Boris OrehovСостояние российского образования на всех его ступенях в последние три десятилетия вызывает серьезное беспокойство в широких кругах общественности [1–4]. Анализу негативных тенденций в российском математическом образовании, сложившихcя к концу XX в., посвящена обстоятельная статья Л. Д. Кудрявцева c соавторами. В ней справедливо отмечались характерные черты, присущие большинству первокурсников:
- «неумение студентов отличать то, что они понимают, от того, что они не понимают;
- неумение логически мыслить, отличать истинное рассуждение от ложного, необходимые условия от достаточных; неправильное представление о главном и второстепенном, о том, что необходимо помнить, а что можно и забыть» [5].
Обращаясь к истокам в [6], Л. Д. Кудрявцев писал: «Как это ни прискорбно, но как фундаментальная подготовка по естественно-математическим дисциплинам, так и гуманитарное образование наших школьников к концу XX века ухудшилось и находится в настоящее время не на должном уровне. …Надо иметь в себе мужество признать, что наша общеобразовательная средняя школа в последние десятилетия не готовит своих учеников для успешного обучения в высших учебных заведениях, не дает им необходимых знаний, не развивает в нужной степени культуру мышления и не может этого делать в сложившейся ситуации… Это грозит большими отрицательными последствиями для будущего нашего государства, так как у нас явно не хватает высококвалифицированных специалистов во многих областях человеческой деятельности».
Массовое российское образование в начале XXI в. после достаточно продолжительной борьбы мнений о путях его модернизации (см., например, [7]) начало с 2000 г. преобразовываться в основном по программам и концепциям, разработанным в структурах Высшей школы экономики под руководством Я. И. Кузьминова. Для понимания процессов, происходящих в образовании в России в последнее десятилетие, следует рассмотреть концепцию, изложенную в докладе 2008 г. под редакцией Я. И. Кузьминова и И. Д. Фрумина «Российское образование 2020: модель образования для экономики, основанной на знаниях». В рамках этой модели требование наличия определенного уровня знаний и понимания, формирование и развитие мышления, а тем более логического или критического, становятся ненужными: «культура усвоения должна замещаться культурой поиска и обновления». Подробный критический анализ модели можно найти в пособии [8], отдельные положения – в [9].
Ситуация в образовании по сравнению с началом века продолжает ухудшаться. Всероссийский съезд учителей математики, состоявшийся в МГУ в 2010 г., выразил в своей резолюции обеспокоенность существенным снижением уровня математической подготовки выпускников средней школы. На итоговой пленарной сессии XII заседания Международного дискуссионного клуба «Валдай» в октябре 2015 г. в Сочи бывший президент Чешской Республики Вацлав Клаус отмечал: «Наблюдается определённая общественная апатия, происходит выхолащивание и обнищание образования, не говоря уже об идеологической индоктринации, навязывании определённых взглядов, что напоминает мне коммунистическую эпоху. Мы заменяем образование как раз политкорректностью и навязыванием определённой идеологии» [10]. С этим трудно не согласиться. Последние образовательные стандарты на всех ступенях обучения не содержат ни обязательного минимума содержания основных образовательных программ, ни требований к уровню подготовки выпускников в виде знаний/пониманий и конкретных умений. Стандарты не регулируют образовательный процесс, а декларируют требования к результатам освоения. Скудость же используемых в средней школе форм контроля знаний учащихся, монополия на итоговую аттестацию ЕГЭ с «практической» ориентированностью контрольно-измерительных материалов его по математике, задающей направленность школы на достижение результатов учащихся в применении конкретных алгоритмов решения стандартных задач, недостаточно высокий уровень подготовки многих учителей -- все это делает практически невозможным выполнение в массовой средней (полной) школе требований стандарта по математике. Такие требования стандарта к результатам освоения углубленного курса математики в средней школе, как сформированность:
«1) представлений о необходимости доказательств при обосновании математических утверждений и роли аксиоматики в проведении дедуктивных рассуждений;
2) понятийного аппарата по основным разделам курса математики; знаний основных теорем, формул и умения их применять; умения доказывать теоремы и находить нестандартные способы решения задач;
3) умений моделировать реальные ситуации, исследовать построенные модели, интерпретировать полученный результат» [11],
остаются невыполненными.
Восстановление утраченного уровня школьного математического образования требует также решения проблем с содержанием образования, усилением роли формально-логической составляющей в курсе математики старшей школы. В образовательной программе, в частности, должны присутствовать разделы, посвященные элементам интуитивной теории множеств и отношений на множествах, элементам математической логики (включая виды теорем и связь между ними), элементам теории числовых систем, элементам комбинаторики. Потребуется и разработка (пересмотр) соответствующего учебного и методического обеспечения.
В настоящей публикации в конспективной форме освещены вопросы предмета математики, показана роль аксиоматического метода в ней, рассмотрены некоторые элементы теории числовых систем, что может быть использовано как в общем, так и в элективных курсах. Она также в определенном смысле является подготовительной для следующей публикации по применению оператора ловорота при введении системы комплексных чисел.
- 1. Предмет математики. Аксиоматический метод
Известный американский математик, основоположник кибернетики Норберт Винер считал, что «высшее назначение математики… состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает». Заметим, что хаос существует не в окружающем нас мире, он существует до определенного момента в нашем сознании, в наших представлениях о процессах и явлениях, происходящих в окружающей нас действительности. Назначение математики как общепризнанного языка науки состоит в разработке аппарата для построения и исследования идеализированных моделей, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления действительности, «находить скрытый порядок» в ней. Первые сознательные попытки человеческой цивилизации осмысления действительности относятся к формированию представлений о числе и форме. Пространственные формы и количественные отношения окружающего мира послужили основой для возникновения первых математических абстракций, разработки первых математических моделей описания действительности: арифметики и геометрии.
Исходные представления о количествах тех или иных предметов, неоднократно возникавшие в процессе простого счета или их перечисления, рецептурные правила проведения расчетов, которыми владели древние вавилоняне и египтяне, привели древних греков в конце VI–V в. до н. э. к отвлеченному понятию натурального числа, оторванного от конкретной природы считаемых объектов. В школе Пифагора числа как абстрактные объекты и геометрические фигуры с их свойствами и отношениями становятся предметом исследования, его целью. Период до III в. до н. э., когда были созданы «Начала» Евклида, принято считать зарождением и становлением математики как теоретической науки. Греки впервые ввели в математику доказательство, превратив ее в систему знаний, построенную с помощью дедуктивного метода. Одним из способов дедуктивного построения научных теорий стал аксиоматический метод, при котором сначала вводятся основные неопределяемые понятия и постулируются, в виде принимаемых без доказательства утверждений (называемых аксиомами), связи и отношения между первоначальными понятиями; затем с помощью определений вводятся дальнейшие понятия и выводятся как следствия по законам логики дальнейшие факты – теоремы. Совокупность всех теорем, выводимых из данной системы аксиом, называется аксиоматической теорией, построенной на основе этой системы аксиом. Первоначальные понятия и аксиомы вводятся на основании опыта.
Таким образом, математическая модель – это логическая структура, у которой описан ряд отношений между ее элементами. Исследование таких структур и является предметом математики. В качестве иллюстрирующего примера построения математических моделей и их дальнейшего развития рассмотрим векторные пространства. Исходя из представлений о векторных физических величинах, таких как сила, перемещение, скорость, и правил работы с ними, отвлекаясь от конкретной природы физических векторных величин, сохраняя то общее, что присуще им всем, приходим к математической модели вектора как упорядоченной пары точек, наглядно представляемой в виде направленного отрезка на плоскости или пространстве. Определим отношение равенства на рассматриваемом множестве объектов и введем на основе опытных данных о конкретных физических величинах стандартным образом линейные операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Два геометрических вектора назовем равными, если: прямые, на которых они лежат (носители), параллельны или совпадают; направления на носителях одинаковы; их длины (модули) равны. Под суммой вектора с вектором понимают третий вектор , обозначаемый как , построенный по правилу «треугольника»: cовместим начало вектора с концом вектора ,тогда начало вектора совпадает с началом , а конец – с концом . Произведением вектора на число называют вектор, обозначаемый как , носитель которого совпадает с носителем вектора , однонаправленный с при и противоположно направленный при , и длиной равной .
Легко установить свойства, которыми обладают эти операции.
1° Сложение векторов коммутативно: .
2° Сложение любых трех векторов ассоциативно
3° Существует такой вектор O, что для любого вектора выполняется равенство .
4° Для любого вектора существует такой вектор , называемый противоположным к , что . Противоположный к вектору обозначают, ставя черточку перед : – (читается так: черточка ).
5° Операция умножения вектора на число обладает свойством ассоциативности:
) = ,
а совместно с операцией сложения она удовлетворяет еще трем свойствам:
6°Произведение вектора на число –1 есть вектор, противоположный к , то есть (–1)
7° Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: .
8° Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел:
.
Отправляясь от данной конкретной модели, можно сделать следующий шаг и построить на аксиоматической основе абстрактную модель векторного пространства.
Рассмотрим некоторое множество L элементов произвольной природы и
1) определим на нем отношение равенства двух элементов;
2) зададим правило, обозначаемое символом «+», согласно которому любым двум элементам «а» и «b» из L ставится в соответствие третий элемент «с» из L, обозначаемый как с = a + b;
3) зададим правило, обозначаемое символом « », согласно которому любому элементу «а» из L и любому вещественному числу ставится в соответствие элемент «d» из L, обозначаемый как d= a (или для упрощения записи просто как d= a).
Если при этом окажется, что множество L, наделенное этими операциями, обладает теми же приведенными выше свойствами, что и структура геометрических векторов, то L будем называть вещественным векторным (или линейным) пространством. Элементы множества L называют векторами, операцию «+» –сложением, операцию « », – умножением вектора на число.
Каждой аксиоматической теории может быть дана интерпретация, если в качестве первоначальных неопределяемых рассматривать конкретные математические объекты с определенными отношениями между ними, удовлетворяющими аксиомам теории.
Пример 1. Пусть L – множество всех многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше 3: . Два многочлена считаем равными, если у них равны коэффициенты при одинаковых степенях х. В качестве операции «+» возьмем стандартную операцию сложения многочленов, в качестве операции « », – стандартную операцию умножения многочлена на число. Множество L замкнуто относительно данных операций: операции не выводят за пределы L. Проверяем выполнение восьми аксиом векторного пространства. Выполнение аксиом 1, 2, 5, 7, 8 вытекает из справедливости соответствующих законов для действительных чисел. Роль нейтрального элемента в операции сложения играет многочлен нулевой степени с нулевым свободным членом. Противоположным к многочлену является многочлен , при этом .
Пример 2. В геометрии, механике и физике, экономике часто приходится изучать такие объекты, для описания состояния которых недостаточно трёх чисел. Так, например, положение твёрдого тела в пространстве определяется упорядоченной системой из 6 действительных чисел (6 степеней свободы). Этот пример и многие другие указывают на целесообразность рассмотрения всевозможных систем из п действительных чисел, где п – любое фиксированное натуральное число. Над такими системами чисел мы будем производить операции сложения и умножения на число по аналогии с соответствующими операциями над векторами плоскости или трёхмерного пространства, заданными своими координатами. Рассмотрим множество L всевозможных упорядоченных наборов по n действительных чисел, не обязательно различных в каждом наборе. Упорядоченность набора означает, что числа в наборе занумерованы. Имея в виду, что элемент есть набор чисел , будем его записывать в виде . Считая произвольным, рассмотрим ещё один произвольный набор . Элементы и будем считать равными, если . В качестве операции «+» возьмем операцию покомпонентного сложения: . В качестве операции « » возьмем операцию умножения каждой компоненты на действительное число: . Множество L замкнуто относительно данных операций. Легко проверить, что введенные операции удовлетворяют всем 8 аксиомам векторного пространства. Элементы множества L принято называть n‑мерными векторами, а рассмотренную структуру -- n-мерным арифметическим пространством .
Таким образом, математика занимается исследованием математических структур-множеств с заданными на них отношениями между элементами. Поскольку природа объектов математику не интересует, а предметом исследования являются только связи, отношения между ними, то это обстоятельство позволило выдающемуся французскому математику конца XIX – начала XX в., внесшему значительный вклад во многие разделы современной математики, в том числе и математическую теорию хаоса, Анри Пуанкаре утверждать: «Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем».
- 2. Числовые структуры
Однажды возникнув путём идеализации свойств реальных или других математических объектов, наши представления о математических объектах и структурах углубляются, уточняются и развиваются как под влиянием новых опытных данных, так и по внутренним законам развития, присущих самой математике. В качестве примера, иллюстрирующего это положение, рассмотрим некоторые этапы формирования алгебраической структуры действительных чисел.
2.1. Система положительных рациональных чисел
На основании представлений о долях конкретных предметов, долях отрезка, в основной школе были введены обыкновенные дроби и сформулированы правила работы с ними. Это было первое расширение представлений о числе, к множеству натуральных чисел присоединили множество их отношений. Покажем, что задача такого расширения может быть решена без обращения к конкретной интерпретации, исходя из внутренних законов развития самой математики. Итак, мы хотим «открыть на кончике пера» известные из курса основной школы положительные рациональные числа и вывести из основных аксиом правила работы с ними.
Будем считать в качестве уже известной нам структуры множество натуральных чисел N= {1,2,3,…} с заданными на нем операциями сложения (+) и умножения « », результат выполнения которых снова является натуральным числом. Сами операции подчиняются основным законам арифметики: N.
1° a + b = b + a – коммутативность сложения;
2° a b = b a – коммутативность умножения;
3° (a + b) + c = a + (b + c) –ассоциативность сложения;
4° (a b) c = a (b c) –ассоциативность умножения;
5° (a + b) c = a c + b c – дистрибутивность умножения относительно сложения.
6° а 1 = а.
Множество N не замкнуто относительно обратной к умножению операции деление. Требуется найти новое множество X, содержащее N в качестве подмножества, задать на нем отношение равенства двух элементов, определить операции сложения, умножения, деления таким образом, чтобы на N они совпали с имеющимися там сложением и умножением , чтобы на всем множестве X операции удовлетворяли бы шести указанным выше аксиомам и чтобы множество X было замкнуто относительно этих операций.
Требование замкнутости X относительно операции деления приводит к необходимости присоединения к системе шести аксиом ещё одной:
7° , элемент y, удовлетворяющий этому условию, будем называть обратным к элементу х относительно операции « » и обозначать символом .
Теорема. Обратный элемент для любого х единственен.
В самом деле, если предположить, что для какого-то элемента х есть два обратных к нему y и z, таких, что x y = 1 и x z = 1. Тогда, умножая первое равенство на z, получим z (х y) = z 1, или в силу ассоциативности (z x) y = z, или 1 y = z, т. е. y = z.
Наличие обратного элемента позволяет определить операцию деления элемента y на элемент x как операцию умножения y на . Так как частное от деления натурального числа m на натуральное число n есть объект z(m, n), зависящий от m и n, для которого n z(m, n) = m, то этот объект будем обозначать как пару (m, n). При этом натуральные числа m мы должны рассматривать как пары вида (m, 1). Поскольку для любого натурального n существует обратный к нему y, такой, что n y = 1, то, в силу принятого нами соглашения, мы должны обозначить его как упорядоченную пару натуральных чисел: y = (1, n). Таким образом, новое множество объектов X, которое мы должны рассматривать, представляет собой множество упорядоченных пар натуральных чисел (m, n). Операция должна быть определена на нем так, чтобы с учетом принятых нами определений операции деления и частного натуральных чисел имело место равенство(m, n) = (m, 1) (1, n). Последнее равенство означает, что мы должны принять в качестве определения операции « » на парах операцию покомпонентного умножения натуральных чисел
(m , n ) (m ,n ) = (m m ,n n ).
Мы должны определить операцию сложения на Х так, чтобы на множестве пар вида (m, 1) имело место равенство: ,1)+ ,1) +…+ (m ,1) = ( . Сохраняя смысл операции умножения на натуральное число m как суммирование множимого m раз, перепишем равенство (m, n) = (m, 1) (1, n) в виде (m, n) = (1, n) + (1, n) +…+ (1, n). Следовательно, имеет смысл определить операцию сложения на парах с одинаковой второй компонентой по правилу
,n) + ,n) +…+ (m ,n) = ( .
Из аксиомы 6 вытекает, что для любого натурального n имеем n 1 = n. Это означает, что любую пару вида (n, n) мы должны считать единицей относительно операции . Отсюда в качестве следствия получим, что обратной к паре (m, n) служит пара (n, m), так как (m, n) (n, m) = (nm, nm) = 1. В качестве второго следствия получим так называемое основное свойство дроби, которое задает отношение равенства на множестве пар: (mk, nk) = (m, n). Действительно, так как (mk, nk) (n, m) = (mnk, nmk) = 1, то это означает: пара (mk, nk) является обратной для пары (n, m), у которой есть единственная обратная (m, n). Следовательно, (mk, nk) = (m, n).
Легко проверить, опираясь на соответствующие свойства натуральных чисел, что введенные нами операции на парах удовлетворяют всем шести отмеченным аксиомам. Мы полностью решили поставленную задачу о расширении множества натуральных чисел. Нам осталось только от представления рационального числа в виде пары (m, n) перейти к его стандартному представлению в виде обыкновенной дроби или отношения натуральных чисел, положив (m, n)= . Легко видеть, что операции на парах (m, n) перейдут в известные из основной школы правила работы с обыкновенными дробями. Таким образом, мы показали, почему операции над дробями надо выполнять именно по таким правилам, а не по другим. В следующем пункте мы обоснуем правила работы с отрицательными числами, в частности покажем, почему произведение отрицательных чисел надо брать положительным.
2.2. Система целых чисел
В этом пункте мы будем заново «открывать» отрицательные числа и правила работы с ними. Рассмотрим вторую задачу о расширении структуры натуральных чисел. Так как обратная к сложению операция вычитание (–) на множестве Nне всегда осуществима, требуется расширить множество Nпутем присоединения к нему новых элементов и определить на новом множестве Z операции сложения, вычитания, умножения так, чтобы на Nони совпали с уже имеющимися там и чтобы на всем множестве Z сохранились основные законы арифметики натуральных чисел.
Требование замкнутости Z относительно операции вычитания приводит к необходимости присоединения к системе шести аксиом ещё двух.
На множестве Z новых объектов должен существовать нейтральный относительно операции сложения элемент, называемый нулем и обозначаемый 0, такой, чтобы имело место свойство
7° a + 0 = a.
Кроме того, любой элемент z должен иметь противоположный, обозначаемый как -z (черточка z), такой, чтобы имело место свойство
8° z + (-z) = 0.
Для построения этого множества Z и определения операций на нем введем новую геометрическую интерпретацию натуральных чисел, отличную от точечной. Возьмем прямую линию, выберем на ней произвольную точку О, называемую точкой отсчета, зафиксируем определенное направление на прямой и назовем его положительным, выберем единицу масштаба, или масштабный отрезок. Каждое натуральное число n представим направленным отрезком (вектором) длины(модуля) n, выходящим из точки О в положительном направлении числовой оси. Сумму двух натуральных чисел n и m можно интерпретировать как вектор длины n + m, выходящий из точки О в положительном направлении числовой оси, то есть вектор, равный сумме векторов, изображающих числа n и m. Итак, будем теперь рассматривать множество Z всех векторов, расположенных на числовой прямой, выходящих из начала О, имеющих натуральную длину и содержащих нуль-вектор – вектор, начало и конец которого совпадают с точкой О. На этом множестве вводим операцию сложения векторов по правилу треугольника. Данное множество вместе с любым своим вектором содержит и противоположный ему - (по свойству 8° противоположным к - будет сам вектор т. е. -(- )= . Это позволяет ввести на Z операцию вычитания как сумму с противоположным вычитаемому вектором . (Странный народ эти математики: нужно отнимать, а они складывают; нужно делить, а они умножают.) Множество Z замкнуто относительно операций сложения и вычитания. Отметим, что при сложении одинаково направленных векторов их модули очевидно складываются, а направление результирующего вектора совпадает с направлениями слагаемых. При сложении противоположно направленных векторов модуль результата равен разности большего и меньшего из модулей, а направление результирующего вектора совпадает с направлением вектора с большим модулем.
Нам требуется теперь определить на Z операцию умножения векторов так, чтобы на подмножестве векторов, изображающих натуральные числа, она совпала с имеющейся там операцией умножения и чтобы на всем Z выполнялись шесть аксиом множества натуральных чисел. По определению операция умножения на множестве натуральных чисел сводится к операции кратного суммирования числа. Поступим по аналогии на Z. Если множитель является натуральным числом n , то нам следует множимое z сложить n раз само с собой, т. е. . Это означает, что, умножая вектор z на натуральное число n, мы должны получить вектор того же самого направления с длиной в n раз больше.
Теорема. При умножении любого объекта из Zна 0 результат должен быть 0, т. е. .
В самом деле, дистрибутивность умножения относительно сложения влечет:
z+ .
Для того чтобы определить произведение (-n) z, рассмотрим выражение 0 = (n-n) z=n z+(-n) z. Отсюда следует, что под произведением(-n) z нужно понимать вектор, противоположный кn z, т. е. (-n) z = –(n z).
Найдем, пользуясь определением, произведение двух отрицательных чисел:
(-n) (-m) = -( n (-m)) = -(-(n m)) = n m.
Легко проверить, опираясь на соответствующие свойства натуральных чисел, что введенные нами операции на векторах удовлетворяют всем шести отмеченным аксиомам. Мы полностью решили поставленную задачу о расширении множества натуральных чисел. Нам осталось только от представления целых чисел в виде векторов перейти к их стандартным обозначениям в виде символов натуральных чисел, взятых со знаками +, –, для чисел, изображаемых, соответственно, векторами, сонаправленными или противоположно направленными числовой оси. Установленные выше операции над векторами обосновывают известные из курса основной школы правила сложения, вычитания и умножения на множестве целых чисел.
Объединяя пункты 2.1 и 2.2, получим множество Q рациональных чисел Q = { }, замкнутое относительно четырех основных арифметических операций. Однако запаса рациональных чисел недостаточно для разрешимости на нем квадратного уравнения Стремление обеспечить замкнутость числового множества относительно операции извлечения корня из неотрицательного числа приводит к новому расширению запаса чисел за счет присоединения к Q множества новых элементов. Любое рациональное число в результате выполнения операции деления уголком числителя на знаменатель может привести либо к десятичной дроби с конечным числом знаков после запятой, либо при бесконечном процессе деления в силу конечности числа остатков к бесконечной десятичной периодической дроби. Присоединив к множеству рациональных чисел множество всех бесконечных десятичных не периодических дробей и определив соответствующим образом операции над ними, получим множество вещественных или действительных чисел R.
3. Поле
Рассмотрим некоторое множество F элементов произвольной природы, содержащее не менее двух элементов с определенным на нем отношением равенства двух элементов. Зададим правило, обозначаемое символом «+», согласно которому любым двум элементам «а» и «b» из F ставится в соответствие третий элемент «с» из F, обозначаемый как с = a + b; зададим правило, обозначаемое символом , согласно которому любым двум элементам «а» и «b» из F ставится в соответствие третий элемент «с» из F, обозначаемый как с = a b. Если при этом окажется, что множество F , наделенное этими операциями, обладает свойствами:
1° a + b = b + a – коммутативность сложения;
2° a b = b a – коммутативность умножения;
3° (a + b) + c = a + (b + c) –ассоциативность сложения;
4° (a b) c = a (b c) –ассоциативность умножения;
5°(a + b) c = a c + b c – дистрибутивность умножения относительно сложения.
6° На множестве F существует нейтральный относительно операции «+» элемент, называемый нулем и обозначаемый 0, такой, чтобы имело место свойство° a + 0 = a.
7° Любой элемент а имеет на F противоположный, обозначаемый как –а (черточка а), такой, что а + (-а) = 0.
8° На множестве F существует нейтральный относительно операции элемент, называемый единицей, обозначаемый каке, такой, чтобы имело место свойство: а е = а.
9° Любой элемент а , кроме 0, имеет на F обратный, обозначаемый как
а , такой, что а а = е,
то такую алгебраическую структуру принято называть полем, элементы F – операцию «+» – сложением, операцию «*» – умножением.
Очевидно, что системы рациональных и действительных чисел Q и R являются примерами числовых полей. Система иррациональных полем не является, так как, например, – результат не является иррациональным числом.
Пример. Рассмотрим все действительные числа вида r + s√2, где r и s – рациональные числа. Пусть а + b√2 и с + d√2 – произвольные два числа рассматриваемого вида. Тогда
(а + b √2 ) + (с + d √2) = (a + с) + (b + d)√2
(а + b √2 ) – (с + d √2) = (a – с) + (b – d)√2
(а + b √2 ) • (с + d √2) = ac + ad √2 + bc √2 + 2 bd = (ac + 2bd) + (ad + bc)√2.
Так как (а + b √2 ) (а – b √2 ) = при , то является обратным для (а + b √2 ) и данное множество в силу очевидности проверки выполнения остальных аксиом является числовым полем.
Поле, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным полем, или полем Галуа. Рассмотрим поле, состоящее из двух элементов, оно может быть задано разными способами в зависимости от выбора элементов и определения операций сложения и умножения на них. Это может быть множество из двух чисел «0» и «1», на котором операции сложения и умножения определены по правилам двоичной арифметики.
|
|
Это может быть множество из двух логических объектов «ЛОЖЬ» (F) и «ИСТИНА» (T), на котором операции сложения и умножения определены как булевы операции дизъюнкция и конъюнкция соответственно:
|
|
Выполнение аксиом поля легко проверяется, данное поле обозначается как GF(2). Понятие конечного поля широко используется в компьютерной технике, криптографии.