The study of logically true sentences in school

Проблема внедрения элементов матема­тической логики в школьную математику и информатику в настоящее времяпривлекает пристальное внимание научно-педагогических кругов.

следует считать центральным логическим понятием, пред­ставляющим логику в различных рассужде­ниях и доказательствах. В настоящей статье предлагается разработка введения этого по­нятия для нужд школьной математики и информатики. Со­держание статьи доступно ученикам старших и средних классов и может быть использова­но учителем в его повседневной работе.

Каждая наука имеет свой специфический словарь. Так, в физическом словаре можно встретить слова «масса», «путь», «время», «скорость» «ускорение», «сила», «электрон» и другие; в химическом словаре – «молекула», «реакция», «магний» и другие; в математиче­ском словаре – «единица», «число», «сложе­ние», «многоугольник» и другие.

Постараемся выяснить, какие слова входят в логический словарь и какие предложения называются логически истинными. Для этой цели рассмотрим предложение: «Если все лю­ди смертны и все герои – люди, то все герои смертны». Конечно, это предложение истин­ное. Заменим в нем слова «люди», «смертны», «герои» соответственно словами «животные», «дышат», «киты». Получим новое предложе­ние: «Если все животные дышат и все ки­ты – животные, то все киты дышат». Это так­же истинное предложение. При любой такой замене мы всегда будем получать истинные предложения. Слова из научного словаря слу­жат в предложении носителями того, что при­нято называть содержанием или смыслом предложения.

Следовательно, наше предложение обладает удивительной стойкостью: его истинность не нарушается при замене содержа­ния. Если мы «очистим» предложение от содержания, то останется его форма:

Если все    и все  есть  ,то все   ».

И эта форма такова, что, подставляя в нее одни и те же слова в одинаково нумерован­ные просветы, мы будем всегда получать ис­тинные предложения.

Такие предложения, истинность которых за­висит только от формы и не зависит от содержания, называются логически истинными предложениями (л-истинными) или просто ло­гическими истинами (л-истинами).

Логических истин бесконечно много. Вот некоторые из них:

1)     Я пойду или не пойду в кино.

2)     Если треугольник не равнобедренный и не прямоугольный, то он не равнобедренный и прямоугольный.

3)     Из того, что если я отдыхаю, то я чи­таю, следует, что если я не читаю, то я не отдыхаю.

4)     Если существует x, такое, что f(x) =0, то не для всех х не имеет места f (х) = 0.

Слова, из которых строится форма предло­жения, составляют логический словарь. Это такие слова, как «и», «или», «не», «если..., то...», «тогда и только тогда», «существует», «все», «некоторые», «никакой» и другие.

Одна из основных задач логики – изучение логических истин. Но критерий истинности в логике принципиально отличен от критерия истинности в естественных науках. Действительно, логическая истинность предложения связана с синтаксической структурой предло­жения, а не с его содержанием, а истинность, например, в физике или биологии связана с её содержанием. Поэтому для установления логической истинности не требуется совершать путешествия, наблюдать, экспериментировать, нужно заняться анализом форм предложений. А вот для проверки того, будет ли предложе­ние «Волга впадает в Каспийское море» ис­тинным, необходимо совершить путешествие или поверить тому, кто это сделал.

В математике критерий истинности во мно­гом определяется структурой предложений. Действительно, математик, отвечая на задан­ный вопрос, не спешит взяться за лопату или сесть за микроскоп. Свой ответ он всегда свя­зывает со значками, изображенными на бу­маге. При аксиоматическом построении мате­матики теорему можно рассматривать как утверждение о логической истинности некоторо­го условного предложения. Например, теоре­ма из эвклидовой геометрии «Сумма углов треугольника равна 180°» (если расшифровать ее и представить на языке первичных понятий и отношений, а в посылках отметить все акси­омы) будет хотя и очень громоздкой и слож­ной, но все же логической истиной.

Прежде чем перейти к более детально­му обсуждению логических истин и их употребления в математических рассуждениях, вкратце познакомимся с основными понятиями и символикой, используемыми в математиче­ской логике.

Высказыванием называется предложение, о котором имеет смысл спросить, истинно оно или ложно. Например, «2 > 3», «не существует наибольшего простого числа» – высказывания, а «5 + 3», «х > 3» высказываниями не будут. Для обозначения высказываний мы используем буквы p, q, r, ... . Об истинном вы­сказывании говорят, что его истинностное значение – «истина» («и»), а, о ложном – что его истинностное значение – «ложь» («л»).

Переменной называется буква (например, х) с соотнесенным с ней классом объектов, назы­ваемых значениями переменной.

Предикатом называется предложение, со­держащее хотя бы одно переменное и обращающееся в высказывание для некоторых на­боров значений всех переменных, входящих в предложение. Например, > 3, с областью значений для  – классом действительных чи­сел, будет предикатом. При мы получа­ем из него истинное высказывание 5 > 3, а при  – ложное высказывание 0 > 3. Предикаты  или  называются од­номестными, так как в них входит единственная переменная х, а предикат х – = 0 – двухместным из аналогичных соображений. Заметим, что предложение «Для каждого х найдется такое , что х – у = 0» следует отнести не к предикатам, а к высказываниям. В этом предложении замена переменных запи­сями их значений бессмысленна.

В нашей школе предикат называют предло­жением с переменными. За рубежом распространены термины «замкнутое предложение» и «открытое предложение» для высказывания и предиката соответственно.

Договоримся обозначать предикаты с по­мощью символов  .

Из высказываний и предикатов с помощью приставки «не» (знак «~») и четырех логи­ческих связок «и» (знак «˄»), «или» (знак «V»)» «если..., то...» (знак « »), «тогда и только тогда» (знак « ») составляются бо­лее сложные предикаты и высказывания. При­ставка называется отрицанием, а связки, в порядке их записей, называются конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквивалентно­стью. Так, например, о сложном предикате  мы будем говорить как об импли­кации высказывания  с предикатом .

В логике особую роль играют еще две при­ставки: «для каждого » и «существует такое ». Первую из них назы­вают квантором общности и обозначают  вторую – квантором суще­ствования и обозначают  Приставляя квантор к одноместному предика­ту, мы получаем высказывание. Например, из предиката « » мы получаем высказывания:

В логике принято однозначно определять истинностное значение сложного высказыва­ния через истинностные значения входящих в него высказываний, пользуясь следующей договоренностью.

Отрицание истинного высказывания лож­но, и отрицание ложного высказывания истин­но.

Конъюнкция двух высказываний истинна в единственном случае, когда оба высказыва­ния истинны.

Дизъюнкция двух высказываний ложна в единственном случае, когда оба высказыва­ния ложны.

Импликация двух высказываний ложна в единственном случае, когда условие (первое высказывание в импликации) истинно, а за­ключение (второе высказывание в имплика­ции) ложно.

Эквивалентность двух высказываний ис­тинна в двух случаях, когда оба высказывания одновременно истинны и одновременно ложны.

Принятую договоренность удобно предста­вить в таблицах. Приведем, например, табли­цы для отрицания и импликации.

В последних столбцах таблиц (порядок за­полнения столбцов указан под чертой) отме­чены истинностные значения соответственно высказываний  и  при выбранных ис­тинностных значениях высказываний р и q.

Высказывание истинно в одном случае, когда для каждого значения  выска­зывание  будет истинным.

Предикат  называется истинным, если и только если  – истинное высказы­вание.

Высказывание  истинно в одном случае, когда найдется хотя бы одно значе­ние , при котором высказывание  будет истинным [1].

Эта сводка правил позволяет находить ис­тинностное значение сложного высказывания, если известны истинностные значения состав­ляющих его высказываний. На примерe покажем, как это делается практически:

Таким образом, приведенное высказывание ис­тинно.

Уточним понятие логической истины и познакомимся с методикой проверки логиче­ской истинности данного предложения.

Простейшим типом л-истины является логи­чески истинное высказывание, в которое не входят предикаты и кванторы и которое, сле­довательно, формируется из высказываний с помощью логических связок.

Пример. Если треугольник АВС прямоугольный и равнобедренный, то он прямо­угольный.

Убедимся в том, что нами записана л-истина. Для этого рассматриваемое высказывание символически запишем так: (р/\ q) р. Это высказывание будет л-истиной тогда и только тогда, когда при замене в нем р и q любыми высказываниями будем получать истинные вы­сказывания. Но истинностное значение слож­ного высказывания представляет функцию от истинностных значений составляющих его компонентов. В разбираемом случае этими ком­понентами будут высказывания. Следователь­но, при проверке логической истинности вы­сказывания следует забыть о действительных истинностных значениях компонентов р и q и придать им любые возможные истинност­ные значения. Если при этом окажется, что для любых наборов истинностных значений компонентов мы будем получать истинные вы­сказывания, то мы имеем дело с л-истиной.

Эти элементарные расчеты удобно свести в таблицу. Поскольку для высказываний р и q логически допустимы четыре набора значений (л, и), (и, и), (л, л,), (и, л), то таблица будет иметь вид:

(р/\ q) р

Л ЛИИЛ

И ИИИИ

Л ЛЛИЛ

И ЛЛИИ

_________

1 2 1 3 1

Приведенная таблица называется таблицей истинности для высказывания (p  q)  p. Для таблицы характерно, что столбец под но­мером 3, заполняемый последним, состоит це­ликом из букв «и», что и служит необходи­мым и достаточным признаком логической ис­тинности высказывания (p  q)  p, т. е. принадлежности его к классу л-истин. Понят­но также, что любое высказывание формы (p  q)  p также будет л-истиной, так как его таблица истинности совпадает с приведен­ной. А вот высказывание формы (p  q)  p, как легко проверить, л-истиной не будет.

Общую таблицу истинности для высказыва­ний одной формы называют также таблицей истинности для этой формы.

Метод таблиц истинности позволяет устано­вить логическую истинность и некоторых предложений, содержащих кванторы, но его нельзя рассматривать как универсальный ме­тод распознавания л-истин среди такого рода предложений. Следующие два примера иллю­стрируют это положение.

Пусть значениями для х и у служат действительные числа. Высказывание представляет л-истину, поскольку оно имеет форму (p  q)  p. А высказывание хотя и является л-истиной, как мы убедимся ниже, но метод таблиц истинности оказывает­ся слишком грубым, чтобы обнаружить этот факт. Действительно, если обратить внимание лишь на его построение из высказываний, то мы получим форму р q, которая, оче­видно, не будет формой логической истины, так как в третьем столбце таблицы истинно­сти для таких высказываний присутствует бук­ва «л».

И Л Л И

И И И Л

Л И Л И

Л И И Л

________

1 3 2 1

Выше мы встречались с примерами л-истин, являющихся высказываниями. Рассмотрим теперь логическую истину – предикат ( . Убедимся, что мы записали действительно л-истину. Заменим входящие в предикат двухместные предикаты х у и х > у предикатными символами Р(х, у) и Q(x, у) соответственно, а 1 и 0 – буквами а и b:

(Р(а,b)  Q(x,а)) Р(а,b).

Мы получили форму данного предиката. Та­кую же форму имеет, например, и предикат , где (АВ) и (CD) – конкретные прямые, а х – переменная, значениями которой являются произвольные прямые.

Любой предикат полученной формы будет истинным, так как при допустимой подстанов­ке он обращается в высказывание, представ­ляющее собой л-истину уже встречающегося нам типа (p  q)  p, например, ( ).

При доказательстве логической истинности предложения можно взамен таблицы прибег­нуть к рассуждениям. Покажем на примере, как это делается.

Если а  0 или а > 1, то из а > 0 следует а> 1. Переходя к символической записи, по­лучим .

Будем считать р и q произвольными, но фиксированными высказываниями. Убедимся, что любые высказывания такой формы – ис­тинные высказывания. Действительно, каждое из них может быть ложным только в одном случае, когда посылка в импликации ис­тинная, а заключение ложное. Но этот случай не вмещается в нашу форму, так как при ложном заключении p q обязательно истин­но р и ложно q, что влечет, в свою очередь, ложность посылки .

Для опровержения утверждения, что дан­ное предложение представляет собой л-истину, необходимо и достаточно найти контрпример, т. е. ложное высказывание той же формы, что и предложение.

Пример. Пусть р – треугольник равно­сторонний; q – все углы в треугольнике кон­груэнтны. Составим предложение . За контрпример можно взять высказывание

.

Л И И Л И Л Л Л И

___________________

1 2 1 4 2 1 3 2 1

Логические истины рассмотренного нами ти­па назовем в-логическими истинами. Форма в-логических истин характеризуется тем, что она состоит только из букв и связок и любая в-логическая истина получается из такой фор­мы заменой букв предложениями.

Рассмотрим второй и более сложный тип л-истин, который мы назовем к-логическими истинами. Их логическая структура сущест­венно определяется характером вхождения кванторов.

Пример 1.

Запишем форму/этого предложения:

Убедимся, чтолюбое предложение такой формы истинно. Действительно, допустим противное, что нашлось такое , для которо­го при любом у Р ( , у) – ложное высказыва­ние. Но в таком случае мы получаем противо­речие с посылко; в которой утверждается, что для любого х, в частности и для , найдется у, такое, что Р (х, у) – истинное высказывание.

Пример 2. Некто утверждал, что предло­жение «Если для фигур х и z найдется фигу­ра y, подобная х и z, то х подобна z» равно­сильно предложению «Для любой фигуры у, если х подобна у и у подобна z, то х подобна z». Можно ли логически оправдать это ут­верждение?

Запишем утверждение символически:

Его формой будет следующее выражение:
.

Докажем, что любое предложение такой формы – л-истина. Поскольку при фиксиро­ванных х, z двухместный предикат P(х, z) обратится в высказывание, а трехместный пре­дикат Р (х, у)  Р (y, z) – в одноместный пре­дикат относительно у, то нам достаточно до­казать, что высказывание  истинно.

Разобьем доказательство на два частных случая:

1)     Высказывание ристинно. В этом случае правая и левая части эквивалентности одно­временно истинны.

2)     Высказывание р ложно.

а)     Высказывание  истинно. Тогда левая часть – сложное высказывание. Теперь рассмотрим , для которого  истинно. Тогда  ложно и правая часть также ложное высказывание, а эквивалентность – истинное высказывание.

б)     Высказывание  ложно. Тогда левая часть – истинное высказывание. Но в этом случае при любом y – ложное вы­сказывание, а значит,  – истинное высказывание, и поэтому правая часть экви­валентности также истинное высказывание, как и вся эквивалентность.

Поскольку логические истины целиком характеризуются своей формой, то при систе­матизации, изучении и использовании логиче­ских истин, естественно, обращаются к их формам.

Форма логической истины называется логи­ческим законом (л-законом).

Соответственно, вводятся понятия в-логического закона (в-закона) и к-логического зако­на (к-закона).

Как, например, из закона коммутативности a + b = b + а для сложения действительных чисел подстановкой мы получаем математиче­ские истины 2 + 1 = 1 + 2 и 1,3 + 0,7 = 0,7 + 1,3, так и из логических законов под­становкой в них конкретных предикатов и вы­сказываний мы получаем логические истины.

Приведем список некоторых известных л-законов.

Дополнительно к этому списку л-законов опишем, не вдаваясь в детали, один очень ес­тественный и простой способ образования но­вых л-истин и л-законов из уже известных.

Если в предложении заменить входящие в него простые предложения сложными, то по­лученное предложение называется расшире­нием первоначального.

Расширение л-истины будет опять л-истиной потому, что конструкция расширения из прос­тых предложений с помощью связок и кван­торов начиная с некоторого момента осущест­вляется по программе, предписанной формой начальной л-истины. Например, предложение  будет логи­чески истинным предложением как расшире­ние л-истины .

Аналогично можно говорить о расширении формы предложения вообще и логического за­кона в частности. Очевидно, что расширение л-закона опять будет л-законом [2].

Пример 1. Возьмем закон отделения . Его расширениями будут

л-законы: ,  и т. д.

В этих законах сохранена структура закона отделения, которую удобно изобразить так:   .

Вкратце коснемся вопроса о том, как используется логическая истина в рассужде­ниях. С помощью логически истинных предло­жений истина переносится с одних предложе­ний на другие. Например, если принять за истинные высказывания: «треугольник АВС прямоугольный или равнобедренный»  и «треугольник АВС не равнобедренный» , то из л-истинного высказывания  мы заключаем, что вы­сказывание р также будет истинным.

Но в математических рассуждениях обра­щают на себя внимание две особенности: во-первых, истинность посылок носит чисто ус­ловный характер, и поэтому в математике предпочитают говорить не об истинности предложений, а об отношении следования между ними; во-вторых, математическая тео­рия строится как упорядоченная система ак­сиом, определений, теорем, в которой при до­казательстве последующей теоремы можно пользоваться предыдущими аксиомами, опре­делениями и теоремами.

Поэтому целесообразно говорить, что «пред­ложение р (высказывание или предикат) ло­гически следует из предложений р, г, ..., s», когда импликация  пред­ставляет собой логическую истину и «предло­жение р следует из предложений р, г, ..., s» или «предложение  – те­орема», когда р логически следует из р, г,...s и всех предшествующих аксиом, определений и теорем, принятых или доказанных в рассматриваемой теории.

Приведем простой пример теоремы. Пусть а и b – прямые, лежащие в одной плоскости, и пусть р – прямые а и b параллельны; q – пря­мые а и b совпадают; г – прямые а и b пере­секаются. Тогдa предложение  будет теоремой, так как если внести опреде­ление параллельных прямых  как посылку, то получим логическую истину: .

Выскажем теперь несколько общих за­мечаний и советов учителю, которого заинте­ресовала идея логического закона.

Для удобства разделим логическую подго­товку школьника на три этапа и охарактери­зуем каждый из них.

Подготовительный этап. В процессе об­учения надо обращать внимание на логиче­скую структуру предложении, на то, как в них входят слова «и», «или», «не», «если..., то...», «необходимо», «достаточно», «все», «некото­рые» и другие, постепенно приучать находить ис­тинность или ложность сложных предложений в зависимости от их логического строения и истинностных значений составляющих их предложений. Ученик должен, например, твер­до усвоить, что 5 5  – истинное высказывание.

Краеугольным камнем логической подго­товки ученика, очевидно, следует считать пра­вильное понимание им условного предложе­ния. Он должен без колебаний относить пред­ложения «Если 0 > 1, то 1 = 1» или «Если 0= 1, то 1 = 2» к истинным высказываниям и не должен возмущаться тем, что арифмети­ческий закон х=у  xz = yz справедлив при любых значениях х, у, z, и в частности для х = 1, у = 2, z = 3 или х = 1, у = 2, z = 0.

Многие выпускники средних школ делают грубые ошибки и при выводах, связанных с условными предложениями. Например, из ак­сиомы «Для любых точек А и В, если А В, то найдется прямая, проходящая через А и В» они заключают, что точки или прямые суще­ствуют, а также не могут понять, почему для системы, состоящей из единственной прямой и единственной точки на ней, эта аксиома справедлива.

Обучение логике серьезно облегчается и приносит больший эффект, если в разумных пределах и там, где это дает преимущества, пользоваться логической символикой. Сле­дует обучить школьника записывать символи­чески простые фразы, например «все рацио­нальные числа – действительные числа» или «некоторые действительные числа – рацио­нальные числа», основные логические зако­ны, например  или .

Формирование понятия о логическом законе. Идея логического закона должна формироваться у ученика постепенно, и не сле­дует стремиться к формальным и строгим оп­ределениям. Вначале нужно выделять примеры логических истин, подчеркивая их отличие от не логических, фактических истин. Затем научить замечать общую форму логических истин, прибегая к символике, доказывать про­стые логические законы и опровергать оши­бочные гипотезы о логической истинности предложений.

Выработка навыков использования логи­ческих законов в рассуждениях. Естественно, важнейшим условием успешного решения задачи о логической подготовке школьника следует считать хорошую логическую подго­товку самого учителя. Если учитель глубоко понял идею логического закона, убедился в преимуществах сознательного и явного исполь­зования логических законов в рассуждениях и доказательствах и приобрел соответствующие практические навыки, то он непременно будет уделять должное внимание логической подго­товке своих учеников.

Но пока дело обстоит не так. В педагогиче­ских кругах еще распространено традицион­ное мнение, отводящее логике в школьной ма­тематике в общем-то закулисную роль: ею пользуются, но о ней мало говорят. При та­ком подходе многие ученики, имея смутное представление об отношении следования, спо­собны лишь заучить доказательство, но часто беспомощны в своих попытках самостоятель­но его выполнить. Очевидно, обучение логике должно быть составной частью обучения ма­тематике. Логический анализ доказательств и ошибок в доказательствах, внимание к логи­ческим законам, используемым в доказатель­ствах, специальные логические упражнения и т. д. – все это должно органически вклю­чаться в школьную математику.

В новых стабильных и экспериментальных учебниках заметно вырос удельный вес логи­ческих элементов. Хочется надеяться, что со­вершенствование учебников в этом направле­нии будет продолжаться.

Выводы. Форма предложения кон­струируется из предложений следующим об­разом:

А. Если предложение – бескванторное вы­сказывание, то в нем сохраняют логические связки и скобки, а высказывания заменяют буквами р, q, r, ...

Б. Если предложение содержит кванторы или является предикатом, то в нем сохраняют скобки, переменные, логические связки и кван­торы; заменяют все конкретные предикаты буквами Р, Q, R, ... (с добавлением, если требуется, скобок и запятых), а имена всех кон­кретных объектов – буквами a, b, c ... .

Два предложения имеют общую форму, если они одинаково составлены из высказываний, предикатов, логических связок, кванторов и диен конкретных объектов. Предложение называется логически истинным, если оно истин­но одновременно со всеми предложениями, имеющими с ним общую форму.

Форма логически истинного предложения называется логическим законом. Многолетний опыт работы в педагогическом институте убедил авторов в том, что идеи логи­ческой истины и логического закона в их се­мантическом толковании с успехом могут быть приняты за центральные и унифицирующие идеи логической подготовки школьника и учи­теля.