения всего объекта исследования или его части, выполняют чертеж, проводят по нему необходимые расчеты, оценивают точность вычислений и точность полученного результата.

Например, предложив студентам специальности «Двигатели внутреннего сгорания» задачу о нахождении скорости поршня при его движении в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, преподаватель может сначала обсудить с ними следующие вопросы:

1. Что такое кривошипно-шатунный механизм и для чего он используется?
2. Какие дополнительные данные необходимы для решения поставленной задачи?
3. Какие параметры кривошипно-шатунного механизма (далее – КШМ) нужно найти в справочной литературе или измерить самостоятельно на имеющихся в лаборатории моделях, чтобы построить графически схему КШМ, а затем по ней провести расчет?

Задавая студентам подобные вопросы, преподаватель решает одновременно несколько задач: мотивировать студентов, предложив им исследовать с помощью математики объект, представляющий интерес в их профессиональной деятельности; проиллюстрировать на практике физический смысл первой производной функции одной действительной переменной; оценить наличие у студентов умений проводить измерения и строить графики. Действительно, как показывает практика, процесс поиска студентами дополнительных числовых значений нужных им величин требует от них достаточного развития измерительных, вычислительных, а во многих случаях и графических умений и навыков, в частности умения пользоваться различной измерительной и вычислительной техникой, знания правил и приемов вычислений, умения пользоваться справочной литературой и др.

Отметим, что подобные задачи часто решаются при изучении специальных дисциплин, в основном на лабораторных практикумах, в связи с чем взаимное сотрудничество преподавателей, ведущих математику и специальные дисциплины, имеет важное значение при реализации прикладной направленности обучения математики в техническом вузе. Примеры подобных задач подробно разобраны в работах [7–9].

-    При изучении тех или иных понятий на занятиях по математике необходимо иллюстрировать их значимость в профильных направлениях специализации студентов. Так, например, с функциональными зависимостями приходится сталкиваться достаточно часто при изучении технических дисциплин. В связи с этим понятию «функция» следует уделить особое внимание при изложении теории. Например, на первоначальном этапе будущих инженеров имеет смысл знакомить с функциональными зависимостями, встречающимися в разных разделах физики, механики, электротехники и др. Рассмотрим несколько таких примеров [10]:

а)     Путь S, пройденный свободно падающим телом, зависит от времени t, протекшего с начала падения. Эта зависимость выражается формулой , где  м/с² – ускорение свободного падения.

б)     Сила тока I зависит от сопротивления R проводника. При данной разности потенциалов U эта зависимость выражается формулой .

В первых двух примерах можно говорить об аналитическом способе задания функции. Однако в физических задачах такой способ используется не всегда. Иногда функциональная зависимость задается в виде таблицы. Особенно часто табличный способ задания функции встречается в естественных науках и в технике. В таких задачах данные, полученные в результате опытных измерений, объединяются в таблицы. Рассмотрим следующий пример.

в)     Из опыта известно, что для данного проводника, изготовленного из определенного материала, имеющего определенное сечение и заданную длину, электрическое сопротивление зависит от температуры проводника. Каждому значению температуры T соответствует определенное значение сопротивления проводника R. В связи с этим можно говорить о том, что сопротивление R есть функция температуры T. Проводя опытные измерения, можно найти значения R при различных T и в результате найти зависимость R(Т). В этом случае результатом опытов будет выступать таблица, в которой даны значения R при различных Т. Например, табл. 1 [11]:

Таблица 1

Опытные значения сопротивления (R) при различных значениях температуры (Т)

Если же нас интересуют значения сопротивления R, не входящие в таблицу, то необходимо провести дополнительные измерения, так как точная формула, выражающая зависимость R от Т, неизвестна. Однако на практике всегда можно подобрать приближенную формулу, которая согласуется с опытом для тех температур, при которых произведены измерения. Например, рассмотрим следующее соотношение, связывающее R и Т:

.

Таблица, соответствующая этой формуле будет иметь вид (табл. 2):

Таблица 2

Теоретические значения R при различных значениях Т

На этом этапе необходимо обратить внимание студентов на то, что используемая для теоретических расчетов приближенная формула нуждается в проверке, поскольку погрешность, получаемая при ее применении, может оказаться весьма значительной.

Отметим, что методы интерполяции, позволяющие строить приближенные формулы функциональных зависимостей, очень часто используются в технических задачах, в связи с чем этому вопросу также следует уделить внимание.

-    На занятиях по математике со студентами технических специальностей полезно использовать задания, в которых требуется найти значения конкретной физической величины при заданных значениях параметров, входящих в данную формулу; выразить одну переменную через другие; изобразить схематически график функции, заданной физической формулой и т. п. Например, это могут быть следующие задачи.

1. В следующих формулах выразите каждую переменную через другие и поясните, что выражают зависимости, описанные данными формулами [12]:

1. Изменение площади улитки центробежного компрессора S (в см²) в зависимости от угла разворота φ (в град.) отражено в табл. 3. На основании данных табл. 3 постройте график зависимости S от φ, а также произведите расчет и запишите в табличном виде зависимость радиуса улитки (R, в см) от угла поворота φ (в град.). Постройте график этой зависимости.

Таблица 3

Зависимость радиуса улитки от угла поворота

1. Пусть зависимость сопротивления дороги (f) от скорости  (км/ч) движущегося по ней автомобиля выражается формулами [13]:

а)     на асфальте: ;

б)     на хорошем шоссе: ;

в)     на булыжной мостовой: ;

г)      на мягкой грунтовой дороге: .

Изобразите эти зависимости графически, а также определите скорость, при которой сопротивление дороги будет наименьшим (только для тех случаев, когда это возможно).

1. При движении материальной точки М по прямой наблюдалась зависимость  проходимого пути  от времени . Чему равна средняя скорость движения  на интервале от момента  до ? Чему равна мгновенная скорость  в момент времени  ([14, 15])?

Отметим, что задачи с практическим содержанием, составленные на основе реального сюжета, реальных числовых данных и имеющие реальную постановку вопроса, во многом помогают расширить представления студентов о возможностях математики в решении задач, возникающих в их будущей профессиональной деятельности, способствуют пониманию студентами межпредметных связей математики и технических дисциплин, а также являются мощным аппаратом, позволяющим повысить мотивацию студентов к изучению математики. Что касается мотивирующей функции прикладных задач, то именно учебная мотивация, являясь важнейшей составной частью учебной деятельности, выступает «побудительным стимулом к обучению, напрямую оказывая влияние на эффективность учебного процесса» [16], способствует развитию интереса студентов к предмету, их математической активности и дальнейшему самообразованию по предметам, использующим математику.