Computer support of geometry course in higher school

Важной задачей совершенствования процесса преподавания геометрии в вузе является усиление приоритета развивающей функции обучения по отношению к информационной на основе использования компьютерных технологий, дополняющих традиционные дидактические средства. В настоящее время стандартные методы компьютеризации обучения, ограничивающиеся алгоритмическими языками программирования, уступают место интегрированным продуктам – компьютерным математическим системам (КМС), объединяющим возможности компьютерной алгебры и универсальной вычислительной среды. К таким системам, в частности, относятся пакеты Maple, MathCAD, Mathematica, Maxima, позволяющие решать достаточно сложные задачи, не вдаваясь в тонкости программирования, конструировать и исследовать геометрические объекты в режиме диалога.

В основу проектирования математических пакетов положен принцип компьютерного моделирования деятельности, направленной на поиск, отображение и анализ сущностных характеристик геометрических фигур. Компьютерное моделирование является активным методом обучения геометрии, поддерживающим деятельностный подход к учебному процессу и придающим качественно иную специфику характеру учебно-познавательной деятельности студентов [1, 2]. Результатом компьютерной поддержки процесса обучения геометрии является развитие логики, пространственного воображения, формирование конструктивных и исследовательских навыков [3].

Данная статья посвящена обзору возможностей реализации метода компьютерного моделирования в практике обучения геометрии будущих бакалавров педагогического образования.

Организацияучебной деятельности будущих учителей математики осуществляется нами в рамках лабораторного практикумапо решению геометрических задач в среде КМС Mathematica. Преимущество лабораторных занятий в сравнении с другими организационными формами обучения состоит в интеграции теоретико-методологических знаний и практических умений в единый процесс деятельности учебно-исследовательского характера. Тем самым лабораторный практикум обеспечивает единство содержательной и процессуальной сторон обучения, мыслительной и практической деятельности.

Можно выделить следующие дидактические функции лабораторного практикума по геометрии с применением компьютерной системы Mathematica:

-          мотивационно-стимулирующая функция – развитие познавательного интереса, внутренней мотивации к изучению курса геометрии, что обеспечивается созданием ситуации включения студентов в деятельность по исследованию и преобразованию моделей геометрических объектов;

-          обучающая функция – оптимизация процесса усвоения геометрических знаний (закрепление, углубление, систематизация; проверка научно-теоретических положений экспериментальным путем);

-          развивающая функция – развитие пространственного и логического мышления будущих учителей математики;

-          рефлексивная функция – лабораторные занятия с применением КМС Mathematica способствуют осознанию студентом себя как субъекта деятельности, формированию потребности анализировать, контролировать и корректировать свои действия, оценивать их результаты.

Остановимся подробнее на мотивационно-стимулирующей функции лабораторного практикума по геометрии. Важнейшим аспектом организации учебной деятельности является перевод поставленных преподавателем целей в побуждения развивающейся личности, в ее внутренние устремления – мотивы. Только тогда объективно значимая цель учения становится личностно значимой, субъективно принятой студентом.

Формирование познавательных мотивов обеспечивается совокупностью методических приёмов, психологическим механизмом воздействия которых является переживание внутреннего противоречия между знанием и незнанием, стимулирующее познавательную активность. В традиционном процессе обучения геометрии таким приёмом выступает историчность − привлечение сведений из истории возникновения геометрических объектов. Например, при знакомстве с различными типами плоских линий будущим учителям математики будет интересен тот факт, что знаменитый астроном Джованни Доменико Кассини полагал: линия, заданная уравнением , точнее представляет орбиту Земли, чем эллипс. Данная гипотеза не подтвердилась, однако введенная учёным кривая – овал Кассини − стала предметом многочисленных исследований.

В рамках лабораторного практикумапо геометрии возможности развития познавательного интереса значительно расширяются. Во-первых, этому способствуют новые условия учебной деятельности − интерактивность среды Mathematica и визуализация геометрических объектов. Например, для иллюстрации циклоиды (линии, образованной вершиной катящегося квадрата) может быть использована графическая галерея КМС Mathematica (рис. 1).

Рис. 1

Во-вторых, на лабораторных занятиях по геометрии у будущих учителей появляется возможность осуществлять поиск необходимых материалов в базе данных системы Mathematica, что способствует формированию потребности в поисковых действиях. Так, студенты могут найти и анимировать поверхность, имеющую седловую точку (рис. 2), или просмотреть серию топологических преобразований цилиндра (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

В-третьих, работая с электронным документом КМС Mathematica, будущие бакалавры имеют возможность самостоятельно корректировать свою деятельность − анализировать и исправлять допущенные ошибки − благодаря наличию обратной связи, в результате чего совершенствуются навыки самоконтроля. Тем самым устраняется одна из причин отрицательного отношения к учебе − неуспех, обусловленный непониманием сути проблемы, пробелами в знаниях.

Наконец, применение КМС Mathematica способствует реализации прикладной направленности обучения геометрии − установлению содержательной и методологической связи курса с практикой. Например, при изучении параметрически заданных плоских линий будущим учителям предлагается вывести уравнения и построить фигуру Лиссажу, наблюдаемую на экране электронного осциллографа, когда на его входы X, Y подаются синусоидальные сигналы с кратными частотами (см. рис. 4).

Лабораторный практикум реализуется нами в процессе изучения курса по выбору «Решение задач аналитической и дифференциальной геометрии с применением системы Mathematica», дополняющего основной курс геометрии. Главной целью данной дисциплины является совершенствование геометрической подготовки будущих учителей математики на основе применения метода компьютерного моделирования.

Рис. 4

Рассмотрим основные возможности компьютерной поддержки обучения геометрии на примере лабораторного занятия по теме «Канонический репер и сопровождающий трёхгранник кривой». Целью занятия является обобщение и систематизация знаний по дифференциальной геометрии кривых, а также формирование умения решать задачи различных типов с применением понятий канонического репера и сопровождающего трёхгранника.

Начальный этап лабораторного занятия посвящён работе над понятиями касательной к кривой, главной нормали, бинормали. Преподаватель предлагает студентам объяснить взаимное расположение указанных прямых в произвольной точке пространственной линии и сделать на доске соответствующий чертёж с указанием направляющих векторов  (рис. 5).

Рис. 5

Учащиеся дают определение канонического репера кривой и напоминают формулы для отыскания его векторов ( ; ; ). В свою очередь педагог отмечает, что касательная, главная нормаль и бинормаль образуют подвижный триэдр пространственной кривой в заданной её точке.

Важной задачей преподавателя на начальном этапе занятия является формирование у студентов положительной мотивации, обусловливающей осознание и принятие ими цели учебной деятельности. Будущим учителям будет интересно узнать, что понятие канонического репера связано с именем французского математика, профессора Лионского университета Жана Фредерика Френе (1816−1900), нашедшего соотношения между направляющими косинусами касательной, нормали и бинормали. Метод сопровождающего трёхгранника был развит Г. Дарбу, Л. Эйлером, Э. Картаном. Понятие подвижного триэдра играет существенную роль в приложениях дифференциальной геометрии − геометрической оптике (в формулировках основных законов преломления и отражения световых лучей) и механике (при изучении реакций, испытываемых материальной точкой, движущейся по гладкой линии).

Организовав повторение основных понятий по теме, устранив при необходимости пробелы в знаниях и ошибочные представления, преподаватель предлагает студентам следующие типовые задачи: 1) на построение пространственной линии; 2) на построение канонического репера кривой; 3) на построение сопровождающего трехгранника. В процессе их решения будущие учителя актуализируют соответствующие предметные умения; знакомятся с функциональными возможностями КМС Mathematica, позволяющими значительно снизить трудоемкость вычислительного процесса и сосредоточиться на графическом результате. У студентов появляется возможность «увидеть» линии, элементы подвижного триэдра, сопровождающего трехгранника в точке кривой, построив их компьютерные модели. Решение указанных задач учащиеся осуществляют в окне своего документа в среде Mathematica. Преподаватель оказывает консультативную помощь по вопросам работы в среде компьютерной системы.

Задача 1. Построить винтовую линию и её проекции на координатные плоскости.

При решении данной задачи используется такая возможность пакета Mathematica, как создание геометрического образа. Фигура (винтовая линия), заданная в знаково-символическом виде функциями, визуализируется и наблюдается в динамике посредством перехода из графического режима в символьный. Другая возможность − исследование свойств геометрического объекта путем построения его проекций − обеспечивается функцией Shadow подпакета `Graphics3D`. На рис. 6 с помощью Shadow[g] построена винтовая линия и три её проекции на взаимно перпендикулярные плоскости.

Рис. 6

Задача 2. Найти координатные векторы канонического репера линии  и построить подвижный триэдр в произвольной точке.

Решение осуществляется средствами системы Mathematica: 1) вводится радиус-вектор кривой ; 2) вычисляются координаты  в точке  (выбирается произвольно); 3) вычисляются координаты единичных векторов , , ; 4) создается геометрический образ с помощью функции ParametricPlot3D.

В процессе решения задачи студенты используют возможность изменения положения геометрического объекта по отношению к точке наблюдения с помощью команды <<RealTime3D`,позволяющей вращать трёхмерный объект и одновременно управлять его размерами. На рис. 7 изображен стоп-кадр вращения заданной линии вместе с подвижным триэдром в точке t₀= .

Рис. 7

Задача 3. Построить сопровождающий трёхгранник винтовой линии  в точке t₀ = π.

Решение задачи осуществляется в среде системы Mathematica: 1) нахождение точки М₀(-3,0,4π), соответствующей значению параметра t₀ = π; 2) нахождение координат векторов канонического репера: , , ; 3) последовательное построение винтовой линии (g1), соприкасающейся плоскости (g2), нормальной плоскости (g3), спрямляющей плоскости (g4) по их параметрическим уравнениям (см. рис. 8).

В процессе решения этой задачи в системе Mathematica имеется возможность исследования свойств геометрической фигуры в зависимости от изменений входящих в её уравнение параметров. Так, меняя значения параметра t₀, студенты «прослеживают» движение сопровождающего трехгранника вдоль винтовой линии.

Отметим, что на начальном этапе лабораторного занятия преподавателем применяются преимущественно объяснительно-иллюстративный и репродуктивный методы обучения. В то же время метод компьютерного моделирования в среде КМС Mathematica находит широкое применение: от визуализации пространственной кривой и элементов сопровождающего трёхгранника до исследования взаимного расположения трёхгранника и линии в зависимости от текущих координат точки.

Рис. 8

На поисково-исследовательском этапе лабораторного занятия преподаватель организует процесс решения блока геометрических задач разного уровня трудности.

Задача репродуктивного уровня. Построить подвижный триэдр для кривой Вивиани .

Эта задача является типовой, её решение можно представить в виде алгоритмического правила, известного студентам: вводится радиус-вектор кривой ; вычисляются координаты  в точке  (выбирается произвольно); вычисляются координаты , , ; последовательно строятся по параметрическим уравнениям кривая Вивиани (g1), касательная (g2), бинормаль (g3), нормаль (g4) (см. рис. 9). Учебная деятельность студентов при этом носит репродуктивный характер: формируется умение составлять и реализовывать план решения задачи.

Задача реконструктивно-вариативного уровня. Построить соприкасающуюся и нормальную плоскость кривой  в точке (3,3,18).

Решение начинается с выявления структуры задачи (данных, искомых, отношений между ними) и соотнесения её с имеющимися знаниями. Студентам известен способ построения касательной и нормали к параметрически заданной кривой, в данной же задаче требуется незначительная перестройка этого способа − сначала перейти к произвольной параметризации линии, а затем воспользоваться формулами для нахождения направляющих векторов искомых плоскостей (см. рис. 10). Учебная деятельность студентов при решении данной задачи характеризуется низкопродуктивным уровнем: у будущих учителей формируется умение ставить цель, выстраивать программу умственных действий, осуществлять коррекцию мыслительного поиска.

Рис. 9

Рис. 10

Задача эвристического уровня. Выяснить взаимное расположение главных нормалей кривой  во всех её точках и плоскости yOz.

В процессе организации деятельности студентов по решению подобной задачи реализуется проблемный метод обучения. Сформулированная проблема включает в себя две частные: 1) каково взаимное расположение главной нормали кривой в данной точке и плоскости yOz? 2) зависит ли это расположение от координат точки линии? Для успешного решения поставленной задачи студентам необходимо выдвинуть гипотезу о параллельности главной нормали кривой и плоскости yOz; составить план проверки гипотезы (построить нормаль, найти скалярное произведение векторов  и , выяснить его зависимость от координат текущей точки кривой).

Рис. 11

Задача высокопродуктивного уровня. Доказать, что все главные нормали винтовой линии лежат на поверхности . Выяснить форму и положение этой поверхности.

Цель данной задачи задана в достаточно сложных условиях ее достижения, способ решения прямо не выводится из положений задачи, а «конструируется» на их основе.

На контрольном этапе лабораторного занятия преподаватель осуществляет проверку электронных документов с решёнными задачами (в силу сложности задач оформлять их решение в тетради необязательно), задает контрольные вопросы, выставляет отметки.

На итоговом этапе занятия педагог объявляет отметки, анализирует работу студентов в аудитории, указывая на недостатки и типичные ошибки. Большое значение при этом имеет побуждение студентов к самооценке и рефлексии путём постановки следующих вопросов: «Что нового вы открыли для себя?», «Как вы оцениваете собственную работу на занятии? Проанализируйте свои успехи и неудачи в течение занятия», «Как Вы собираетесь использовать полученные знания и умения в будущей профессиональной деятельности?»

Метод компьютерного моделирования в среде КМС Mathematica выступает эффективным средством совершенствования геометрической подготовки будущих учителей математики. Мультимедийные возможности компьютерной системы способствуют развитию познавательного интереса, делают процесс учения увлекательным, разнообразным. Возможность экспериментирования, исследования геометрических объектов позволяет выявлять существенные взаимосвязи в структуре задачи и на этой основе строить содержательные обобщения, конструктивные выводы, способствуя тем самым развитию у студентов логического мышления. В то же время возможность наглядного представления сложных геометрических форм в соответствии с аналитическими рассуждениями обеспечивает развитие у будущих учителей пространственного воображения.