Modifying Tasks as a Tool for Teaching Mathematical Problem Solving

Введение / Introduction

Современные тенденции в образовании ориентированы не только на усвоение предметных знаний, но и на развитие у учащихся гибкости и вариативности мышления, способности адаптироваться к быстро изменяющимся условиям, творчески подходить к решению любых задач.  При этом можно отметить определенные особенности мышления и восприятия у школьников цифрового поколения. В своем исследовании Г. В. Акименко отмечает, что, воспринимая информацию небольшими порциями-фрагментами, современные ученики строят процесс решения задач шаблонно [1]. Многолетний опыт работы со старшими школьниками и студентами показывает, что выбор шаблона зачастую осуществляется не на основе анализа авторитетности источника, а исходя из критерия кажущейся простоты метода. На данный момент в интернет-пространстве широко распространены «уникальные методы» решения сложных задач и мнемонические упрощения («лайфхаки»). Они рекламируют возможность успешного решения любой задачи без необходимости глубокого усвоения теоретического материала и запоминания формул. Так, А. Щетников, один из авторов курса «Просто математика», с одной стороны, прав, когда говорит, что любой материал необходимо понимать, но с другой стороны, его утверждение о том, что запоминания требует лишь таблица умножения, весьма спорно [2]. Ту же позицию рекламирует онлайн школа «Сотка». Этот проект позиционирует себя как резидент Сколково, поддерживаемый государством. Одним из преимуществ обучения в данной школе заявляется тот факт, что молодые и современные преподаватели работают, используя шутки и мемы при объяснении сложных тем, тем самым поддерживая интерес к предмету без заучивания большого количества правил, формул и определений [3]. На наш взгляд, позиционируемая кажущаяся легкость решений представляет из себя большую проблему, так как способствует формированию поверхностного восприятия материала, без его глубокого осмысления и понимания, ограничивает формирование прочных предметных знаний и тормозит развитие критического мышления. Кроме того, важно иметь ввиду, что использование даже самых эффективных шаблонов и «лайфхаков» предполагает необходимость их запоминания, что зачастую не учитывается школьниками. Е. И. Сахарчук отмечает в своей работе, что широкое распространение «лайфхаков» влечет за собой еще одно явление – многие преподаватели, понимая и принимая, что любой мем заинтересует аудиторию быстрее, чем нудное доказательство полезной теоремы, начинают увлекаться созданием излишней привлекательности излагаемого материала. Это неминуемо ведет к потере концентрации внимания, как только материал перестает быть развлекательным [4]. В объяснение любой сложной темы можно привнести элемент игры. Внедрение методики решения серий модифицированных задач как нельзя лучше может подходить для этой цели. Например, на ее основе можно устраивать математические эстафеты. О роли игровых элементов на уроках математики рассказывает в своей работе А. Н. Колобов. Он выделяет три вида игр, которые педагог проводит на уроках:

‒         обучающая – игра, в которой школьники приобретают знания, умения и навыки;

‒         контролирующая – игра, в которой школьники закрепляют, повторяют и демонстрируют новые полученные знания;

‒         обобщающая – игра, которая требует от обучающихся интеграции знаний, установления межпредметных связей, направленных на совершенствование умений действовать в различных учебных ситуациях.

При этом автор отмечает, что игровые элементы займут в структуре урока нужное место только в том случае, если учитель будет четко и правильно понимать функции и классификации деловых игр [5].

Параллельно с этим в последние 20 лет широкое распространение получили сборники готовых домашних заданий (ГДЗ). Л. Г. Зверева обращает внимание на то, что многие из них отличаются достаточно высоким качеством содержащегося в них материала [6]. Изначально одна из причин появления ГДЗ носила прагматичный и благонамеренный характер: многие родители не успевают за изменением и усложнением школьной программы и не могут адекватно оценить правильность выполнения домашней работы их детьми. Концепция ГДЗ звучала как появление вспомогательного ресурса для занятых родителей и самостоятельно занимающихся детей. Однако на практике изначально позитивная идея трансформировалась в массовое производство легализованных шпаргалок. Учитель задает домашнее задание, ученик прилежно и бездумно списывает его решение из сборника ГДЗ.

И. В. Серафимович в своем исследовании отмечает, что последние несколько лет учащиеся всех уровней образования все интенсивнее используют технологии искусственного интеллекта (ИИ), что становится вызовом для традиционной системы образования, заставляя пересматривать форматы заданий и методы оценки результатов обучения [7].

Отрицать и запрещать использование упомянутых средств нельзя. Можно констатировать, что и ГДЗ, и «лайфхаки», и ИИ в ряде случаев способны облегчить процесс проверки и решения некоторых задач. Однако существует ряд ограничений, которые следует учитывать. В частности, эффективное использование ИИ возможно только тогда, когда человек уже сам обладает определенными компетенциями (знаниями, умениями, навыками). Грамотное формулирование запроса для нейросети (промптинг), фактически, подсказки для нее, возможно тогда, когда его автор уже имеет знание о том, какой результат он хочет получить [8].

Обобщая все сказанное выше, можно сделать вывод, что перед современным педагогом стоит сложная дидактическая задача: научить учащихся решать нестандартные проблемы, используя стандартные алгоритмы как инструмент, а не как шаблон. Ключевым условием для этого становится развитие у школьников критического мышления, в частности, способности адекватно оценивать достоверность решений, предлагаемых нейросетями. Осознанное сочетание личного опыта и внешних данных, проанализированных на его основе, позволит добиться качественного образовательного результата. Решение поставленной проблемы невозможно без умения решать задачи. Мы в своей предыдущей работе [9] отмечали, что на момент получения основного общего образования даже у подростков, которые дополнительно интересуются математикой и стараются получить по ней как можно больше знаний и умений, умение решать математические задачи сформировано на низком уровне. Поэтому нами была поставлена цель – разработать и апробировать методику использования модифицированных заданий на уроках математики, направленную на повышение уровня сформированности навыков решения задач у учащихся. В этом контексте особый интерес представляет методический прием модификации заданий, позволяющий трансформировать стандартную математическую задачу в серию задач различной сложности, частично изменяя компоненты ее условия. Данный подход способствует более глубокому пониманию основных математических понятий и методов, формированию исследовательских навыков и подготовке учащихся к решению нестандартных задач, встречающихся как в рамках школьной программы, так и на олимпиадах и конкурсных испытаниях, включая ЕГЭ. Под модификацией задачи мы будем понимать частичное изменение данных задачи или добавление новых данных, ведущее к качественным изменениям процесса решения, увеличения вариантов / способов решения или ведущих к возможности отсутствия решения.

Для достижения цели были выделены следующие задачи:

‒          Выявить и описать приемы модификации математических заданий.

‒          Продемонстрировать механизм процесса модификации математических задач на примере разработанной и апробированной серии модифицированных заданий по теме «Логарифмические уравнения».

‒           Оценить влияние процесса модификации математических задач:

1)       на качество предметных знаний (результативность решения задач);

2)       сформированность познавательных универсальных учебных действий (анализ, сравнение, обобщение, моделирование);

3)       развитие гибкости и вариативности мышления учащихся;

4)       снижение математической тревожности и повышение учебной мотивации.

Обзор литературы / Literature review

В своем исследовании мы опирались на работы как отечественных, так и зарубежных ученых: педагогов, методистов, психологов, так как процесс решения любой задачи необходимо рассматривать с трех ключевых позиций: психологической, методической и математической.

В основе всех современных исследований развития мышления в обучении лежат идеи Л. С. Выготского. Л. С. Выготский вводит понятие высших психических функций, зоны ближайшего развития, рассматривает взаимосвязь мысли и слова. Большая часть работы преподавателя происходит в зоне ближайшего развития. Опираясь на то, что ученик уже может сделать сам, выстраивая математический диалог, оказывая ему психологическую поддержку, грамотный преподаватель создает «мост» для перехода ученика на новый уровень, которого он пока не может достичь в одиночку [10]. Подобная работа требует от преподавателя большого мастерства. Это и индивидуальная работа с обучающимися, и разработка дидактических материалов с учетом того, в какой из зон развития находится каждый ученик, и выбор методики подачи материала.

С психологической точки зрения, процесс решения задач представляет собой комплексную когнитивную деятельность, опирающуюся на ряд психических функций и состояний. Согласно классической работе К. Дункера, данный процесс не является линейным и включает несколько фаз: осознание проблемы, формирование и апробация гипотез, нахождение решения и его верификация [11]. П. Я. Гальперин описывает путь формирования умственных действий как последовательный переход от освоения действий с предметами через действие в плане слышимой речи к перенесению действия в умственный план. Он выделяет 5 этапов этого процесса:

1. Составление предварительного представления о задании.

2. Освоение действия с предметами.

3. Освоение действия в плане слышимой речи.

4. Перенесение действия в умственный план.

5. Окончательное становление умственного действия [12].

В рассуждениях Дункера и Гальперина много общего. Хорошо, если преподаватель понимает, как много операций происходит в голове каждого ученика от момента предъявления задачи до момента созревания пути ее решения. В аудитории всегда присутствуют те, кто может ответить на вопрос почти мгновенно, и те, кто обдумывает каждый шаг и не способен быстро выдавать решение. По нашему мнению, задача преподавателя состоит в том, чтобы построить диалог так, чтобы быстрое решение проблемы одними учениками не вело к потере интереса поиска решения теми, кто думает медленнее, и наоборот: чтобы те, кто приступает к решению с трудом, не тормозили тех, кто бежит вперед. Вопрос сочетания развития у учащихся нестандартного подхода к решению задач и необходимость ими же успешного прохождения итогового экзамена, состоящего в большинстве своем из задач стандартных, является весьма актуальным, причем не только для российских преподавателей, но и для зарубежных коллег. Американский педагог К. Э. Томлинсон в своей работе рассказывает, как распределить время, ресурсы и усилия для эффективного обучения большого количества учеников с разным уровнем подготовки, навыков и интересов.  Опираясь на результаты исследований и более чем 15-летний опыт работы во всех типах школ, Томлинсон не только объясняет теоретические основы дифференцированного обучения, рассматривает факторы, влияющие на учебную программу и среду обучения, но и делится десятками стратегий преподавания, рассказывает о том, как учителя начальных и средних школ применяют принципы и стратегии дифференциации, чтобы удовлетворить потребности всех учащихся [13]. 

Интересна концепция «гибкого мышления» К. С. Дуэк – американского психолога, профессора Стэнфордского университета. Свои исследования команда К. С. Дуэк проводила на протяжении более 30 лет, в них приняли участие около 400 детей. Дуэк говорит о двух основных типах людей:

‒         настроенных на рост (то есть обладающих гибким мышлением);

‒         настроенных на данность (то есть обладающих фиксированным мышлением, fixed mindset).

Люди с фиксированным мышлением считают, что их интеллектуальные способности изначально ограничены природой, избегают сложных задач, боятся неудач. Но при этом к этому же типу людей Дуэк относит тех, кто считает себя лучше, умнее и талантливее других, не предпринимая при этом никаких попыток к развитию своего таланта. Похвала должна касаться не личных качеств ребенка, а его усилий и достижений – вот эта замечательная установка, по мнению Дуэк, и должна исправить вектор направленности развития мышления [14]. Среди учеников физико-математических классов старшей школы достаточно много примеров людей с фиксированным мышлением. Это и «вечные отличники» – те, кто получает оценки по привычке: учитель привык, что этот ученик всё учит и всё делает, а ученик привык, что к нему испытывают полное доверие, и не совсем ответственно подходит к выполнению заданий. К ним же относятся и ребята, которые не верят в свои силы на фоне достижений более успешных одноклассников. Серии модифицированных задач – это средство, которое может помочь пересилить страх неудачи и послужить катализатором развития «гибкого мышления».

Важные вопросы поднимает в своей работе В. В. Сибирев. Поиск решения трудной задачи он исследует, как кризис, с позиции внутреннего наблюдателя. В период кризиса заявляется наличие шести горизонтальных информационных потоков, каждый из которых разделен на шесть шагов, отвечающих функциям управления. В.В. Сибирев утверждает, что прерывание процесса решения задачи происходит в основном на последних шагах потоков. Нам важно, что среди внутренних причин прерывания он отмечает недостаток энергии и ресурсов у решающего, трудоемкость и трудозатратность решения, недооценку значимости и невыполнение некоторых шагов процесса, функционально-смысловую нагрузку некоторых шагов, подразумевающую прекращение поиска решения, как один из возможных выборов системы [15]. В своем исследовании А. В. Камышов отмечает, что типична и другая ситуация, когда возникшая идея является нерациональной, но ученик боится ее потерять и поменять. Он продолжает упорствовать в развитии «плохой» идеи. Это приводит к появлению в решении задачи излишних (и совершенно ненужных) нагромождений, которые не позволяют школьникам получить правильный ответ [16]. Ученые факультета психологии Базельского университета В. Мёринг и др. связывают процесс прерывания решения с высоким уровнем математической тревожности, который зависит от различий в нейронной активности обучающихся, с одной стороны, и от личностного отношения к предмету – с другой [17]. Максимальное количество прерываний мы наблюдаем при решении обучающимися задач с параметрами. Когда ученик настолько устает либо от поиска решения, либо от реализации нерационального решения, что, подходя вплотную к ответу, бросает практически решенную задачу. Решая серию небольших заданий, ученик постепенно учится доводить каждый шаг до конца, порой рассматривая его с различных точек зрения. Тем самым вероятность решения любой задачи от начала до конца многократно возрастает, а упорство в реализации «плохой идеи» замещается умением находить и анализировать новые.

С методической точки зрения, помощь учителя ученику при решении задачи представляет собой структурированный процесс содействия, направленный на активизацию собственного потенциала обучающегося. С нашей точки зрения, цель хорошей методики заключается не в предоставлении готовых ответов, а в обеспечении субъекта инструментами и знаниями для самостоятельного поиска решения. Наиболее универсальной и признанной методикой решения задачи до сих пор является алгоритм Дж. Пойа, который выделяет 4 этапа ее решения (стоит обратить внимание, насколько эти 4 этапа перекликаются с фазами, выделяемые К. Дункером и П. Я. Гальпериным).

1. Понимание проблемы. Необходимо добиться того, чтобы решающий мог своими словами сформулировать условие, идентифицировать известные и неизвестные данные, выделить ключевые элементы и цель. На этом этапе применяются вопросы: «Что тебе известно?», «Что требуется найти?», «Можешь ли ты переформулировать задачу?».
2. Составление плана решения. На данном этапе осуществляется поиск связи между данными и искомым. Учитель помогает решающему актуализировать релевантные знания («Встречались ли тебе ранее похожие задачи?», «Какие теоремы или методы можно применить?»), стимулирует выдвижение гипотез и выбор стратегии (с конца, с начала, по аналогии, рассуждение от противного).
3. Осуществление плана. Решающий последовательно реализует выбранный план. Роль учителя – контролировать точность и обоснованность каждого шага, следить за логической строгостью и соблюдением правил.
4. Анализ (ретроспекция) и верификация решения. Критическая оценка полученного результата: проверка соответствия ответа условию, поиск альтернативных, более изящных путей решения, обобщение и рефлексия. Вопросы, которые помогают на этом этапе и которые целесообразно задать учащемуся: «Можешь ли ты проверить результат?», «Можно ли решить задачу иначе?», «Какую общую закономерность ты обнаружил?» и т. п.

Данный методический подход формирует у индивида метакогнитивные умения: способность планировать, контролировать и оценивать собственную мыслительную деятельность. Видим, что в основе данной методики лежит умение учителя задавать правильные вопросы и добиваться разумных ответов на них [18].

О необходимости и пользе учебного диалога рассуждает и В. А. Далингер. В своей работе он проводит анализ различного вида вопросов, таких как условные и безусловные, «ли-вопросы», «что-вопросы» и др. Показывает особенности вопросно-ответных процедур в зависимости от описанных в учебных текстах типов суждений: общеутвердительные, частноутвердительные, общеотрицательные и частноотрицательные. В. А. Далингер отмечает, что задача преподавателя как раз и состоит в том, чтобы найти наиболее оптимальное сочетание вопросов соответствующего типа, ведущее к позитивному учебному диалогу [19]. Интересна работа А. Н. Поддьякова, в которой он говорит о возможности достижения высоких результатов в обучении через осознанную провокационную деятельность педагога. По сути – это методика, также основанная на умении задавать вопросы, но такие вопросы, ответы на которые требуют обоснованной защиты и вновь ведут к учебному диалогу. Поддьяков приводит различные примеры вопросов преподавателя, как конструктивных – ведущих к позитивной деятельности учащихся, так и деструктивных – ведущих к потере интереса к предмету и возможному формированию страха перед ним. Последнее в работе преподавателя также очень важно. Ситуации, когда обучающийся теряет интерес к предмету из-за невозможности доказать свою правоту, к сожалению, происходят нередко [20].

На немаловажный аспект обращает внимание Б. К. Турчевская. Несмотря на то, что она рассуждает о необходимости и полезности вопросов при обучении студентов философии, ее выводы полезны при обучении любому предмету. Б. К. Турчевская замечает, что диалог может быть полезен лишь в том случае, если его участники «говорят на одном языке», то есть одинаково понимают все термины вопроса и ответа [21]. Влияние базовых когнитивных процессов на способности обучающихся решать математические задачи, в частности, взаимосвязь между базовой когнитивной обработкой (языковой и зрительно-пространственной системами) и решением текстовых задач рассматривают в своем исследовании С. Чен, К. Лю и др. из Пекинского педагогического университета. Способность решать текстовые задачи на раннем этапе обучения имеет решающее значение для успешного дальнейшего обучения математике. При этом все простейшие текстовые задачи имеют описательную структуру, поэтому перед учеником возникает две проблемы – обработка лингвистической и математической информации [22].

И. В. Кисельников, анализируя устойчивые ошибки при решении сюжетных математических задач, обращает на важную роль проверки результата при решении любого задания и осознания его истинности [23].

Обобщая рассуждения Дж. Пойа, В. А. Далингера, А. Н. Поддьякова, Б. К. Турчевской, И. В. Кисельникова, можно подвести итог. Для того чтобы научить ученика успешно решать задачи, необходимо научиться корректно задавать вопросы. При этом можно провоцировать обучающегося, можно направлять по ложному пути. Но не для того, чтобы вводить в заблуждение, а для того, чтобы он понял ключевые точки своих возможных ошибок. Что же как не игра может помочь преподавателю в решении столь трудной задачи? Французский политик и математик Ш. Лезан в своей книге «Развитие математической инициативы» дает очень полезные советы, которые не потеряли своей актуальности и через сотню лет. Вот некоторые из них: основной принцип преподавания – «сохранять видимость игры, уважать свободу ребенка, поддерживая иллюзию (если есть таковая) его собственного открытия истины»; «избегать в первоначальном воспитании ребенка опасного искуса злоупотреблением упражнениями памяти» [24], ибо это убивает его врожденные качества; обучать, опираясь на интерес к изучаемому. Ш. Лезан приводит множество примеров, наглядно показывая, как сделать обучение математике более эффективным, опираясь на явную заинтересованность учащихся процессом обучения.

Зачастую большое количество учащихся в аудитории не получают необходимой поддержки для усвоения даже базовой программы, и, пока учитель пытается решать эту проблему, происходит вынужденное торможение мотивированных и академически успешных школьников. У преподавателей просто физически не хватает на них сил и времени. В связи с этим многие авторы говорят о необходимости изменения принципов учебного процесса. Например, на этот факт в своей работе обращает внимание Я. И. Кузьминов [25]. Интересен опыт из Чжэцзянского педагогического университета. Н. Рехман и др. показали, как проблемно-ориентированное обучение через математические проекты повышает эффективность математического образования. Одним из преимуществ проектной деятельности авторы указывают командную работу, коллективные идеи и сотрудничество, что позволяет повышать и развивать математический уровень всех участников проекта [26]. С нашей точки зрения, улучшить качество учебного процесса может применение методики модификации заданий. Когда ученик не может решить поставленную перед ним задачу – первую, вторую, третью, – то постепенно он теряет веру в себя и, как следствие, интерес к предмету. Если задача превращается в серию модифицированных задач от простого к сложному, то это позволяет ученику (при соответствующем построении серии), постепенно переходя от одной (в самом начале – простой) задачи к другой, более сложной, оказаться на вершине – он решает сложную задачу. При этом модификация может идти не только по пути постепенного усложнения, задачу можно сразу разветвлять на задачи, которые, не усложняя ее, отличаются формулировкой, подходом к решению и т. п., а это уже другой вариант работы с обучающимися.  

В работе известного психолога Р. Нисбетта обсуждается мысль о том, что не всегда высокие математические способности ведут к успешности в жизни. Он говорит, что можно с легкостью решать сложные математические задачи, иметь высокий IQ, но теряться в обычных жизненных ситуациях. Решения, основанные на здравом смысле, порой приводят к ошибкам и печальным результатам… Хорошая новость в том, что мы способны не вестись на уловки «здравого смысла» и научиться мыслить ясно и критически, говорит Нисбет. Р. Нисбет выступает за то, что все события должны объясняться на базовом уровне, основной девиз, лежащий в основе любой, даже самой сложной теории, должен быть «не усложняй». Сложные объяснения ведут к путанице, решение любой задачи должно основываться на минимально возможном количестве идей, сформулированных с максимальной простотой. И в этом мы с ним абсолютно согласны, но львиную долю при разрешении любой проблемы или задачи Нисбет отводит интуиции и подсознанию, давая рекомендации периодически оставлять правила в стороне [27].

В современном мире невозможно отрицать существование и влияние на все сферы жизни ИИ и нейросетей. Они стали таким же технологическим базисом, как когда-то электричество или интернет. Как бы мы ни хотели это оспорить, современные школьники используют различные виды цифровых инструментов при решении различных задач. Именно поэтому понятен интерес многих современных исследователей к вопросам использования цифровых технологий в образовании. Возможности использования GPT для классификации, составления уравнений и генерации текстовых задач обсуждают в своей работе М. Дзун и Б. Кришнамачари [28]. Вопросам необходимости совершенствования и обучения нейросетей генерации математических задач и преодолению шаблонности их условий для развития креативного и исследовательского мышления у учащихся посвящают свою работу Я. Чанг и др. специалисты по машинному обучению Центрального китайского педагогического университета [29].

Многие современные исследования, и наши в том числе, показывают, что выпускники 9-х классов плохо решают нетиповые задачи, выпускники средней школы не подготовлены для дальнейшего обучения в вузе на должном уровне. Вопрос недостаточности развития умения решать задачи выпускниками 9-х классов мы поднимали в своем предыдущем исследовании [30]. Негативная статистика отсутствия умения решать задачи и ее влияние на обучение на первом курсе университета обсуждается в работе Е. И. Ежова [31]. На плачевные результаты мониторинга формирования функциональной грамотности обращает внимания в своей работе О. Б. Логинова [32].

Вопрос качественного обучения старшеклассников решению задач по-прежнему актуален и решен в недостаточной степени. Исследования и методики, существующие на данный момент, не всегда работают. Возможно, потому, что за счет внедрения информационных технологий наша жизнь меняется слишком быстро, меняя вслед за этим и наше сознание, и образ мышления. Задача преподавателя трансформируется под воздействием и этого фактора тоже: как создать такую среду, в которой ученик без принуждения сам захотел бы научиться решать задачи, выискивая различные подходы, анализируя рациональность каждого из них и выбирая среди множества путей наиболее благоприятный, основываясь на верных фактах, утверждениях, формулах, а не используя ложные утверждения, предоставляемые, например, ИИ. Как мы уже отметили, формирование данного умения является процессом длительным, и оптимально необходимо начать выстраивать его еще в начальной школе. Мы же работаем со старшеклассниками, у которых зачастую данная компетенция отсутствует. Два года старшей школы – это, с одной стороны, небольшой срок, за это время можно сконцентрироваться на решении типовых задач и подготовки к ЕГЭ. Но можно и нужно попробовать решить другую задачу, а именно – попытаться за эти два года наверстать упущенное за предыдущие годы и все-таки привить школьникам любовь и умение находить различные пути решения разнообразных задач. 

В процессе работы над темой модифицированных заданий нас интересовали не только исследования именитых ученых, но было интересно найти и изучить примеры описания методики преподавателей, работающих в аналогичных направлениях. С этой точки зрения интересна работа С. М. Крачковского. Автор в своей работе описывает методику развития вариативных качеств мышления школьников при изучении математики. Для этого С. М. Крачковский предлагает использовать следующие приемы:

‒          сопоставление различных способов решения одной и той же задачи;

‒          решение задач с неоднозначностью в условии;

‒         сопоставление различных интерпретаций одного и того же математического объекта;

‒         переструктурирование;

‒         задачи, требующие для своего решения некоторого «выхода за рамки» [33].

В отличие от Крачковского, мы предлагаем преобразовывать с помощью модификации задачу в серию задач, а не работать лишь с одной задачей.

В 2017 г. вышла книга «Задача для учителя математики» известного педагога, Народного учителя России В. И. Рыжика. В ней автор поднимает много интересных и полезных тем. Остановимся на одном замечательном факте, который отмечает В. И. Рыжик: всем известна фраза «На ошибках учатся», автор предлагает использовать ее в другом контексте: «На ошибках учат» [34]. Методика модификации заданий как раз предполагает такое изменение задачи, чтобы полученная серия отражала и корректировала максимальное количество возможных ошибок.

Одним из основных препятствий на пути решения поставленной задачи является неумение старшеклассников четко формулировать свои мысли и понимать различные вариации стоящих перед ними вопросов. Поучительна известная история, которую приводит в своей книге «Мозгоускорители» Р. Нисбетт. Один монах спросил священника, можно ли курить во время молитвы. Возмущенный священник ответил: «Конечно, нет! Это граничит с кощунством!» Другой монах спросил, можно ли ему молиться, когда он курит. «Конечно, – сказал священник. – Господь рад слышать тебя в любое время» [35]. Наши школьники в большинстве случаев могут формулировать и воспринимать только прямые вопросы, как и первый монах в притче, и не видят возможности их модификации.

Анализ отечественных и зарубежных источников, а также обобщение педагогического опыта работы со старшеклассниками показывают, что, несмотря на обилие исследований и достигнутые позитивные результаты в области обучения решению задач, существует дефицит эффективных методик для массовой школы. В настоящее время отсутствует универсальный подход, который позволил бы педагогам (не только специализированных физико-математических классов) системно добиваться высоких результатов в формировании у старшеклассников умения решать нестандартные задачи.

В качестве ключевого элемента для создания такой методики мы предлагаем использовать работу с сериями модифицированных заданий. Их основное преимущество – гибкость и адаптивность, так как они позволяют выстраивать индивидуальную образовательную траекторию, останавливаясь на том уровне сложности, который соответствует возможностям и потребностям каждого ученика.

Методологическая база исследования / Methodological base of the research

В процессе исследования мы наблюдали, как изменение одного или нескольких условий задачи (мы назвали это модификацией) влияет на усвоение материала старшими школьниками, ведет ли систематическое использование такой методики к повышению эффективности обучения решению математических задач. Модификацию мы рассматриваем как средство для организации учебной деятельности, направленной на формирование обобщенных умений решения задач, а не на усвоение шаблонов для конкретных типов. В работе демонстрируется, как изменение одного условия / вопроса влияет на преобразование всей структуры задачи и методов ее решения. Модифицированные задания создают такие проблемные ситуации, когда обучающийся вынужден выдвигать и проверять гипотезы, проводить самостоятельные исследования. Для решения поставленных задач нами был произведен анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования. Проведен сравнительный анализ существующих методик обучения решению задач и потенциальных возможностей модификации. Полученные в результате анализа выводы мы использовали для построения авторской методической системы использования модифицированных заданий. В качестве примера мы приводим серию модифицированных заданий, полученных из простого логарифмического уравнения. Для оценки эффективности подхода использовались тестирование, анализ рабочих тетрадей и наблюдение за активностью учащихся на уроках как при ответе на вопросы учителя и выполнение заданий у доски, так и в процессе самостоятельной работы. При реализации разработанной методики сравнивались результаты диагностических работ по темам, которые предлагались ученикам традиционно, и темам, которые объяснялись с использованием серий заданий, полученных в результате модификации. Систематически проводился содержательный анализ ответов учащихся, их рассуждений, хода решения задач.

Результаты исследования / Research results

Рассмотрим пример модификации простейшего логарифмического уравнения и серию заданий, полученных в результате.

1. За основу возьмем базовую задачу «Решите уравнение ».

Никаких трудностей у большинства школьников, знакомых с логарифмами, при решении данного уравнения быть не может:

Теперь попробуем видоизменить задание различными способами.

1.1. «Решите уравнение  относительно параметра ».

Такое, на первый взгляд, незначительное изменение – изменение имени переменной – имеет важный педагогический смысл: оно учит школьников опознавать стандартные математические ситуации независимо от обозначений и преодолевать страх перед нестандартными формулировками. Также неплохо в данном случае заменить  на , так как большинство обучающихся воспринимают последнее только как функцию.

1.2. «Докажите, что решением уравнения  является положительное число».

Данная формулировка предполагает увеличение количества вариантов решения задачи. Школьник может просто ее решить, а может провести анализ множества значений функции в общем виде и сделать вывод, не решая само уравнение. Задача преподавателя – развить учебный диалог так, чтобы большинство учащихся поняли, что решать уравнение в данном случае нет необходимости.

1.3. «Решите уравнение ».

Появление минуса перед аргументом в данной формулировке, скорее всего, никого не смутит, а вот для следующей задачи может послужить причиной ошибок.

1.4. «Решите уравнение ».

Здесь возможно два негативных пути развития. Первый – из-за простоты предыдущей задачи ученик начнет ее решать таким же способом и не заметит подвоха. Второй – зачастую обучающиеся испытывают дискомфорт, когда они получают в качестве ответа пустое множество или бесконечность, и стараются найти ответ, отличающийся от правильного, но более привычный. Задача преподавателя в процессе учебного диалога сделать акцент на необходимости быть более внимательным к условию и преодолеть страх перед нестандартными ответами.

1.5. «Сколько решений в зависимости от параметра  будет иметь уравнение ?»

В такой формулировке существует два способа решения, а кроме того – необходимость обоснования своего ответа, что в случаях простых задач для ученика очень сложно. Помимо этого, один из вариантов решения – построение графика, что тоже не добавляет для обучающегося позитива. Задача преподавателя – добиться от ученика, чтобы он понял, насколько важно построить график либо для начального уравнения, либо для полученного решения с целью полноценного ответа на поставленный вопрос.

1.6. «Опишите свойства функции ».

Эту задачу можно рассматривать как подготовительную для серии задач с параметром. Так как в достаточно большой их части для рационального решения необходимо построить график именно зависимости  от , что не является привычным для многих школьников.

1.7. «Постройте график для множества решений уравнения   Сравните графики, полученные при решении задач 1.6 и 1.7».

При решении этой задачи возникает важное понятие обратной функции и наглядной взаимосвязи между прямой и обратной функцией.

Таким образом, на основе простого стандартного уравнения можно создать множество нестандартных заданий, решение которых заставляет обучающихся по-другому взглянуть и на процесс решения, и на качество получаемых результатов.

Итого, можно утверждать, что цель исследования – разработать и апробировать методику использования модифицированных заданий на уроках математики, направленную на повышение уровня сформированности навыков решения задач у учащихся, – была достигнута.

В процессе работы все поставленные задачи решались последовательно, что позволило получить следующие результаты.

1. Проведенный анализ психолого-педагогической и методической литературы позволил уточнить понятийный аппарат исследования. В частности, модификация задания определена как целенаправленное преобразование условия, вопроса или структуры исходной задачи с целью достижения различных учебных результатов. Выявлены следующие виды модификации математических заданий:

- изменение числовых данных;

- преобразование условия (упрощение, усложнение, введение избыточных или

  недостающих данных);

- изменение вопроса задачи;

- переход к обратной или противоположной задаче;

- обобщение задачи.

2. На основе проведенного анализа школьных учебников был замечен дефицит системного использования модифицированных заданий в современной школьной практике преподавания математики. Присутствуют единичные случаи, но целенаправленная работа с сериями модифицированных задач практически отсутствует.

3. Нами разработана серия модифицированных заданий по теме «Логарифмические уравнения» и продемонстрирован пример модификации простого логарифмического уравнения в обучающую серию. Работа с такими заданиями весьма перспективна и с точки зрения развития творческого потенциала учащихся, так как, начиная работу с готовыми сериями модифицированных задач, ее можно и нужно вывести на более высокий уровень – научить обучающихся самостоятельно создавать подобные разумные серии.

4. Исследование показало, что систематическое решение таких серий заданий учит школьников более глубоко анализировать структуру задачи, искать вариации путей решения, строить логические цепочки рассуждений. Все это ведет к развитию их критического мышления. Работа с модифицированными задачами заставляет ученика применять знания из разных разделов математики, что позволяет обучающимся лучше осознать взаимосвязь между ними. Ученики, регулярно взаимодействующие с заданиями такого типа, демонстрируют лучшие результаты при решении задач повышенной сложности. Они гораздо охотнее принимают участие в различных олимпиадах и показывают при этом достаточно высокие результаты. Наблюдения за старшеклассниками показывают, что хотя бы незначительное изменение задачи на первоначальном этапе всегда вызывает затруднения, но при систематической работе с задачами такого типа эти же задачи повышают уверенность в своих силах, ведут к появлению устойчивого научного интереса к решению проблем в целом. В классах, где уделяется много времени решению задач «в общем виде», возрастает самостоятельность в обучении в принципе.

Обратимся к статистике 2024 года по итогам сдачи профильного ЕГЭ по математике [36]:

Распределение процентов выполнения заданий по группам первичных баллов ЕГЭ по математике профильного уровня

Обратим внимание на столбец 18, который показывает весьма низкий процент выполнения задания с параметром. 90% учеников лицея, по статистике сессий, проводимых раз в полгода, начинают решать задачу с параметром и более половины доводят ее до результата, что несомненно является итогом систематического применения методики модификации заданий.

Заключение / Conclusion

Модификация учебных заданий представляет собой мощный методический инструмент, который трансформирует процесс обучения математике из репродуктивного в исследовательский. Ее систематическое применение напрямую способствует достижению ключевых образовательных целей старшей школы:

‒     формирует гибкость, глубину и самостоятельность мысли, переводя учащихся от шаблонного исполнения к анализу и конструированию математических моделей;

‒     стимулирует осознание взаимосвязей между понятиями, ведя к построению целостной картины математики, а не к фрагментарному запоминанию;

‒     целенаправленно развивает компетенции, необходимые для решения нестандартных задач любого уровня сложности — от экзаменационных до олимпиадных, — воспитывая готовность к интеллектуальному риску и ответственному выбору стратегии.

Таким образом, методика модификации заданий является стратегическим ресурсом для современного математического образования. Ее потенциал раскрывается в полной мере при условии целенаправленного, системного и градуированного (от простого к сложному) внедрения на всех этапах обучения, что обеспечивает устойчивый рост как математической культуры учащихся, так и их метапредметных результатов.